Приводимые здесь примеры служат иллюстрацией очень важного положения, которое хотя и упоминалось, но еще не было нами детально разобрано. Речь идет о том, что метод Ляпунова позволяет выяснять устоичивость, используя лишь сами дифференциальные уравнения; при этом их решения не предполагаются известными.

Первые примеры совсем просты, но именно на таких простых примерах развивается мастерство и познается техника конструирования функцић Ляпунова.

Мы не будем здесь интересоваться конкретной величиной радиуса $\rho$ окрестности $Q$. При изложении примеров в этом разделе мы будем просто говорить „достаточно близко от начала координат\”, „достаточно малая область“, вместо „область $Q$ достаточно малого радиуса $\rho^{4}$. В следующем параграфе мы рассмотрим этот вопрос с практической точки зрения.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}+g(x)=0 \text {, }
\]

где $g(x)$-дифференцируемая при всех $x$ функция. Это уравнение можно интерпретировать как закон движения ${ }^{2}$ ) точечной единичной массы под действием силы $-g(x)$. Вводя переменную $y=\dot{x}$, придем к следующей системе:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-g(x),
\end{array}\right.
\]

эквивалентной исходному уравнению.
Пусть график функции $g(x)$ более или менее напоминает прямую, проходящую через начало коорди-
. 1) Подробнее по этому поводу см., например, Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959.- Прим. перев.
${ }^{2}$ ) По прямой. – Прим. перев.

нат ${ }^{1}$ ) так, что $x g(x)>0$ при $x
eq 0$ и $g(0)=0$. Пусть, далее,
\[
G(x)=\int_{0}^{x} g(x) d x .
\]

Кинетическая энергия рассматриваемой массы равна $\frac{y^{2}}{2}$, а $G(x)$ – ее потенциальная энергия. Поскольку сопротивления движению нет, закон сохранения энергии имеет вид
\[
V(x)=\frac{y^{2}}{2}+G(x)=k^{2} ;
\]

это равенство может быть получено также и непосредственно из системы (12.1).

Система (12.1) имеет единственное положение равновесия в начале координат. Функция $V(x)$ является функцией Ляпунова, так как ее производная в силу системы (12.1) равна
\[
\dot{V}=y \dot{y}+g(x) \dot{x}=0 .
\]

Следовательно, по теореме I, положение равновесия устойчиво.

Фактически решениями системы (12.1) служат кривые $V(x)=k^{2}$. Записав уравнения этих кривых в виде
\[
y= \pm \sqrt{2\left[k^{2}-G(x)\right]} \text {, }
\]

мы легко убедимся, что все они представляют собой замкнутые кривые, окружающие начало координат, которое поэтому не является асимптотически устойчивым положением равновесия.

Только что рассмотренное положение равновесия простой пример центра (рис. 16).
1) Илежащую в первом и третьем квадрантах. – Прим. перев.

Пример 2. Рассмотрим, снова на плоскости, систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=-\lambda x+\ldots \\
\dot{y}=-\mu y+\ldots
\end{array}\right.
\]

где $\lambda>0$ и $\mu>0$, а многоточием обозначены сходящиеся степенные ряды, начинающиеся с членов степени не ниже второй. Выберем, далее, $V=x^{2}+y^{2}$. Тогда
\[
\dot{V}=-2\left(\lambda x^{2}+\mu y^{2}\right)+\ldots .
\]

где многоточие означает на этот раз члены степени не ниже третьей. При достаточно малых $x$ и $y$ знак производной
Рис. 17.

определяется знаком выписанного члена, а потому $\dot{V}<0$ (исключая начало координат), т. е. $\dot{V}$ – отрицательно определенная функция. Так как $V(x)$ – положительно определенная функция, то выполнены условия теоремы II и положение равновесия асимптотически устойчиво.

Положение равновесия в этом случае – хорошо известный устойчивый узел (рис. 17).

