Матрицы являются в конечном итоге лишь алгебраическим аппаратом. Однако дифференциальные уравнения не могут быть изучены средствами одной чистой алгебры; для их изучения необходимо широко использовать и геометрию.

Само определение устофчивости и излагаемые ниже теоремы Ляпунова носят наглядный геометрический характер. Для правильного их понимания необходимы некоторые новые понятия. Мы относим эти понятия к „геометрическим\»; почти все они принадлежат наиболее общему разделу геометрии, называемому monoлozueй.

Между прочим, вместо того, чтобы говорить „фигура“ или „конфигурация“, мы условимся употреблять в дальнейшем более привычный и простой математический термин точечное множество или просто множество, который означает произвольную совокупность точек.

Рассмотрим сначала довольно простой объект: евклидову плоскость $E^2$ и на ней окружность радиуса $r$ с центром в точке $C=\{a,b\}$; уравнение этой окружности имеет вид
$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

Точки $M$, отстоящие от $C$ меньше, чем на $r$, составляют круговую область (внутренность круга) и удовлетворяют условию $d(M,C)<r$. Аналитически это неравенство записывается так:
$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2.$$

В обычном трехмерном пространстве вместо окружности мы возьмем сферу; тогда вместо неравенства (4.2) получим ${}^1)$.
$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2<r^2.$$

По аналогии в $n$-мерном пространстве множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству
$${(x_1-a_1)}^2+{(x_2-a_2)}^2+\dots +{(x_n-a_n)}^2=r^2\text{. }$$

называется гиперсферой или ( $n-1$ )-мерной сорерой. а сферическую область составляют такие точки $x$, что
$${(x_1-a_1)}^2+{(x_2-a_2)}^2+\dots +{(x_n-a_n)}^2<r^2\text{. }$$

Если мы введем вектор $x-a$, то ${}^2$ ) неравенству (4.5) можно придать более короткую форму:
$$\Vert x-a\Vert <r\text{. }$$

Точку $a$ пространства $E^n$ называют центром сферической области, а $r$ — ее радиусом; для обозначения сферической области используется символ $S(a,r)$.
1) Это неравенство выделяет те точки $\{x,y,z\}$ пространства ${\tilde{Z}}_3^3$, которые лежат строго внутри шара радиуса $r$ с центром і точке $\{a,b,c\}$. — Прим. перев.
${}^2$ ) У равнение гиперсферы (4.4) примет вид $\Vert x-a\Vert =r$. Прим. перев.

Множество, целиком содержащееся в некоторой сферической области, называется ограниченным.

Определим теперь понятие область $n$-мерного пространства. Так называют точечное множество $U$ в пространстве $E^n$, обладающее следующими двумя свойствами:
a) если точка $C$ принадлежит множеству $U$, то ему целиком принадлежит и некоторая сферическая область $S(C,r)$ с центром в точке $C$;
Рис. 2.
б) любые две точки $C$ и $D$ множества $U$ можно соединить некоторой непрерывной кривой, целиком лежащей в $U$ (рис. 2).

Теперь мы определим следующие основные типы точечных множеств в пространстве $E^n$.

Открытое множество. Открытым называют такое точечное множество $U$, что ему вместе с любой его точкой $C$ целиком принадлежит и сферическая область $S(C,r)$ с центром в точке $C$ некоторого радиуса $r$ [иначе говоря, множество $U$ обладает свойством а), но не обязательно обладает свойством б)]. Например, внутренность квадрата или какого-либо другого многоугольника на плоскости является открытым множеством ${}^1$ ) в пространстве $E^2$.

Замкнутое множество. Замкнутым называют множество $F$, представляющее собой внешность некоторого открытого множества $U$. Например, прямая линия или
1) В этих примерах открытое множество является одновременнө и областью. Если два многоугольника на плоскости не имеют общих точек, то их внутренность является открытым множеством (но не областью!). — Прим. ред.

плоскость в пространстве $E^n$ представляют собой замкнутые множества.

Граница открытого множества. Границей BU открытого множества $U$ называют совокупность таких не принадлежащих $U$ точек $C$, что в любо и сферической области $S(C,r)$ имеются точки из $U$ (рис. 3). Заметим, что $BU$ — замкнутое множество.

Компактное множество. Компактным называют замкнутое ограниченное множество. Простейший примеп
Рис. 3.

компактного множества — произвольное ограниченное открытое множество вместе со своей границей. В частности, сферическая область вместе со своей границей является компактным множеством; это множество иногда называют шаром.

Компактные множества имеют большое значение и обладают многими замечательными свойствами. Однако в дальнейшем нам потребуется лишь следующее предложение: если K-компактное множество и $f(x)$ непрерывная (скалярная) бункция переменного $x$, определенная на множестве $K$, то всегда можно найти два числа а и $\beta$ такие, что $\alpha ⩽f(x)⩽\beta$ для любой точки $x$ из множества К; более того, если $f(x)$ принимает только положительные значения, то оба числа а а $\beta$ могут быть выбраны также положительными.

Приложение. Снова рассмотрим невырожденное преобразование координат
$$x_m^{\ast }=\sum _{k=1}^n{p}_{mk}{x}_k,m=1,\dots ,n.$$

Мы попробуем сравнить длины $\Vert x\Vert$ и $\Vert x^{\ast }\Vert$ одного и того же вектора в старых и новых координатах; на самом деле удобнее сравнивать квадраты этих длин:
$$R^2=\sum _{m=1}^n{x}_m^2,R^{{\ast }^2}=\sum _{m=1}^n{x}_m^{\ast 2}.$$

Пусть $x_m=R{u}_m$, так что
$$u_1^2+u_2^2+\dots +u_n^2=1$$

тогда
$$R^{{\ast }^2}=\sum _{m=1}^n{\left(\sum _{k=1}^n{p}_{mk}{u}_k\right)}^2{R}^2=R^{2}f(u)\text{. }$$

Заметим теперь, что, в силу предположения о невырожденности преобразования, $|P|eq0$, и, следовательно, система линейных уравнений
$$\sum _{k=1}^n{p}_{mk}{u}_k=0,m=1,2,\dots ,n$$

имеет только тривиальное решение $u_1=u_2=\dots =u_n=$ $=0$. Эти равенства несовместны с равенством (4.7), а потому $f(a)$ всюду на сфере (4.7) положительна ${}^1$ ). Таким образом, существуют такие положительные постоянные $\alpha$ и $\beta$, что на множестве (4.7) выполняется соотношение $\alpha ⩽f(u)⩽\beta$, т. е.
$$\alpha R^2⩽R^{\ast 2}⩽\beta R^2.$$

Полученные неравенства показывают, что обе величины $R$ и $R^{\ast }$ становятся малыми одновременно. Иными словами, говоря нестрого, $R$ и $R^{\ast }$ являются величинами одного и того же порядка. Это свойство будет полезно в дальнейшем.

Обозначения. Мы будем обозначать через $S(r)$ сферическую область $\Vert x\Vert <r$, а через $H(r)$ — ее границу, сферу $\Vert \dot{x}\Vert =r$. Для замкнутой сферической кольцевой области $r⩽\Vert x\Vert ⩽R$ применяется обозначение $S_r^R$.
1). Иначе говоря, $f(u)=0$ лишь в начале координат пространства переменных $u$, а на сфере (4.7) имеем $f(u)>0$. Прим. перев.