Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Общепринятым является отождествление вектора с компонентами $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ и $n \times 1$-матрицы называемой вектор-столбщом. Транспонированную матрицу называют векто р-строкой. Если $x$ – вектор-столбец, а $y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ вектор-строка, то произведение матриц $y x$ просто равно скалярному произведению $y$ – $x$ соответствующих векторов. Пусть $A-n \times n$-матрица. Матричное произведение $A x$, где $\boldsymbol{x}$ – вектор-столбец, является $n \times 1$-матрицей, т. е. снова вектор-столбцом. Таким образом, с помощью матрицы $A$ осуществляется преобразование $n$-мерных векторов в $n$-мерные векторы. При этом точка или вектор $x$ как геометрический образ не изменяется, а приобретает лишь новые координаты $x^{*}$. Поскольку подобный переход обратим по самому смыслу этой интерпретации, мы должны иметь возможность находить также и координаты $x$, зная координаты $x^{*}$; иначе говоря, система (3.1) должна быть однозначно разрешима относительно $x_{i}$. Как известно, для этого необходимо, чтобы $|P| Таким образом, здесь наборы чисел (координаты) $x$ и $x^{*}$ рассматриваются просто как различные представления (способы задания) одного и того же (с геометрическоИ точки зрения) вектора. Эти представления связаны между собой формулами или, в векторной форме, ставится в соответствие новы й вектор у в том же самом пространстве. На этот раз соответствие уже не обязательно должно быть обратимым, т. е. система (3.2) может и не разрешаться однозначно относительно $x$. Описанная интерпретация, следовательно, имеет смысл и для вырожденной матрицы $A$. Таким образом, в этом случае происходит фактически преобразование векторного пространства в себя ${ }^{1}$ ). Посмотрим, как будет выглядеть преобразование (3.2) в другой системе координат. Преобразуем координаты по формулам (3.1); при этом $x, y$ переходят соответственно в $x^{*}, y^{*}$ : и, следовательно, Другими словами, в новой системе координат преобразование векторного пространства в себя описывается матрицен $A^{*}=P A P^{-1}$, о которой говорят, что она подобна матрице $A$. Рассмотрим характеристические уравнения двух подобных матриц. Поскольку то для определителей этих матриц мы получаем равенство Следовательно, две подобные матрицы $A$ и $P A P^{-1}$ имеют одно и то же характеристическое уравнение (2.8). Пусть, далее, все характеристические корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $A$ различны. Если они, кроме того, все действительны, то можно доказать, что матрица $A$ подобна матрице $\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$. Это значит, что можно найти такую систему координат, в которой данное преобразование пространства записывается в виде Соответствующее преобразование приобретает в этом случае вид Денствительные точки при преобразовании координат с матрицей $P$ получают координаты где $x_{2 p+1}, \ldots, x_{n}$ – действительные числа. Преобразование этих точек может быть записано в виде ${ }^{1}$ ) Матрицы и квадратичные бормы. Пусть Если совершить преобразование координат $x=P y$, где $P$ – невырожденная матрица, то $G(y)=F(P y)=$ $=y^{\prime}\left(P^{\prime} Q P\right) y$, т. е. $G(y)$ – квадратичная форма с матрицей коэффициентов $P^{\prime} Q P$. Таким образом, преобразование координат $x=P y$ порождает преобразование матрицы квадратичной формы $Q \rightarrow Q_{1}=P^{\prime} Q P$. Обратное преобразование $y=P^{-1} x$ вызывает обратное преобразование матрицы $Q_{1} \rightarrow Q=\left(P^{\prime}\right)^{-1} Q_{1} P^{-1}$. Напомним, что всегда существует действительное преобразование $P$, которое приводит квадратичную форму $F(x)$ к виду Если $p$ есть число положительных, а $q$ – число отрицательных коэффициентов $d_{k}$, то разность ${ }^{1}$ ) $p-q$ не зависит от способа приведения формы $F(x)$ к виду (3.3), а сумма ${ }^{2}$ ) $p+q=m$ равна рангу матрицы $Q$. Ортогональные преобразования представляют особый интерес. Они характеризуются тем, что их матрицы $P$ удовлетворяют условию $P P^{\prime}=E$ или $P^{\prime}=P^{-1}$. Важнейшее своиство этих преобразований состоит в том, что они оставляют неизменной квадратичную форму с единичной матрицей коэффициентов. Действительно, ортогональное преобразование $P$ не меняет квадратичную форму поскольку ее матрица равна $E$, а $P^{\prime} E P=P^{-1} E P=E$, и потому Ортогональные преобразования отличаются тем, что они не изменяют расстояний. В терминах динамики их можно представить себе как вращения (возможно, с отражениями) твердого тела относительно одной неподвижной точки. Отметим без доказательства, что любая квадратичная форма может быть приведена некоторым ортогональным преобразованием к виду (3.3). В случае плоскости при помощи ортогональных преобразований координат можно привести любую центральную кривую второго порядка (начало координат предполагается совпадающим с центром кривой) к каноническому виду ( $x$ и $y$-обычные прямоугольные координаты). Это справедливо и в случае трехмерного пространства и вообще для пространства $n$ измерений (хотя при $n>3$ это уже не такой общеизвестный факт). Положительно и отрицательно определенные квадратичные бормы. Квадратичную форму $F(x)$ называют положительно (или отрицательно) определенной, если $F(x)>0$ [или $F(x)<0$ ] для всех векторов $x эквивалентны; конечно, утверждение остается справедливым, если в обоих неравенствах знак неравенства сменить на противоположный. Это показывает, что во многих вопросах, касающихся квадратичных форм, можно свободно применять преобразования координат. Легко построить положительно определенные матрицы. Eсли $D$ – невырожденная матрица, то $D^{\prime} D>0$. Это нетрудно усмотреть, так как квадратичная форма $x^{\prime} D^{\prime} D x=\|D x\|^{2}$ принимает лишь неотрицательные значения и обращающаяся в нуль только при $D x=0$, т. е., в силу невырожденности матрицы $D$, только при $x=0$. Обратное утверждение также справедливо: если $Q>0$, то всегда можно найти такую невырожденную маmpuиу $D$, что $Q=D^{\prime} D$. Действительно, мы знаем, что существует ортогональная матрица $P$ такая, что Так как $Q>0$, то все числа $d_{k}>0$. Построим матрицу $D^{*}=\operatorname{diag}\left(\sqrt{d_{1}}, \ldots, \sqrt{d_{n}}\right)$. Очевидно, что эта матрица невырожденная, симметрическая $\left(D^{*^{\prime}}=D^{*}\right)$ и удовлетворяет равенству $D^{* 2}=Q^{*}$. Следовательно, где $D=D^{*} P^{\prime}$. Замечание. Пусть $A=\left(a_{i j}\right)$ является $m \times n$-матрицей. Часто бывают полезны равенства В первом случае все элементы $i$-й строки умножаются на $b_{i}$, а во втором случае все элементы $j$-го столбца умножаются на $c_{j}$. Конечно, если $b_{1}=\ldots=b_{m}=b$, то все элементы матрицы $A$ умножаются на $b$; если $c_{1}=\ldots$ $\ldots=c_{n}=c$, то все элементы умножаются на $c$.
|
1 |
Оглавление
|