Если $\lambda<0$ и $\mu<0$, то $\dot{V}>0$ (исключая начало координат) и выполнены условия теоремы III. Положением равновесия является неустойцивый узел (на рис. 17 направления всех стрелок должны быть заменены на противоположные).
Пример 3. Пусть теперь
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=\lambda x+\ldots \\
\dot{y}=-\mu y+\ldots
\end{array}\right.
\]

где $\lambda>0$ и $\mu>0$. В этом случае возьмем $V=x^{2}-y^{2}$. тогда
\[
\dot{V}=2\left(\lambda x^{2}+\mu y^{2}\right)+\ldots,
\]

где не выписаны члены степени выше второи; $\dot{V}$ имеет вблизи начала координат знак, совпадающий со знаком выписанного члена. Поэтому $\dot{V}$ – функция положительно определенная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых $V>0$ (например, $V=x^{2}>0$ вдоль $y=0$ ), то выполнены условия теоремы III: начало координат неустойчиво.
Это хорошо известный случай седла (рис. 18).
Пример 4. В трех предыдущих примерах характеристические корни $\lambda$ и $\mu$ были действительными. Займемся теперь случаем комплексно сопряженных характеристических корней:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=(a+b i) x+\ldots \\
\dot{\bar{x}}=(a-b i) \bar{x}+\ldots
\end{array}\right.
\]

где $b
eq 0$; многоточие означает сходящийся степенной ряд относительно $x$ и $\bar{x}$, начинающийся с членов не ниже второй степени, а многоточие с чертой означает степеннои ряд, комплексно сопряженный с первым. Предположим, что $a<0$. Пусть $V=x \bar{x}$. Тогда
\[
\dot{V}=\dot{x} \bar{x}+\dot{\bar{x}}=2 a V(x)+\ldots,
\]

где не выписаны члены степени выше второй. Очевидно, что $V$ и $-\dot{V}$ – положительно определенные функции. Выполнены и остальные условия теоремы II, а поэтому мы имеем асимптотическую устойчивость. В этом случае получаем хорошо известный устойчивый фокус (рис. 19).
Если $a>0$, то функции $V$ и $\dot{V}$ – положительно определенные, а потому положение равновесия – неустойчи-
Рис. 18.
Рис. 19.

вый бокус (на рис. 19 направления всех стрелок должны быть заменены на противоположные).

Пример 5. Интересным приложением является обычный замкнутый электрический контур с нелинейными элементами (рис. 20). Уравнение контура имеет вид
\[
\begin{aligned}
L \ddot{x}+R \dot{x} & +\frac{1}{C} x+ \\
& +g(x, \dot{x})=0,
\end{aligned}
\]

где $x$-заряд конденсатора и, следовательно, $\dot{x}-$ ток в цепи; $R$ – сопротивление, $L$ – индуктивность, Рис. 20. $C$ – емкость, а $g(x, \dot{x})$ нелинейные члены, имеющие степень не ниже второн. Эквивалентная этому уравнению система
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-\frac{1}{L C} x-\frac{R}{L} y-g(x, y)
\end{array}\right.
\]

имеет в начале координат положение равновесия. Характеристическими корнями являются корни уравнения
\[
\lambda^{2}+\frac{R}{L} \lambda+\frac{1}{L C}=0 .
\]

Они имеют отрицательные действительные части, поскольку $R, L$ и $C$ положительны.

Если $\frac{R^{2}}{L^{2}}<\frac{4}{L C}$, т. е. $R^{2}<\frac{4 L}{C}$, то оба собственных значения комплексно сопряженны и имеют отрицательную дейтвительную часть $-\frac{R}{L}$. В этом случае траектории имеют вид спиралей, а начало координат асимптотически устойчиво (устоичивый фокус). Если $R^{2}>\frac{4 L}{C}$, то начало координат также асимптотически устойчиво (устойчивый узел). Асимптотическая устойчивость положения равновесия довольно очевидна из физических соображений: при положительном омическом сопротивлении с течением времени ток неизбежно исчезает.

Только что рассмотренные примеры соответствуют хорошо известным типам положений равновесия на плоскости. Перейдем к некоторым примерам в $n$-мерном фазовом пространстве.

