Продолжая расширение метода Ляпунова по пути, проложенному Йшизавой, мы займемся сейчас обобщениями иного характера. Самым существенным здесь будет исследование устойчивоста множества $M$, где $M$ замкнутое, а в остальном совершенно произвольное множество точек $n$-мерного пространства.
Мы обозначим через $M_{r}$, где $r$ – некоторое положительное число, множество всех таких точек пространства, расстояние от каждой из которых до множества ${ }^{2}$ ) $M$ строго меньше $r$ (рис. 28). Таким образом, точка $x$ принадлежит множеству $M_{r}$ только в том случае, если найдется в множестве $M$ такая точка $y$, что $\|x-y\|<r$. Как и ранее, $M_{r}^{c}$ означает множество всех тех точек пространства, которые не принадлежат множеству $M_{r}$; иначе говоря, $M_{r}^{c}$ дополнение множества $M_{r}$. Например, если $M$-шар $\|x\| \leqslant R$, то множество $M_{r}^{r^{-}}$- сферическая область $\|x\|<$ $<R+r$, а дополнение $M_{r}^{c}$ – множество $\|x\| \geqslant R+r$.
1) Предполагается, что функция $G(x)$ удовлетворяет условию (23.6). – Прим. ред.
2) Напомним, что расстоянием от точки $x$ до множества $M$ называется величина inf $d(x, y)$, где нижняя грань берется по всем точкам у множества $M$. Если $M$ замкнуто, то нижняя грань всегда достигается. – Прим. перев.

Прежде всего мы приведем две совершенно элементарные леммы. Как и ранее, речь пойдет о неавтономной системе
\[
\dot{x}=X(x, t), t \geqslant 0
\]

Лемма 1. Пусть $V(x, t)$-скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех х и всех $t \geqslant 0$, а М-замкнутое множество в п-мерном пространстве. Допустим, что $\dot{V}(x, t) \leqslant 0$ для всех $x$ из $M^{c}$ и всех $t \geqslant 0$ и что $V\left(x_{1}, t_{1}\right)<V\left(x_{2}, t_{2}\right)$ для всех $t_{2} \geqslant t_{1} \geqslant 0$ и при любом выборе $x_{1}$ в множестве $M$, а $x_{2}$ в множестве $M_{r}^{c}$ $n$ ри некотором $r$. Тогда эюбое решение системы (F), находящееся в некоторый момент $t_{0} \geqslant 0$ в множестве $M$, никогда уже не сможет покинуть множество $M_{r}$.

Доказательство. Пусть $x(t)$ – решение системы (F), которое в момент $t_{0} \geqslant 0$ находится в множестве $M$. Допустим, что в какой-то более поздний момент $T>t_{0}$ точка $x(T)$ уже принадлежит $M_{r}^{c}$. Рассмотрим множество таких моментов $t_{1}, t_{0}<t_{1}<T$, что решение $x(t)$ целиком проходит в множестве $M^{c}$ при всех $t_{1}<t \leqslant T$; пусть $\tau-$ наименьшее число, обладающее этим свойством. Но тогда точка $x(\tau)$ принадлежит множеству $M$ и поэтому $V(x(\tau), \tau)<V(x(T), T)$. Олнако это невозможно, так как $\tau \leqslant t \leqslant T$ – невозрастающая функция при $\tau \leqslant t \leqslant T$.

Эта лемма не исключает той возможности, что решение, начавшееся в множестве $M$, имеет конечное время определения. Если же $M$ – ограниченное замкнутое множество, то указанная возможность исключается и каждое решение $x(t)$, начавшееся в $M$ в некоторый момент $t_{0} \geqslant 0$, остается все время в $M_{r}$. Однако множество $M_{r}$ также ограничено, а потому все решения, которые в какой-либо момент времени $t_{0} \geqslant 0$ находятся в $M$, равномерно ограничены. Иными словами, существует такое число $b>0$, что для всех решений $x(t)$ с принадлежащей $M$ начальной точкой $x\left(t_{0}\right), t_{0} \geqslant 0$ выполнено неравенство $\|x(t)\|<b$ при всех $t \geqslant t_{0}$.

