До настоящего момента мы занимались задачей регулирования, в которой требовалось поддерживать систему в положении равновесия довольно простой природы.

Более общей является следующая проблема. Пусть работа машины описывается $n$-мерным векторным уравнением
$$\dot{y}=Y(y),$$

и пусть оно имеет решение $y=\xi (t)$, которое описывает желаемый режим работы. Из общих соображений мы можем предположить, что $\xi (t)$ ограничено при всех $t⩾0$. Нашей задачей является осуществление такого регулирования, при котором разность $y-\xi (t)$ по возможности незначительна. Иными словами, мы приходим к задаче
$$\dot{x}=Y(y)-\dot{\xi }(t)=Y[x+\xi (t)]-\dot{\xi }(t),$$

или
$$\dot{x}=X(x,t),X(0,t)\equiv 0\text{ при }t⩾0.$$

Здесь начало координат является положением равновесия и требуется, чтобы оно было устойчивым.

Включая регулятор, управляемый с помощью $\sigma ,f(\sigma )$, мы можем записать в общем виде
$$\{\begin{array}{rl}\dot{x}& =F(x,f(\sigma ),t),\\ \dot{\sigma }& =G(x,f(\sigma ),t),\end{array}$$

где $F(x,0,t)=X(x,t)$, так что $F(0,0,t)\equiv 0$ при $t⩾0$. Можно также считать, что $G(0,0,t)\equiv 0$ при всех $t⩾0$. Таким образом, функцию $f(\sigma )$ надо выбирать как и прежде, т. е. начало координат пространства $x$, $\sigma$ будет положением равновесия, если $\sigma f(\sigma )>0$ при $\sigma eq0$ и $f(0)=0$. Это положение равновесия желательно сделать асимптотически устоичивым.

Пусть $\alpha ,\beta ,\gamma$-три скалярные функции от $t$ и вектора $x$, причем
$$\alpha =\beta +\gamma .$$

Предположим, что при достаточно больших $t$ и достаточно малых $x$ разность $\alpha -\beta$ мала и стремится к нулю вместе с $\Vert x\Vert$. Будем в таком случае вместо (22.3) писать $\alpha \doteq \beta$ и говорить, что $\alpha$ почти равно $\beta$. Можно сказать также более точно: возьмем $t_0>0$ достаточно большим и произвольное $\epsilon >0$; тогда существует такое $\eta =\eta (\epsilon ,t_0)$, что при $t⩾t_0$ и $\Vert x\Vert <\eta$ справедливо неравенство $|\alpha -\beta |<\epsilon$. Практическое значение соотношения $\alpha \doteq \beta$ состоит в том, что при всех больших $t$ и малых $\Vert x\Vert$ знак $\alpha$ совпадает со знаком $\beta$.

Допустим теперь, что систему (22.2) можно переписать в виде
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}\doteq Ax+f(\sigma )b,\\ \dot{\sigma }\doteq c^{\prime }x-rf(\sigma ),\end{array}$$

где символ $\doteq$ понимается теперь по отношению к век. тору $\{x,\sigma \}$, т. е. по отношению к $\Vert x\Vert +|\sigma |$. Конечно смысл остальных символов $A,b\dots$ тот же, что и в основной системе (15.11). Смысл системы (22.4) просто в том, что в правых частях собраны, так сказать, „главные члены\» функций $F$ и $G$.

Если мы теперь повторим наши прежние рассмотрения $\mathrm{\S }14,15,17$, то сможем убедиться, что по существу все остается справедливым при замене знака $=$ на $\doteq$. В частности, если основное неравенство (18.2) выполнено, то фуґкция $V$ будет функцией Ляпунова в некоторой области
$$0⩽\Vert x\Vert +|\sigma |<B,t⩾t_0.$$

Мы можем тогда иметь асимптотическую устойчивость в „малом“ (локально), но мы не в состоянии гарантировать ее в абсолютном смысле. Это все, что может дать изложенныи в этой главе метод в затронутом общем случае ${}^1$ ).
1) Приведенные в этой главе достаточные условия абсолютной устойчивости системы (15.11) очень просты и удобны, но в то же время 9ти условия являются весьма узкими и зависят от выбора положительно определенной матрицы $C$, которая входит в основное неравенство (18.2). Существуют значительно более сильные достаточные условия абсолютной устойчивости системы (15.11), которые, в частности, охватывают все условия, получаемые из неравенства (18.2) при различных $C>0$. Читателя, желающего более детально познакомиться с этим кругом вопросов, мы отсылаем к книге Айзерман М. А. и Гантмахер Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем, Изд-во АН ССССР, 1963. — Прим. ред.