Общепринятым является отождествление вектора с компонентами $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ и $n \times 1$-матрицы
\[
x=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdot \\
\cdot \\
x_{n}
\end{array}\right),
\]

называемой вектор-столбщом. Транспонированную матрицу
\[
x^{\prime}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\]

называют векто р-строкой.

Если $x$ — вектор-столбец, а $y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ вектор-строка, то произведение матриц $y x$ просто равно скалярному произведению $y$ — $x$ соответствующих векторов.

Пусть $A-n \times n$-матрица. Матричное произведение $A x$, где $\boldsymbol{x}$ — вектор-столбец, является $n \times 1$-матрицей, т. е. снова вектор-столбцом. Таким образом, с помощью матрицы $A$ осуществляется преобразование $n$-мерных векторов в $n$-мерные векторы.
Это преобразование допускает две интерпретации.
a) Преобразовхние координат. Эта интерпретация имеет смысл только в том случае, если $A$ — невырожденная матрица. Рассмотрим две различные системы координат $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и $x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}$ в одном и том же пространстве $E^{n}$. Переход от одной системы к другой осуществляется посредством $n$ соотношений [вместо матрицы $A$ здесь взята матрица $P=\left(p_{i j}\right)$ ]:
\[
\begin{array}{c}
x_{1}^{*}=p_{11} x_{1}+p_{12} x_{2}+\ldots+p_{1 n} x_{n}, \\
x_{2}^{*}=p_{21} x_{1}+p_{22} x_{2}+\ldots+p_{2 n} x_{n}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_{n n} x_{n} .
\end{array}
\]

При этом точка или вектор $x$ как геометрический образ не изменяется, а приобретает лишь новые координаты $x^{*}$. Поскольку подобный переход обратим по самому смыслу этой интерпретации, мы должны иметь возможность находить также и координаты $x$, зная координаты $x^{*}$; иначе говоря, система (3.1) должна быть однозначно разрешима относительно $x_{i}$. Как известно, для этого необходимо, чтобы $|P|
eq 0$, т. е. чтобы матрица $P$ была невырожденной; тогда $x=P^{-1} x^{*}$. Именно поэтому условие невырожденности мы оговорили в самом начале.

Таким образом, здесь наборы чисел (координаты) $x$ и $x^{*}$ рассматриваются просто как различные представления (способы задания) одного и того же (с геометрическоИ точки зрения) вектора. Эти представления связаны между собой формулами
\[
x^{*}=P x, \quad x=P^{-1} x^{*},
\]
из которых первая является краткой записью соотношений (3.1). Поэтому мы можем говорить о „векторном пространстве “, существующем независимо от вводимой системы координат. Хорошо известно обычное представление скоростей, ускорений, сил, электрических и магнитных полей с помощью векторов. Все эти физические объекты существуют, естественно, независимо от выбираемой системы координат.
б) Преобразование векторов. В другой интерпретации вектору $x$ с помощью равенств
\[
y_{i}=a_{i 1} x_{1}+\ldots+a_{i n} x_{n}, \quad i=1,2, \ldots, n,
\]

или, в векторной форме,
\[
y=A x,
\]

ставится в соответствие новы й вектор у в том же самом пространстве. На этот раз соответствие уже не обязательно должно быть обратимым, т. е. система (3.2) может и не разрешаться однозначно относительно $x$. Описанная интерпретация, следовательно, имеет смысл и для вырожденной матрицы $A$.

Таким образом, в этом случае происходит фактически преобразование векторного пространства в себя ${ }^{1}$ ).

Посмотрим, как будет выглядеть преобразование (3.2) в другой системе координат. Преобразуем координаты по формулам (3.1); при этом $x, y$ переходят соответственно в $x^{*}, y^{*}$ :
\[
x^{*}=P x, \quad y^{*}=P y
\]

и, следовательно,
\[
y^{*}=P A x=P A P^{-1} x^{*} .
\]

Другими словами, в новой системе координат преобразование векторного пространства в себя описывается матрицен $A^{*}=P A P^{-1}$, о которой говорят, что она подобна матрице $A$.
1) Иными словами, мы можем представлять себе такую деформацию пространства (при неизменной системе координат), в результате которой точка $x$ переходит в положение $y=A x$. — Прим. перев.

Рассмотрим характеристические уравнения двух подобных матриц. Поскольку
\[
P A P^{-1}-\lambda E=P A P^{-1}-P(\lambda E) P^{-1}=P(A-\lambda E) P^{-1},
\]

то для определителей этих матриц мы получаем равенство
\[
\left|P A P^{-1}-\lambda E\right|=\left|P P^{-1}\right| \cdot|A-\lambda E|=|A-\lambda E| .
\]

Следовательно, две подобные матрицы $A$ и $P A P^{-1}$ имеют одно и то же характеристическое уравнение (2.8).