Пример 6. (Определение устойчивости по линейному приближению.) Пусть теперь $x$ является $n$-мерным вектором $x=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$. Рассмотрим систему
\[
\dot{x}=P x+q(x, t) \text {, }
\]

где $P$ – постоянная невырожденная матрица, а нелинейный член $q(x, t)$ – малая более высокого порядка, чем $\|x\|$, при всех $t \geqslant 0$. Предположение о $q(x, t)$ выполняется, например, если компоненты вектор-функции $q$ представляют собой сходящиеся при всех $x$ степенные ряды от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, начинающиеся с членов не ниже второй степени и имеющие в качестве коэффициентов функции от $t$, ограниченные при больших $t$. Для простоты мы предположим также, что компоненты вектор-функции $q(x, t)$ имеют частные производные первого порядка по $x_{k}$ и $t$, непрерывные при всех $t \geqslant 0$ в некоторой области $Q$ пространства $E^{n}$. Таким образом, в области $\boldsymbol{Q}$ для всех $t \geqslant 0$ справедлива теорема существования (см. § 5).

Допустим, что характеристические корни $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $P$ все различны. Разберем сначала случай, когда все они действительны. В этом случае можно выбрать такие действительные координаты, в которых система (12.2) сохраняет исходный вид, но $P=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$. Далее имеются две возможности.
а) Корни $\lambda_{k}$ все отрицательны. Положим
\[
V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} ;
\]

следовательно, производная в силу системы (12.2)
\[
\dot{V}=\left(\lambda_{1} x_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{n} x_{n}^{2}\right)+s(x, t),
\]

где $s(x, t)$ – малая более высокого порядка, чем выписанная в скобках квадратичная форма. Таким образом, в достаточно малой области $\Omega$ как $V$, так и $-\dot{V}$ – положительно определенные функции. Но тогда выполнены условия теоремы II, и начало координат асимптотически устойчиво.
б) Некоторые из корней $\lambda_{k}$ (например $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}$, $p \leqslant n$ ) положительны, а остальные отрицательны. Выбирая
\[
V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\ldots-x_{n}^{2},
\]

мы находим, что
\[
\dot{V}=\left(\lambda_{1} x_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{p} x_{p}^{2}-\lambda_{p+1} x_{p+1}^{2}-\ldots-\lambda_{n} x_{n}^{2}\right)+s(x, t),
\]

где $s(x, t)$ имеет тот же смысл, что и в а). Таким образом, сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых $x_{p+1}=\ldots=x_{n}=0$ ), где $V>0$. Что касается производной $\dot{V}$, то она (поскольку $\lambda_{p+1}, \ldots, \lambda_{n}<0$ ) – положительно определенная функция. Используя теорему III, убеждаемся, что начало координат неустойчиво.

Обратимся теперь к случаю, когда некоторые из чисел $\lambda_{k}$ комплексные, например, $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}$ – действительные ${ }^{1}$ ), а $\lambda_{p+1}, \bar{\lambda}_{p+1}, \ldots, \lambda_{p+m}, \bar{\lambda}_{p+m}$ – комплексные, причем $p+2 m=n$. Если корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}$ – отрицательные и числа $\lambda_{p+k}, k=1, \ldots, m$, все имеют отрицательные действительные части, то определим
\[
V=x_{1}^{2}+\ldots+x_{p}^{2}+x_{p+1} \bar{x}_{p+1}+\ldots+x_{p+m} \bar{x}_{p+m} .
\]

Повторяя рассуждения случая а), мы докажем, что начало координат асимптотически устойчив. Если же среди корней $\lambda_{1}, \ldots \lambda_{p}$ есть положительные или если некоторые из чисел $\lambda_{p+k}$ имеют положительные действительные части, то, элементарно видоизменив рассуждения случая б), получим, что начало координат неустойчиво.

Подводя итог, мы сформулируем следующее утверждение. Для того чтобы начало координат было асымптотически устойчивым положением равновесия нелинейной системы (12.2), достаточно, чтобы все характеристические корни матрицы $P$ имели отрицательные действительные части. Если имеется хотя бы один характеристический корень с положительной действительной частью, то начало координат неустойчиво.

