Матрицы являются в конечном итоге лишь алгебраическим аппаратом. Однако дифференциальные уравнения не могут быть изучены средствами одной чистой алгебры; для их изучения необходимо широко использовать и геометрию.

Само определение устофчивости и излагаемые ниже теоремы Ляпунова носят наглядный геометрический характер. Для правильного их понимания необходимы некоторые новые понятия. Мы относим эти понятия к „геометрическим\»; почти все они принадлежат наиболее общему разделу геометрии, называемому monoлozueй.

Между прочим, вместо того, чтобы говорить „фигура“ или „конфигурация“, мы условимся употреблять в дальнейшем более привычный и простой математический термин точечное множество или просто множество, который означает произвольную совокупность точек.

Рассмотрим сначала довольно простой объект: евклидову плоскость $E^{2}$ и на ней окружность радиуса $r$ с центром в точке $C=\{a, b\}$; уравнение этой окружности имеет вид
\[
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} .
\]

Точки $M$, отстоящие от $C$ меньше, чем на $r$, составляют круговую область (внутренность круга) и удовлетворяют условию $d(M, C)<r$. Аналитически это неравенство записывается так:
\[
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r^{2} .
\]

В обычном трехмерном пространстве вместо окружности мы возьмем сферу; тогда вместо неравенства (4.2) получим $\left.{ }^{1}\right)$.
\[
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}<r^{2} .
\]

По аналогии в $n$-мерном пространстве множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству
\[
\left(x_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-a_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n}-a_{n}\right)^{2}=r^{2} \text {. }
\]

называется гиперсферой или ( $n-1$ )-мерной сорерой. а сферическую область составляют такие точки $x$, что
\[
\left(x_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-a_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n}-a_{n}\right)^{2}<r^{2} \text {. }
\]

Если мы введем вектор $x-a$, то ${ }^{2}$ ) неравенству (4.5) можно придать более короткую форму:
\[
\|x-a\|<r \text {. }
\]

Точку $a$ пространства $E^{n}$ называют центром сферической области, а $r$ — ее радиусом; для обозначения сферической области используется символ $S(a, r)$.
1) Это неравенство выделяет те точки $\{x, y, z\}$ пространства $\tilde{Z}_{3}^{3}$, которые лежат строго внутри шара радиуса $r$ с центром і точке $\{a, b, c\}$. — Прим. перев.
${ }^{2}$ ) У равнение гиперсферы (4.4) примет вид $\|x-a\|=r$. Прим. перев.

Множество, целиком содержащееся в некоторой сферической области, называется ограниченным.

Определим теперь понятие область $n$-мерного пространства. Так называют точечное множество $U$ в пространстве $E^{n}$, обладающее следующими двумя свойствами:
a) если точка $C$ принадлежит множеству $U$, то ему целиком принадлежит и некоторая сферическая область $S(C, r)$ с центром в точке $C$;
Рис. 2.
б) любые две точки $C$ и $D$ множества $U$ можно соединить некоторой непрерывной кривой, целиком лежащей в $U$ (рис. 2).

Теперь мы определим следующие основные типы точечных множеств в пространстве $E^{n}$.

Открытое множество. Открытым называют такое точечное множество $U$, что ему вместе с любой его точкой $C$ целиком принадлежит и сферическая область $S(C, r)$ с центром в точке $C$ некоторого радиуса $r$ [иначе говоря, множество $U$ обладает свойством а), но не обязательно обладает свойством б)]. Например, внутренность квадрата или какого-либо другого многоугольника на плоскости является открытым множеством ${ }^{1}$ ) в пространстве $E^{2}$.

Замкнутое множество. Замкнутым называют множество $F$, представляющее собой внешность некоторого открытого множества $U$. Например, прямая линия или
1) В этих примерах открытое множество является одновременнө и областью. Если два многоугольника на плоскости не имеют общих точек, то их внутренность является открытым множеством (но не областью!). — Прим. ред.

плоскость в пространстве $E^{n}$ представляют собой замкнутые множества.

Граница открытого множества. Границей BU открытого множества $U$ называют совокупность таких не принадлежащих $U$ точек $C$, что в любо и сферической области $S(C, r)$ имеются точки из $U$ (рис. 3). Заметим, что $B U$ — замкнутое множество.

Компактное множество. Компактным называют замкнутое ограниченное множество. Простейший примеп
Рис. 3.

компактного множества — произвольное ограниченное открытое множество вместе со своей границей. В частности, сферическая область вместе со своей границей является компактным множеством; это множество иногда называют шаром.

Компактные множества имеют большое значение и обладают многими замечательными свойствами. Однако в дальнейшем нам потребуется лишь следующее предложение: если K-компактное множество и $f(x)$ непрерывная (скалярная) бункция переменного $x$, определенная на множестве $K$, то всегда можно найти два числа а и $\beta$ такие, что $\alpha \leqslant f(x) \leqslant \beta$ для любой точки $x$ из множества К; более того, если $f(x)$ принимает только положительные значения, то оба числа а а $\beta$ могут быть выбраны также положительными.

Приложение. Снова рассмотрим невырожденное преобразование координат
\[
x_{m}^{*}=\sum_{k=1}^{n} p_{m k} x_{k}, \quad m=1, \ldots, n .
\]

Мы попробуем сравнить длины $\|x\|$ и $\left\|x^{*}\right\|$ одного и того же вектора в старых и новых координатах; на самом деле удобнее сравнивать квадраты этих длин:
\[
R^{2}=\sum_{m=1}^{n} x_{m}^{2}, \quad R^{*^{2}}=\sum_{m=1}^{n} x_{m}^{* 2} .
\]

Пусть $x_{m}=R u_{m}$, так что
\[
u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}=1
\]

тогда
\[
R^{*^{2}}=\sum_{m=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{n} p_{m k} u_{k}\right)^{2} R^{2}=R^{2} f(u) \text {. }
\]

Заметим теперь, что, в силу предположения о невырожденности преобразования, $|P|
eq 0$, и, следовательно, система линейных уравнений
\[
\sum_{k=1}^{n} p_{m k} u_{k}=0, \quad m=1,2, \ldots, n
\]

имеет только тривиальное решение $u_{1}=u_{2}=\ldots=u_{n}=$ $=0$. Эти равенства несовместны с равенством (4.7), а потому $f(a)$ всюду на сфере (4.7) положительна ${ }^{1}$ ). Таким образом, существуют такие положительные постоянные $\alpha$ и $\beta$, что на множестве (4.7) выполняется соотношение $\alpha \leqslant f(u) \leqslant \beta$, т. е.
\[
\alpha R^{2} \leqslant R^{* 2} \leqslant \beta R^{2} .
\]

Полученные неравенства показывают, что обе величины $R$ и $R^{*}$ становятся малыми одновременно. Иными словами, говоря нестрого, $R$ и $R^{*}$ являются величинами одного и того же порядка. Это свойство будет полезно в дальнейшем.

Обозначения. Мы будем обозначать через $S(r)$ сферическую область $\|x\|<r$, а через $H(r)$ — ее границу, сферу $\|\dot{x}\|=r$. Для замкнутой сферической кольцевой области $r \leqslant\|x\| \leqslant R$ применяется обозначение $S_{r}^{R}$.
1). Иначе говоря, $f(u)=0$ лишь в начале координат пространства переменных $u$, а на сфере (4.7) имеем $f(u)>0$. Прим. перев.