Мы переидем теперь к построению функции Ляпунова специального вида, введенноћ А. И. Лурье. Условия, при которых эта функция удовлетворяет требованиям теорем $\S 13$, будут достаточными условиями для полной устойчивости (асимптотической устойчивости в целом) системы (15.11). Нужно, однако, не забывать, что они не являются необходимыми условиями полной устоћчивости.
1) Случаи, когда некоторые действительные части характеристических корней матрицы $A$ равны нулю, а остальные – отрицательны, являются особыми случаями и требуют специального исследования (см. § 19). – Прим. ред.
2) А не только для линейных характеристик $y=k$. – Прик. ред.

Мы попытаемся подобрать функцию Ляпунова в виде
\[
V(x, \sigma)=x^{\prime} B x+\int_{0}^{\sigma} f(\sigma) d \sigma .
\]

где матрица $B>0$ и $B^{\prime}=B$. Функция $V$ и все ее частные производные первого порядка непрерывны во всем пространстве $x, \sigma$. Далее, $V$ представляет собой сумму двух слагаемых: первое положительно при всех $x
eq 0$, а второе – при всех $\sigma
eq 0$, т. е. их сумма обращается в нуль только при $x=\sigma=0$ и положительна во всех других случаях. Следовательно, функция (16.1) – положительно определенная в пространстве $x$, о. Предположение (15.6) о характеристике $f(\sigma)$ означает, что
\[
V(x, \sigma) \rightarrow \infty \text { при }\|x\|^{2}+\sigma^{2} \rightarrow \infty \text {. }
\]

Производная функции $V$ в силу системы (15.11) равна
\[
\begin{array}{l}
\dot{V}(x, \sigma)=\dot{x}^{\prime} B x+x^{\prime} B \dot{x}+f(\sigma) \dot{\sigma}= \\
=x^{\prime}\left(A^{\prime} B+B A\right) x-r f^{2}(\sigma)+f(\sigma)\left(b^{\prime} B x+x^{\prime} B b+c^{\prime} x\right) .
\end{array}
\]

Поскольку $B^{\prime}=B$, мы немедленно получаем ${ }^{1}$ ):
\[
b^{\prime} B x+x^{\prime} B b=2 b^{\prime} B x=2(B b)^{\prime} x .
\]

Введем матрицу $C$ :
\[
A^{\prime} B+B A=-C
\]

так как
\[
C^{\prime}=-\left(A^{\prime} B+B A\right)^{\prime}=-\left(B A+A^{\prime} B\right)=C,
\]

то $C$ является матрицей некоторой квадратичной формы. Окончательно
\[
\dot{V}(x, \sigma)=-x^{\prime} C x-r f^{2}(\sigma)+2 f(\sigma)\left(B b+\frac{1}{2} c\right)^{\prime} x .
\]

Таким образом, $\dot{V}$ – квадратичная форма относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}, f(\sigma)$. Мы хотим сделать квадратичную
1) В самом деле, по свойству скалярного произведения $x \cdot y=y \cdot x$, т. е. $x^{\prime} y=y^{\prime} x$, а потому $b^{\prime} B x=(B x)^{\prime} b=$ $=x^{\prime} B^{\prime} b=x^{\prime} B b$. Здесь используется также известное правило транспонирования произведения матриц: $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$. – Приж. перев.

форму $\dot{V}$ отрицательно определенной, чтобы удовлетворить условиям теоремы IX, § 13. Для этого необходимо ${ }^{1}$ ), чтобы, во-первых, $\dot{V}(x, 0)$ была отрицательно определенной функцией (т. е. чтобы $C>0$ ), и, во-вторых, $\dot{V}(0, \sigma)<0$ при всех $\sigma
eq 0$, а поэтому должно быть $r>0$.