Подчеркнем, что хотя часто решения системы (12.2) совершенно неизвестны, тем не менее и тогда метод Jяпунова дает очень ценную информацию об устоичивости.

Замечание. Ниже, в связи с задачами автоматического регулирования, будет показано, что если все корни $\lambda_{k}$, независимо от того, различны они или нет, имеют отрицательные действительные части, то начало координат асимптотически устойчиво.

Пример 7. (Критический случай.) Пусть исследуемая система имеет вид
\[
\dot{x}=P x+q(x),
\]

где $P$-постоянная матрица, а $q(x)$ – вектор-функция, компоненты $q_{1}, \ldots, q_{n}$ которой представляют собой сходящиеся степенные ряды от компонент $x_{i}$ вектора $x$, начинающиеся с членов не ниже второй степени.
1) Случай $p=0$ не исключается. – Прим. перев.

Критическим будет тот случай, когда среди собственных значениы матрицы $P$ имеются нули или пары чисто мнимых чисел.

Элементы $p_{i j}$ матрицы $P$ будем представлять себе как координаты в некотором $n^{2}$-мерном евклидовом пространстве. Точки этого пространства, отвечающие матрицам, у которых все характеристические корни имеют отрицательные действительные части, заполняют некоторую область $R$. Эта область соответствует асимптотически устойчивым системам. Если теперь приближаться к граничной точке $M$ области $R$, то некоторые из характеристических корней стремятся к нулю или к чисто мнимым числам; точка $M$ будет критической точкой.

Ляпунов разобрал случай, когда у матрицы $P$ имеется один нулевой или одна пара чисто мнимых характеристических корней. Мы рассмотрим сейас оба эти случая ${ }^{1}$ ).
I. Один из характеристических корней матрицы $P$ равен нулю. Будем считать, что ненулевые характеристические корни матрицы $P$ различны и все имеют отрицательные действительные части.

Удобно обозначить порядок системы (12.3) через $n+1$. С помощью нескольких преобразований, которые хотя й запутаны, однако совсем несложны, система (12.3) приводится ск следующему виду (одну из переменных обозначим через $y$, а остальные – через $z_{1}, \ldots, z_{n}$, объеди няя их в $n$-мерный вектор $z$ ):
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{y}=F(y)+f_{0}(z)+f_{1}(z) y+f_{2}(z) y^{2}+\ldots \\
\dot{z}=Q z+H(y)+h_{0}(z)+h_{1}(z) y+h_{2}(z) y^{2}+\ldots,
\end{array}\right.
\]

где обозначения имеют следующий смысл:
$F(y)$ – степенной ряд с младшим членом $a y^{N}, N \geqslant 2$; $f_{i}, h_{i}$ – степенные ряды, младшие члены которых имеют степень не ниже
\[
\begin{array}{l}
3 \text { для } f_{0}, \\
2 \text { для } h_{0}, f_{1}, \ldots, f_{N-1}, \\
1 \text { для } h_{1}, h_{2}, \ldots, f_{N}, f_{N+1}, \ldots ;
\end{array}
\]
1) Более подробное изложение можно найти в указанных на стр. 54 книгах И. Г. Малкина и Н. Г. Четаева. – Прим. перев.

$Q$ – постоянная матрица, характеристические корни которой те же, что и у матрицы $P$, за исключением нуля, так что все характеристические корни матрицы $Q$ имеют отрицательные действительные части;
$H(y)$ – степенной ряд, начинающийся с членов степени $N+1$.

Следующий этап доказательства заключается в применении теорем Ляпунова. Сделаем предварительно некоторые замечания, касающиеся линейной системы
\[
\dot{z}=Q z \text {. }
\]

Поскольку характеристические корни матрицы $Q$ различны и все имеют отрицательные действительные части, для этой системы можно построить ${ }^{1}$ ) функцию Ляпунова $W(z)$. Как уже было выяснено, эта функция представляет собой положительно определенную квадратичную форму, полная производная $\dot{W}=U(z)$ которой по времени в силу системы (12.5) является отрицательно определенной функцией. Так как
\[
U=(\partial W / \partial z) \cdot Q z=\operatorname{grad} W \cdot Q z,
\]

то функция $U$ также является квадратичной формой Эти свойства производной функции Ляпунова системы (12.5) мы сразу же используем.

