Рассмотрим теперь неавтономную систему
\[
\dot{x}=X(x, t) \text {, }
\]

для которой теорема существования и единственности справедлива при всех $t \geqslant 0$ в некоторой области
\[
\Omega:\|x\|<\rho \text {. }
\]

Кроме того, предположии, что $X(0, t) \equiv 0$ для всех $t \geqslant 0$.

Определения устоћчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости, данные в $\S 7$, не изменяются, за исключением того дополнительного условия, что все траектории начинаются в фиксированный момент времени $t=0$.

Обозначим через $W(x)$ положительно определенную функцию в смысле § 8. Мы скажем, что более общая функция $V(x, t)$ является положительно определенной, если выполняются следующие условия:
a) функция $V(x, t)$ определена $\left.{ }^{1}\right)$ в области $Q$ при всех $t \geqslant 0$
б) $V(0, t) \equiv 0$ при всех $t \geqslant 0$;
1) Точнее, определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка. – Прим. перев.

в) существует такая положительно определенная функ$t \geqslant 0$.

Отметим, что полная производная $V(x, t)$ вдоль траектории системы (F) записывается в виде
\[
\dot{V}(x, t)=\frac{\partial V}{\partial t}+X \cdot \operatorname{grad} V .
\]

Если сверх условий а), б), в) еще $\dot{V} \leqslant 0$ в области $Q$ при всех $t \geqslant 0$, то функция $V$ называется фбункиией Ляпунова в области $Q$.

При таком определении функции Ляпунова теоремы устойчивости и неустойчивости § 9 почти в тех же формулировках переносятся и на случай неавтономной системы (F). В утверждении теоремы II об асимптотической устойчивости нужно требовать, чтобы производная – $\dot{V}(x, t)$ при всех $t \geqslant 0$ превосходила некоторую положительно определенную функцию $W_{1}(x)$. Мы здесь опускаем доказательства, несколько усложненные по сравнению с приведенными выше. В этих доказательствах ${ }^{1}$ ) приходится позаботиться о равномерности всех оценок по $t$.