Лемма 2. Если, кроме предположений леммы 1. выполнены неравенства $V(x, t) \geqslant 0$ а $\dot{V}(x, t) \leqslant-\varepsilon<0$ для всех $t \geqslant 0$ и всех х из $M^{c}$, то каждое неограниченно продолжаемое решение системы (F) в конце концов остается внутри $M_{r}$. Иначе говоря, если $x(t)$ – неограниченно продолжаемое решение системы (F), то существует такой момент $T$, что $x(t)$ лежит в $M_{r}$ при всех $t \geqslant T$.

Доказательство. Поскольку $V \geqslant 0$ и $\dot{V} \leqslant-\varepsilon<0$, ясно, что каждое неограниченно продолжаемое решение должно в конце концов войти в $M$. Но тогда, согласно лемме 1 , оно должно все время оставаться внутри $M_{r}$.

Мы будем говорить, что система (F) предельно ограничена ${ }^{1}$ ), если найется число $b>0$ и для каждого решения $x(t)$ число $T>0$, такое, что неравенство $\|x(t)\|<b$ справедливо для всех $t \geqslant T^{2}$ ).

Теоремы XVI и XVII получаются как следствие приведенных выше двух лемм и позволяют судить о предельной ограниченности системы (F).

Теорема XVI. Если, кроме всех предположений леммы 2, потребовать еще, чтобы множество $М$ было ограничено, а $V(x, t) \rightarrow \infty$ при $\|x\| \rightarrow \infty$ равномерно по $t>0$, то система (F) предельно ограничена.

Доказательство. Так как множество $M$ ограничено, то множество $M_{r}$ также ограничено для каждого $r>0$. Поэтому, согласно лемме 2 , нам достаточно доказать, что приведенные в условии теоремы дополнительные предположения гарантируют неограниченную продолжаемость всех решений системы (F).

Как мы уже отмечали выше, если $M$ – ограниченное множество, то все решения, начинающиеся в $M$, равномерно ограничены и, следовательно, неограниченно продолжаемы. Пусть начальная точка $x\left(t_{0}\right)$ лежит в множестве $M^{c}$. В силу наложенного на функцию $V(x, t)$ условия при $\|x\| \rightarrow \infty$, можно выбрать число $R$ столь большим, что $V(x, t)>V\left(x\left(t_{0}\right), t_{0}\right)$ при всех $t \geqslant t_{0}$ и всех $x$ из $M_{R}^{c}$. Если $x(t)$ все время остается вне $M$, то функция $V(x(t), t)$ убывает и $x(t)$ не может выйти из $M_{R}$ ). Если же реше-
1) В оригинале ultimately bounded. – При.. перев.
2) Число $b$ не зависит от выбора решений. – Прим. ред.
3) Поскольку функция $V(x(t), t)$, убывает, то $V(x(t), t) \leqslant$ $\leqslant V\left(x\left(t_{0}\right), t_{0}\right) \cdot-$ Прим. ред.

ние $x(t)$ входит в множество $M$, то, по лемме 1 , оно все время после этого останется в некотором множестве $M_{r}$. Следовательно, все решения ограничены и потому все они неограниченно продолжаемы.

Доказанная теорема обладает тем недостатком, что требует большого количества условии. Существует несколько простых и удобных для приложений случаев, когда теорема может быть упрощена. Простейшая формулировка теоремы получается, если функция $V$ не зависит от $t$. Хотя $V(x)$ и не зависит от времени явно, производная $\dot{V}(x)$, вычисляемая в силу неавтономной системы (P), уже зависит явно и от $t$. При этом неравенства для $\dot{V}$ предполагаются выполненными при всех $t \geqslant 0$.

Tеорема XVII. Пусть V $(x)$-скалярная функция, которая при всех х имеет непрерывные частные производные первого порядка, причем $V(x) \rightarrow \infty$ при $\|x\| \rightarrow$ $\rightarrow \infty$. Если $\dot{V}(x) \leqslant-\varepsilon<0$ для всех $x$ из дополнения $M^{c}$ некоторого замкнутого ограниченного множества М, то система (F) предельно ограничена.