Обратимся теперь снова к вопросу об устойчивости системы (12.4); при этом разберем отдельно случаи, когда число $N$ четное и нечетное.
$N$ четное. Определим функцию ${ }^{2}$ )
\[
V(y, z)=y-a W(z) .
\]

Непосредственно находим, что вдоль траектории системы (12.4)
\[
\dot{V}=\dot{y}-a \dot{W}=a\left\{y^{N}-U\right\}+\ldots,
\]

где под многоточием здесь и ниже понимаются члены, малые по сравнению с выписанным (например, $y^{N+1}, y z^{2}, z^{3}$
1) См. пример 6. – Прим. перев.
2) Haпомним, что $a$-коэффициент при младшем члене ряда $F(y)$. – рим. перев.

и т. д.). Таким образом, вблизи начала координат знак производной $\dot{V}$ совпадает со знаком выражения $a\left\{y^{N}-U\right\}$, т. е. со знаком коэффициента $a$ : В то же время в произвольно малой окрестности начала координат функция $V$ не является знакоопределенной (например, при $z=0$ знак функции $V$ совпадает со знаком у). Следовательно, в сколь угодно малой окрестности начала координат функции $V$ и $\dot{V}$ могут иметь один и тот же знак; на основании теоремы III начало координат неустойчиво ${ }^{1}$ ).
$N$ нечетное. В этом случае возьмем
\[
V(y, z)=\frac{y^{2}}{2}-a W(z),
\]

так что
\[
\dot{V}=y \dot{y}-a \dot{W}=a\left\{y^{N+1}-U\right\}+\ldots .
\]

Вблизи начала координат функция $\dot{V}$ снова имеет знак коэффициента $a$. Если $a>0$, то в достаточно малой окрестности начала координат [сама точка $(0,0)$ исключается] $\dot{V}>0$; кроме того, сколь угодно близко от начала координат найдутся точки, в которых также и $V>0$. На основании теоремы III убеждаемся, что начало координат неустоћчиво. Если, наоборот, $a<0$, то вблизи начала координат имеем $V>0, \dot{V}<0$. А это, согласно теореме II, означает асимптотическую устойивость начала координат.

Суммируя сказанное, приходим к следующему результату Ляпунова. Для устойчивости положения равновесия системы (12.4) в начале координат необходимо и достаточно, чтобы число $N$ было нечетно и коэфбициент а отрицателен.
II. Матрица $P$ имеет одну пару чисто мнимых характеристических корней. Полное исследование этого случая, гораздо более сложного, чем предыдущий, было осуществлено Ляпуновым. Мы же здесь лишь проиллюстрируем возникающую в этом случае ситуацию на примере системы второго порядка.
1) Для того чтобы формально применить теорему III, надо было бы в качестве функции Ляпунова взять sign $a \cdot V(y, z)$, где $V$ – определенная в (12.6) функция. – Прим. перев.

Именно, рассмотрим систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y-x f(x, y), \\
\dot{y}=-x-y f(x, y),
\end{array}\right.
\]

где функция $f(x, y)$ разлагагтся в сходящићся степенной ряд и $f(0,0)=0$. Характеристическими корнями матрицы $P$ в этом случае оказываются $\pm i$. Полагая $V=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$, находим
\[
\dot{V}=-\left(x^{2}+y^{2}\right) f(x, y) .
\]

Отсюда: если $f \geqslant 0$ в произвольно малой окрестности начала координат, то начало координат устойчиво; если $f$ – положительно определенная функция в некоторой окрестности начала координат, то начало координат асимптотически устоичиво;
если $f<0$ в произвольно малой окрестности начала координат, то начало координат неустоћчиво.
Разобранный нами пример иллюстрирует также следующий важный факт: в некоторых случаях вопрос об устойчивости положения равновесия не может быть разрешен только рассмотрением линейных членов; в этих случаях необходимо учитывать характер нелинейности системы.