Пусть, далее, все характеристические корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $A$ различны. Если они, кроме того, все действительны, то можно доказать, что матрица $A$ подобна матрице $\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$. Это значит, что можно найти такую систему координат, в которой данное преобразование пространства записывается в виде
\[
y_{1}=\lambda_{1} x_{1}, \quad y_{2}=\lambda_{2} x_{2}, \ldots, y_{n}=\lambda_{n} x_{n},
\]
т. е. в этой специальной системе координат исходное преобразование равносильно умножению на $\lambda_{i}$ компоненты вектора, соответствующей $i$-й оси координат. Допустим теперь, что не все характеристические корни денствительной матрицы $A$ действительны. Если $c=a+i b$, то условимся обозначать через $\bar{c}=a-i b$ число, комплексно сопряженное числу c. Как известно из алгебры, все комплексные корни распадаются на пары комплексно сопряженных корней, поскольку коэффициенты характеристического уравнения действительны. Пусть характеристическое уравнение имеет $p$ пар комплексно сопряженных корней $\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}, \ldots, \lambda_{p}, \bar{\lambda}_{p}$ и $q=n-2 p$ действительных корней $\lambda_{2 p+1}, \ldots, \lambda_{n}$. Тогда можно выбрать комплексную матрицу $P$ такую, что
\[
P A P^{-1}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}, \ldots, \lambda_{p}, \bar{\lambda}_{p}, \lambda_{2 p+1}, \ldots, \lambda_{n}\right) .
\]

Соответствующее преобразование приобретает в этом случае вид
\[
\begin{aligned}
y_{1} & =\lambda_{1} x_{1}, \quad y_{2}=\bar{\lambda}_{1} x_{2}, \ldots, y_{2 p}=\bar{\lambda}_{p} x_{2 p}, \\
y_{2 p+1} & =\lambda_{2 p+1} x_{2 p+1}, \ldots, y_{n}=\lambda_{n} x_{n} .
\end{aligned}
\]

Денствительные точки при преобразовании координат с матрицей $P$ получают координаты
\[
x_{1}, \bar{x}_{1}, x_{2}, \bar{x}_{2}, \ldots, x_{p}, \bar{x}_{p}, x_{2 p+1}, \ldots, x_{n},
\]

где $x_{2 p+1}, \ldots, x_{n}$ — действительные числа. Преобразование этих точек может быть записано в виде ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=\lambda_{1} x_{1}, \quad \bar{y}_{1}=\bar{\lambda}_{1} \bar{x}_{1}, \ldots, y_{p}=\lambda_{p} x_{p}, \bar{y}_{p}=\bar{\lambda}_{p} \bar{x}_{p}, \\
y_{2 p+1}=\lambda_{2 p+1} x_{2 p+1}, \ldots, y_{n}=\lambda_{n} x_{n} .
\end{array}
\]

Матрицы и квадратичные бормы. Пусть
\[
F(x)=\sum_{i, j=1}^{n} q_{i j} x_{i} x_{j}, \quad q_{i j}=q_{j i},
\]
— квадратичная форма, и пусть $Q=\left(q_{i j}\right)$ — матрица ее коэффициентов. Если $x$-вектор-столбец с элементами $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, то мы можем записать квадратичную форму и так:
\[
F(x)=x^{\prime} Q x .
\]

Если совершить преобразование координат $x=P y$, где $P$ — невырожденная матрица, то $G(y)=F(P y)=$ $=y^{\prime}\left(P^{\prime} Q P\right) y$, т. е. $G(y)$ — квадратичная форма с матрицей коэффициентов $P^{\prime} Q P$. Таким образом, преобразование координат $x=P y$ порождает преобразование матрицы квадратичной формы $Q \rightarrow Q_{1}=P^{\prime} Q P$. Обратное преобразование $y=P^{-1} x$ вызывает обратное преобразование матрицы $Q_{1} \rightarrow Q=\left(P^{\prime}\right)^{-1} Q_{1} P^{-1}$.
1) Более точно, это утверждение имеет следующий смысл. Если среди характеристических корней матрицы $A$ имеются комплексные, то ее нельзя привести к диагональному виду действительным преобразованием координат: матрица $P$ перехода от старых координат $x$ к новым координатам $x^{\text {in }}$ (и соответственно от у к $y^{*}$ ) оказывается комплексной. При этом точки, имевшие в старой системе. координат де й ствительы координаты, получают в новой системе координат комплексные координаты, из которых первые $2 p$ состоят из $p$ пар комплексно сопряженных чисел, а остальные имеют действительные значения. В новых координатах исходное преобразование задается приведенными в тексте простыми формулами. — Прим перев.

Напомним, что всегда существует действительное преобразование $P$, которое приводит квадратичную форму $F(x)$ к виду
\[
G(y)=d_{1} y_{1}^{2}+d_{2} y_{2}^{2}+\ldots+d_{m} y_{m}^{2} .
\]

Если $p$ есть число положительных, а $q$ — число отрицательных коэффициентов $d_{k}$, то разность ${ }^{1}$ ) $p-q$ не зависит от способа приведения формы $F(x)$ к виду (3.3), а сумма ${ }^{2}$ ) $p+q=m$ равна рангу матрицы $Q$.

