До настоящего момента мы занимались задачей регулирования, в которой требовалось поддерживать систему в положении равновесия довольно простой природы.

Более общей является следующая проблема. Пусть работа машины описывается $n$-мерным векторным уравнением
\[
\dot{y}=Y(y),
\]

и пусть оно имеет решение $y=\xi(t)$, которое описывает желаемый режим работы. Из общих соображений мы можем предположить, что $\xi(t)$ ограничено при всех $t \geqslant 0$. Нашей задачей является осуществление такого регулирования, при котором разность $y-\xi(t)$ по возможности незначительна. Иными словами, мы приходим к задаче
\[
\dot{x}=Y(y)-\dot{\xi}(t)=Y[x+\xi(t)]-\dot{\xi}(t),
\]

или
\[
\dot{x}=X(x, t), \quad X(0, t) \equiv 0 \quad \text { при } \quad t \geqslant 0 .
\]

Здесь начало координат является положением равновесия и требуется, чтобы оно было устойчивым.

Включая регулятор, управляемый с помощью $\sigma, f(\sigma)$, мы можем записать в общем виде
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{x} & =F(x, f(\sigma), t), \\
\dot{\sigma} & =G(x, f(\sigma), t),
\end{aligned}\right.
\]

где $F(x, 0, t)=X(x, t)$, так что $F(0,0, t) \equiv 0$ при $t \geqslant 0$. Можно также считать, что $G(0,0, t) \equiv 0$ при всех $t \geqslant 0$. Таким образом, функцию $f(\sigma)$ надо выбирать как и прежде, т. е. начало координат пространства $x$, $\sigma$ будет положением равновесия, если $\sigma f(\sigma)>0$ при $\sigma
eq 0$ и $f(0)=0$. Это положение равновесия желательно сделать асимптотически устоичивым.

Пусть $\alpha, \beta, \gamma$-три скалярные функции от $t$ и вектора $x$, причем
\[
\alpha=\beta+\gamma .
\]

Предположим, что при достаточно больших $t$ и достаточно малых $x$ разность $\alpha-\beta$ мала и стремится к нулю вместе с $\|x\|$. Будем в таком случае вместо (22.3) писать $\alpha \doteq \beta$ и говорить, что $\alpha$ почти равно $\beta$. Можно сказать также более точно: возьмем $t_{0}>0$ достаточно большим и произвольное $\varepsilon>0$; тогда существует такое $\eta=\eta\left(\varepsilon, t_{0}\right)$, что при $t \geqslant t_{0}$ и $\|x\|<\eta$ справедливо неравенство $|\alpha-\beta|<\varepsilon$. Практическое значение соотношения $\alpha \doteq \beta$ состоит в том, что при всех больших $t$ и малых $\|x\|$ знак $\alpha$ совпадает со знаком $\beta$.

Допустим теперь, что систему (22.2) можно переписать в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x} \doteq A x+f(\sigma) b, \\
\dot{\sigma} \doteq c^{\prime} x-r f(\sigma),
\end{array}\right.
\]

где символ $\doteq$ понимается теперь по отношению к век. тору $\{x, \sigma\}$, т. е. по отношению к $\|x\|+|\sigma|$. Конечно смысл остальных символов $A, b \ldots$ тот же, что и в основной системе (15.11). Смысл системы (22.4) просто в том, что в правых частях собраны, так сказать, „главные члены\” функций $F$ и $G$.

Если мы теперь повторим наши прежние рассмотрения $\S 14,15,17$, то сможем убедиться, что по существу все остается справедливым при замене знака $=$ на $\doteq$. В частности, если основное неравенство (18.2) выполнено, то фуґкция $V$ будет функцией Ляпунова в некоторой области
\[
0 \leqslant\|x\|+|\sigma|<B, \quad t \geqslant t_{0} .
\]

Мы можем тогда иметь асимптотическую устойчивость в „малом“ (локально), но мы не в состоянии гарантировать ее в абсолютном смысле. Это все, что может дать изложенныи в этой главе метод в затронутом общем случае ${ }^{1}$ ).
1) Приведенные в этой главе достаточные условия абсолютной устойчивости системы (15.11) очень просты и удобны, но в то же время 9ти условия являются весьма узкими и зависят от выбора положительно определенной матрицы $C$, которая входит в основное неравенство (18.2). Существуют значительно более сильные достаточные условия абсолютной устойчивости системы (15.11), которые, в частности, охватывают все условия, получаемые из неравенства (18.2) при различных $C>0$. Читателя, желающего более детально познакомиться с этим кругом вопросов, мы отсылаем к книге Айзерман М. А. и Гантмахер Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем, Изд-во АН ССССР, 1963. – Прим. ред.