Пример 8. Совсем просто применяется первая теорема Ляпунова об устойчивости к системам, имеющим первый интеграл $V(x)=c$. В этом случае $\dot{V}=0$, и поэтому начало координат устойчиво, если $V$ – положительно или отрицательно определенная функция. (Если $V$ – отрицательно определенная функция, то $-V$ – положительно определенный первый интеграл.) Сейас мы покажем на примере, как исследуется устоћчивость по линейному приближению с использованием первых интегралов.
Нелинеиная система дифференциальных уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=A x_{2}\left(x_{3}-a\right), \\
\dot{x}_{2}=B x_{1}\left(x_{3}-b\right), \\
\dot{x}_{3}=x_{1} x_{2}
\end{array}\right.
\]

часто встречается при изучении движения твердого тела; $A, B, a, b$ – постоянные. Эта система имеет три положения равновесия:
\[
\begin{array}{l}
E_{1}: x_{1}=\alpha, \quad x_{2}=0, \quad x_{3}=b ; \\
E_{2}: x_{1}=0, \quad x_{2}=\beta, \quad x_{3}=a \text {; } \\
E_{3}: x_{1}=0, \quad x_{2}=0, \quad x_{3}=\gamma \\
\end{array}
\]
(здесь $\alpha, \beta, \gamma$-произвольные постоянные).
a) Исследование положения равновесия $E_{1}$. Прежде всего, с помощью замены переменных
\[
y_{1}=x_{1}-\alpha, \quad y_{2}=x_{2}, \quad y_{3}=x_{3}-b
\]

перенесем положение равновесия в начало координат. Система (12.7) в новых координатах примет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}=A(b-a) y_{2}+A y_{2} y_{3}, \\
\dot{y}_{2}=B\left(y_{1}+\alpha\right) y_{3}, \\
\dot{y}_{3}=\left(y_{1}+\alpha\right) y_{2} .
\end{array}\right.
\]

Характеристическое уравнение линейного приближения
\[
\left|\begin{array}{ccc}
-\lambda & A(b-a) & 0 \\
0 & -\lambda & \alpha B \\
0 & \alpha & -\lambda
\end{array}\right|=\lambda\left(\alpha^{2} B-\lambda^{2}\right)=0
\]

имеет корни $0, \alpha \sqrt{B},-\alpha \sqrt{B}$. Допустим, что $\alpha
eq 0$, так как в противном случае точка $E_{1}$ совпадает с точкой $E_{3}$. Если $B>0$, то среди трех корней имеется один положительный и положение равновесия $E_{1}$ неустойчиво. Если же $B<0$, то мы имеем критический случай: один корень нулевой, а два других – сопряженные чисто мнимые. В этом случае нельзя получить каких-либо заключений из рассмотрения только линеинного приближения; мы должны принять во внимание и нелинеиные члены. К счастью, имеются два очевидных первых интеграла:
\[
\begin{array}{l}
V_{1}=y_{2}^{2}-B y_{3}^{2}=c_{1}, \\
V_{2}=\left(y_{1}+\alpha\right)^{2}-A\left(y_{3}+b-a\right)^{2}=c_{2} .
\end{array}
\]

Так как $B<0$, то $V_{1}$ – положительно определенная функция от $y_{2}$ и $y_{3}$, что означает устоћчивость по этим двум переменным: если первоначально $y_{2}$ и $y_{3}$ малы ${ }^{1}$ ), то они и останутся малыми. Далее, с помощью другого первого интеграла $V_{2}$ убедимся, что $E_{1}$ устойчиво: если $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ в начальный момент все малы, то они должны оставаться малыми все время.