Ортогональные преобразования представляют особый интерес. Они характеризуются тем, что их матрицы $P$ удовлетворяют условию $P P^{\prime}=E$ или $P^{\prime}=P^{-1}$. Важнейшее своиство этих преобразований состоит в том, что они оставляют неизменной квадратичную форму с единичной матрицей коэффициентов. Действительно, ортогональное преобразование $P$ не меняет квадратичную форму
\[
H(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2},
\]

поскольку ее матрица равна $E$, а $P^{\prime} E P=P^{-1} E P=E$, и потому
\[
H(P y)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{n}^{2} .
\]

Ортогональные преобразования отличаются тем, что они не изменяют расстояний. В терминах динамики их можно представить себе как вращения (возможно, с отражениями) твердого тела относительно одной неподвижной точки.

Отметим без доказательства, что любая квадратичная форма может быть приведена некоторым ортогональным преобразованием к виду (3.3).

В случае плоскости при помощи ортогональных преобразований координат можно привести любую центральную кривую второго порядка (начало координат предполагается совпадающим с центром кривой) к каноническому виду
\[
A x^{2}+B y^{2}=C
\]
1) Она называется сигнатурой квадратичной формы. Прим. перев.
${ }^{2}$ ) Она называется рангом квадратичной формы. — Прим. перев.

( $x$ и $y$-обычные прямоугольные координаты). Это справедливо и в случае трехмерного пространства и вообще для пространства $n$ измерений (хотя при $n>3$ это уже не такой общеизвестный факт).

Положительно и отрицательно определенные квадратичные бормы. Квадратичную форму $F(x)$ называют положительно (или отрицательно) определенной, если $F(x)>0$ [или $F(x)<0$ ] для всех векторов $x
eq 0$. Этот факт часто кратко записывают с помощью матрицы $Q$ квадратичной формы $F(x)$, а именно $Q>0$ (или $Q<0$ ) и говорят, что $Q$ положительно (или отрицательно) определенная матрица. Из формул преобразования координат видно, что векторы $x=0$ и $y=0$ соответствуют друг другу. Поэтому если $F(x)$ положительно (отрицательно) определенная форма, то форма $G(y)$ будет также положительно (отрицательно) определенной и обратно. Таким образом, неравенства
\[
Q>0 \text { и } P^{\prime} Q P>0
\]

эквивалентны; конечно, утверждение остается справедливым, если в обоих неравенствах знак неравенства сменить на противоположный. Это показывает, что во многих вопросах, касающихся квадратичных форм, можно свободно применять преобразования координат.

Легко построить положительно определенные матрицы. Eсли $D$ — невырожденная матрица, то $D^{\prime} D>0$. Это нетрудно усмотреть, так как квадратичная форма $x^{\prime} D^{\prime} D x=\|D x\|^{2}$ принимает лишь неотрицательные значения и обращающаяся в нуль только при $D x=0$, т. е., в силу невырожденности матрицы $D$, только при $x=0$. Обратное утверждение также справедливо: если $Q>0$, то всегда можно найти такую невырожденную маmpuиу $D$, что $Q=D^{\prime} D$. Действительно, мы знаем, что существует ортогональная матрица $P$ такая, что
\[
P^{\prime} Q P=Q^{*}=\operatorname{diag}\left(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}\right) .
\]

Так как $Q>0$, то все числа $d_{k}>0$. Построим матрицу $D^{*}=\operatorname{diag}\left(\sqrt{d_{1}}, \ldots, \sqrt{d_{n}}\right)$. Очевидно, что эта матрица невырожденная, симметрическая $\left(D^{*^{\prime}}=D^{*}\right)$ и удовлетворяет равенству $D^{* 2}=Q^{*}$. Следовательно,
\[
Q=P Q^{*} P^{\prime}=P D^{*} D^{*} P^{\prime}=D^{\prime} D,
\]

где $D=D^{*} P^{\prime}$.
Из этого результата немедленно следует, что если $Q$ — положительно определенная матрица, то и обратная к ней матрица $Q^{-1}$ также является положительно определенной. Действительно, положительно определенная матрица $Q$ может быть представлена в виде $Q=D^{\prime} D$, где $D$ — некоторая невырожденная матрица. Тогда $Q^{-1}=D^{-1}\left(D^{-1}\right)^{\prime}$, и тем самым показано, что матрица $Q^{-1}$ также положительна.

Замечание. Пусть $A=\left(a_{i j}\right)$ является $m \times n$-матрицей. Часто бывают полезны равенства
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{diag}\left(b_{1}, \ldots, b_{m}\right) \cdot A=\left(b_{i} a_{i j}\right), \\
A \cdot \operatorname{diag}\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)=\left(a_{i j} c_{j}\right) .
\end{array}
\]

В первом случае все элементы $i$-й строки умножаются на $b_{i}$, а во втором случае все элементы $j$-го столбца умножаются на $c_{j}$. Конечно, если $b_{1}=\ldots=b_{m}=b$, то все элементы матрицы $A$ умножаются на $b$; если $c_{1}=\ldots$ $\ldots=c_{n}=c$, то все элементы умножаются на $c$.