Доказательство. Нам достаточно убедиться, что в рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы XVI (включая также условия лемм 1 и 2). Так как функция $V$ не зависит от времени, то ее стремление к бесконечности при $\|x\| \rightarrow \infty$ можно считать равномерным по $t$. Ясно, кроме того, что функция $V(x)$ ограничена снизу при всех $x$. Поэтому мы можем, прибавив, если нужно. константу, считать, что функция $V(x)$ неотрицательна при всех $x$. Множество $M$ замкнуто и ограничено; поэтому непрерывная функция $V(x)$ ограничена на этом множестве. Следовательно, существует такое достаточно большое число $r$, что $V\left(x_{1}\right)<V\left(x_{2}\right)$ для всех $x_{1}$ из $M$ и всех $x_{2}$ из $M_{r}^{c}$. Тем самым показано, что все условия теоремы XVI выполнены, т. е. система (F) предельно ограничена.

Пр имер. Мы приведем теперь пример, иллюстрирующий применение этой теоремы о предельной ограничен. ности.

Рассмотрим уравнение Льенара (см. пример 6, § 23):
\[
\ddot{x}+f(x) \dot{x}+g(x)=e(t), \quad t \geqslant 0 .
\]

Допустим, что функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют непрерывные производные, а функция $e(t)$ непрерывна. Определим функции $F(x), G(x), E(t)$ по формулам (23.1) и вместо уравнения (24.1) будем изучать эквивалентную ему систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y-F(x)+E(t), \\
\dot{y}=-g(x) .
\end{array}\right.
\]

Предположим далее, что
a) $x g(x)>0$ при достаточно больших $x$;
б) функция $|E(t)|$ ограничена;
в) $g(x) F(x) \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$.
Пусть
\[
V=\frac{1}{2}[y-h(x)]^{2}+G(x) ;
\]

функцию $h(x)$ мы определим позже. Можно непосредственно подсчитать, что
\[
\begin{array}{l}
\dot{V}=-h^{\prime}(x)[y-F(x)+E(t)][y-h(x)]- \\
-g(x)[F(x)-h(x)-E(t)] .
\end{array}
\]

В качестве ограниченного замкнутого множества $M$ выберем прямоугольник $|x| \leqslant a,|y| \leqslant b$ и определим функцию $h(x)$ так:
\[
h(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
-\dot{c} & \text { при } & x<-a, \\
\frac{c}{a} x & \text { при } & -a \leqslant x \leqslant a, \\
c & \text { при } & x>a,
\end{array}\right.
\]

где $c>0$ столь велико, что выполняется неравенство
\[
|E(t)|<c \text { при всех } t \geqslant 0
\]

функция $h(\boldsymbol{x})$, очевидно, непрерывна, но ее производная имеет разрывы при $x=-a$ и $x=a$, что, как легко видеть, несущественно.

Поскольку $h^{\prime}(x)=0$ при $|x|>a$, то при этих значениях $\boldsymbol{x}$ [см. равенство (24.2)] и всех $t \geqslant 0$
\[
\dot{V}=-g(x)[F(x)-h(x)-E(t)],
\]

откуда легко заключаем, что при этих значениях $x$ и $t$ и при достаточно большом $a$ всегда $\dot{V} \leqslant-\varepsilon<0$. С другой стороны, исходя из формулы (24.2) и определения функции $h(x)$, мы видим, что, при достаточно большом $b$, то же неравенство $\dot{V} \leqslant-\varepsilon<0$ имеет место для $|x| \leqslant a,|y|>b$ и всех $t \geqslant 0$. Поэтому $\dot{V} \leqslant-\varepsilon<0$ везде в $M^{c}$.

Наконец, $V(x) \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$ и, согласно теореме XVII, уравнение (24.1) обладает предельной ограниченностью.

В некотором смысле более общими условиями, гарантирующими предельную ограниченность уравнения Льенара с внешним вынуждающим воздействием, являются следующие:
а) $|E(t)| \leqslant E_{0}$ при всех $t \geqslant 0$;
б) $\operatorname{sign} x \cdot g(x) \geqslant \alpha>0$ при $|x| \geqslant a$;
в) $\operatorname{sign} x \cdot F(x) \geqslant F_{0}>E_{0}$ при $|x| \geqslant a$.

Отметим, что доказательство проводится аналогично. В частности, разобранный пример показывает, что решения $x(t)$ и $\dot{x}(t)$ уравнения Ван-дер-Поля
\[
\ddot{x}+\varepsilon\left(x^{2}-1\right) \dot{x}+x=e(t), \quad \varepsilon>0
\]

обладают предельной ограниченностью, если $\left|\int_{0}^{t} e(\tau) d \tau\right|$ ограничен при $t \geqslant 0$.