Таким образом, мы показали, что положение равновесия $E_{1}$ устоичиво, если $B<0$, и неустойчиво, если $B>0$.
б) Исследование положения равновесия $E_{2}$. Благодаря симметрии мы немедленно убеждаемся, что положение равновесия $E_{2}$ устойчиво, если $A<0$, и неустойчиво, если $A>0$.
в) Исследование положения равновесия $E_{3}$. Замена переменных
\[
y_{1}=x_{1}, \quad y_{2}=x_{2}, \quad y_{3}=x_{3}-\gamma
\]

превращает положение равновесия в начало координат, а система (12.7) принимает вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}=A y_{2}\left(y_{3}-a+\gamma\right), \\
\dot{y}_{2}=B y_{1}\left(y_{3}-b+\gamma\right) \\
\dot{y_{3}}=y_{1} y_{2} .
\end{array}\right.
\]

Характеристическое уравнение ее линейного приближения таково:

Если $A B(\gamma-a)(\gamma-b)>0$, то имеется положительный корень, а тогда положение равновесия $E_{3}$ неустойчиво. Если же $A B(\gamma-a)(\gamma-b)<0$, то мы имеем критический случай: один корень нулевой, а два других – сопряжен-
i) То есть начальное значение $y_{1}^{0}$ произвольное, а $y_{2}^{0}$ и $y_{3}^{0}$ – достаточно малые. – Прим. перев.

ные чисто мнимые; линейное приближение не дает информации об устоичивости. Первым интегралом является
\[
V=-3(\gamma-b) y_{1}^{2}+A(\gamma-a) y_{2}^{2}+A B(a-b) y_{3}^{2}=c .
\]

Если все коэффициенты этого выражения имеют одинаковые знаки, так что функция $V$ положительно или отрицательно определенная, то положение равновесия $E_{3}$ устойчиво.

Таким образом, мы показали, что положение равновесия $E_{3}$ устоичиво, если одновременно $A B(\gamma-a)(\gamma-b)<0$ и $A(a-b)(\gamma-b)<0$, и неустойчиво, когда произведение $A B(\gamma-a)(\gamma-b)>0$. Если же $A B(\gamma-a)(\gamma-b)<0$, но $A(a-b)(\gamma-b)>0$, то предложенный способ не позволяет сделать какое-либо заключение об устойчивости положения равновесия $E_{3}$.

Пример 9. Рассмотрим консервативную колебательную систему с $n$ степенями свободы. Состояние системы в любой момент времени может быть описано с помощью $n$ обобщенных координат $q_{1}, \ldots, q_{n}$ и $n$ обобщенных импульсов $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Тогда закон движения системы в обобщенных координатах $q, p$ запишется в векторной форме при помощи гамильтоновой функции $H(p, q)$ следующим образом ${ }^{1}$ ):
\[
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} .
\]

Положениям равновесия системы соответствуют такие точки $2 n$-мерного пространства $q, p$, в которых обе частные производные первого порядка функции Гамильтона обращаются в нуль.

Пусть начало координат – изолированное положение равновесия; аддитивную постоянную в функции $H$ мы выберем так, чтобы $H(0,0)=0$. В обычных динамических системах функция $H$ имеет смысл полной энергии и ее можно представить в виде $H(p, q)=T(p)+W(q)$, где $T$ – кинетическая, а $W$ – потенциальная энергия. Кинетическая энергия $T$ – положительно определенная функция
1) Подробнее об обобщенных координатах и методах аналитической механики см. Гантм ахер Ф. Р., Лекции по аналитической механике, Физматгиз, 1960. – При., перев.

от $p^{1}$ ). Если потенциальная энергия имеет изолированный минимум при $q=0$, то $W$ – положительно определенная функция $q$. Следовательно, функция $H$ является положительно определенной, и, поскольку $\dot{H}=0$, положение равновесия $p=0, q=0$ устойчиво. Это – хорошо известная теорема Лагранжа, впервые сформулированная Лагранжем и доказанная Дирихле: состояние консервативной системы, в котором потенциальная энергия имеет изолированный минимум, является устойчивым положением равновесия.

Допустим теперь, что $H$-аналитическая функция; в этом случае ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{l}
T(p)=T_{2}(p), \\
W(q)=W_{k}(q)+W_{k+1}(q)+\ldots ;
\end{array}
\]

здесь $T_{2}(p)$ – положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами, а $W_{j}(q)$ – члены $j$ степени относительно $q$. Пусть $W(0)=0$ – изолированныи максимум потенциальной энергии; тогда $W_{k}(q)$ – отрицательно определенная форма $k$-и степени. Определим функцию
\[
V=p \cdot q=\sum_{i=1}^{n} p_{i} q_{i}
\]

ее полная производная в силу системы (12.8) равна
\[
\dot{V}=2 T_{2}(p)-k W_{k}(q)-(k+1) W_{k+1}(q)+\ldots
\]

Поскольку члены $2 T_{2}-k W_{k}$, являющиеся доминирующими
$\qquad$
1) Для консервативных систем кинетическая энергия является квадратичной формой от импульсов $p_{i}$ с коэффициентами, зависящими от координат $q_{i}$, т. е. $T=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) p_{i} p_{j}$. Авторы же рассматривают весьма частный случай, когда все коэффициенты $a_{i j}$ – постоянные.

Приводимое здесь доказательство теоремы Лагранжа сохраняет свою силу и для общего случая, когда $T=T(q, p)$. Однако при доказательстве дальнейших теорем существенно используется ограничение авторов. – При.м. ред.

вблизи начала координат, составляют положительно определенную функцию, то и $\dot{V}$ – положительно определенная функция. Функция Ляпунова $V$-скалярное произведение векторов $p$ и $q$, и потому она может принимать положительные значения в произвольно малой окрестности начала координат. Следовательно, по теореме III, начало координат неустойчиво. Таким образом, установлена следующая теорема Ляпунова ${ }^{1}$ ): состояние консервативной системы, в которой потенциальная энергия имеет изолированный максимум, является неустойчивым положением равновесия.

Эта теорема Ляпунова была обобщена Н. Г. Четаевым. Предположим только, что $W(0)=0$ не является минимумом потенциальной энергии. Следовательно, найдутся такие сколь угодно малые $q$, для которых $W(q)<0$. Так как $H(0, q)=W(q)$, то существуют сколь угодно близкие к началу координат точки $\{p, q\}$, где $H(p, q)<0$ для всех достаточно малых $p$. В произвольно малой окрестности начала координат имеются поэтому такие точки $\{p, q\}$, что одновременно
\[
p \cdot q>0, \quad-H(p \cdot q)>0 .
\]

Пусть $\Omega$ – некоторая окрестность начала координат, а $Q_{1}$ – множество точек окрестности $Q$, в которых выполняются оба только что указанных неравенства; очевидно, что начало координат принадлежит границе области $Q_{1}$. Положим $V=-(p \cdot q) H$. Поскольку $\dot{H}=0$, то, как и в рассмотренном раньше случае,
\[
\dot{V}=-\left[2 T_{2}(p)-k W_{k}(q)+\ldots\right] H(p, q) .
\]

Мы выберем окрестность $\Omega$ достаточно малой; так как $T_{2}(p)>0$, то $\left.{ }^{2}\right) W_{k}(q)<0$ внутри $\Omega_{1}$. Следовательно, при
1) Эта теорема доказана авторами при следующих ограничениях: 1) $W_{k}(q)$ – отрицательно определенная форма; 2) кинетическая энергия $T$ не зависит явно от $q$ (см. примечание на стр. 70). Первое условие имеется у Ляпунова, а второе уже является излишним (т. е. теорема справедлива без второго условия, .но доказательство должно быть иным). – Прим. ред.
2) Напомним что $T(p)+W(q)=H(p, q)<0$ в области $\Omega_{1}$. Поскольку $T(p)>0$, то $W(g)<0$. Предполагается, что при этом и $W_{k}(g)<0$. – Прим. перев.

достаточно малой $\mathcal{Q}$ члены в квадратных скобках положительны внутри $Q_{1}$, а потому в этой области производная $\dot{V}$ положительна. В точках границы области $Q_{1}$, лежащих внутри $Q$, либо $p \cdot q=0$, либо $H(p, q)=0$, т. е. $V=0$ во всех таких точках. Все условия теоремы V выполнены: положение равновесия неустойчиво. Положение равновесия консервативной системы, в котором потенциальная энергия не имеет минимума, неустойчиво $\left.{ }^{1}\right)$.