Проблема расчета управления имеет два аспекта: приближенный численный расчет и решение вопроса в общем $\overline{\sum_{i=1}^{p} e_{i}=-a^{2}}<0$, то следует искать $\min s=\sum_{i<p}\left(h_{i}+e_{i}\right)-e_{p}$ на границе“
\[
\sum_{i=1}^{p-1} \frac{e_{i}^{2}}{h_{i}}=a^{2} .
\]

Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, находим этот минимум, т. е. нижнюю границу для допустимых значений:
\[
\inf s=\frac{\left(\sum_{i=1}^{p-1} e_{i}\right)^{2}-\left(\sum_{i=1}^{p-1}\left|e_{i}\right|\right)^{2}-e_{p}^{2}}{\sum_{i=1}^{p} e_{i}}
\]
— Прим. ред.
1) В частном случае $p=1$, исключая величину $y$, можно привести систему (19.5) к эквивалентному ей виду (15.11) и затем применить условие типа (18.2). — Прим. ред.

виде. Приближенное нахождение осуществляется строго обоснованными численными методами, и эту проблему можно считать решенной Выберем числовую матрицу $C>0$ для простоты в диагональной форме $\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)$, $d_{k}>0$; тогда матрица $B$ находится в результате решения линейной алгебраической системы (17.2) с числовыми коэффициентами. Поскольку, далее, $C^{-1}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{d_{1}}, \ldots, \frac{1}{d_{n}}\right)$, то все величины, входящие в неравенство (18.2), нами найдены. Таким образом, мы можем сделать заключение о характере устоичивости системы.

Обратим теперь наше внимание на решение вопроса о нахождении управления в общем виде, когда уравнения содержат буквенные коэффициенты. Такая постановка задачи очень важна с практической точки зрения. Дело в том, что во многих конкретных случаях в условие задачи входят, кроме точных числовых величин, некоторые допускающие варьирование параметры, область изменения которых должна быть определена в зависимости от тех или иных условий. Это оправдывает то внимание, которое будет уделено данному вопросу.

Чтобы избежать серьезных осложнений, мы будем считать, что все характеристические корни матрицы $A$ различны и не равны нулю. Разберем отдельно следующие два возможных случая: 1) все характеристические корни матрицы $A$ действйтельны; 2) некоторые из них комплексны.

Первый случа й. Все характеристические корни матрицы $A$ действительны и, следовательно, отрицательны ${ }^{1}$ ).

Обозначим характеристические корни матрицы $A$ через $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ и пусть $\lambda_{k}=-\mu_{k}, \mu_{k}>0$. Пусть, далее, $K=\operatorname{diag}\left(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right)$. Наша цель-получить в явном виде основное неравенство (18.2). Независимо от способа рассуждений, необходимо прямо или косвенно использовать такое преобразование координат $x=P y$, которое превращает матрицу $A$ в матрицу — $К$. Кроме того, возьмем
1) Поскольку с самого начала предполагалось (см. § 15), что матрица $A$ устойчива. — Прим. перев.

произвольную симметрическую матрицу $C>0$ и определим матрицу $B$ из системы (17.2). Пусть, далее, матрицы $A^{*}=-K, B^{*}, C^{*}$ определяются так же, как и в (17.3), а векторы $b^{*}=P^{-1} b, c^{*}=P^{\prime} c$. Система (15.11) перепишется тогда в форме [см. (15.12)]:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{y}=-K y+f(\sigma) b^{*}, \\
\dot{\sigma}=c^{*} \cdot y-r f(\sigma),
\end{array}\right.
\]

а равенства (17.5) примут вид
\[
\left\{\begin{array}{c}
b_{k i}^{*}=b_{i k}^{*}, \\
\left(\mu_{i}+\mu_{k}\right) b_{i k}^{*}=c_{i k}^{*}, \quad i \geqslant k .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, зная матрицу $C$, последовательно по схеме $C \rightarrow C^{*} \rightarrow B^{*} \rightarrow B$ мы можем найти матрицу $B$. Однако наше основное неравенство (18.2) и не требует, чтобы мы возвращались от $C$ к $B$. Если $C^{*-1}=\left(\gamma_{i j}\right)$, то (см. §2)
\[
\gamma_{i j}=\frac{1}{|C|} \cdot C_{l j}^{*} \text {, }
\]

где $C_{j i}^{*}$ — алгебраическое дополнение элемента $c_{i j}^{*}$ в определителе $\left|C^{*}\right|$, и мы сразу же получаем [см. 18.2)]
\[
r>\sum_{i, j=1}^{n} \gamma_{i j}\left(\frac{1}{2} c_{i}^{*}+\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{i k}^{*} b_{k}^{*}}{\mu_{i}+\mu_{k}}\right)\left(\frac{1}{2} c_{j}^{*}+\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{j k}^{*} b_{k}^{*}}{\mu_{j}+\mu_{k}}\right)
\]

Если мы выберем матрицу $C$ так, чтобы $C^{*}=\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)$, $d_{k}>0$ и чтобы правая часть равенства (20.2) имела минимум, то проведенные ранее вычисления приводят ${ }^{1}$ ) к гораздо более простому конечному выражению
\[
r>\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon_{i} b_{i}^{*} c_{l}^{*}}{\mu_{i}}
\]

где $\varepsilon_{l}$ имеет тот же смысл, что и в (18.4).
$\qquad$
‘) См. конец $\S 18 .-$ Прим. перев.

Для того чтобы закончить рассмотрение вопроса, остается только указать метод нахождения матриц $P$ и $P^{-1}$. Нахождение мат рицы $P$. Из равенства $P^{-1} A P=-K$ мы получаем $A P=-P K$, что приводит к следующей линейной алгебраической системе:
\[
\sum_{m=1}^{n} a_{i m} p_{m k}=p_{i k} \lambda_{k}, \quad l, k=1, \ldots, n .
\]

Следовательно, величины $p_{i k}$ при фиксированном $k$ являются решениями следующего векторного уравнения:
\[
\left(A-\lambda_{k} E\right) \xi=0 .
\]

Поскольку $\lambda_{k}$ — простые корни характеристическоге уравнения матрицы $A$, очевидно, что
a) ранг матрицы $A-\lambda_{k} E$ равен $n-1$;
б) вектор-решение $\xi$ уравнения (20.4) определяется однозначно с точностью до коэффициента пропорциональности;
в) компоненты $\xi_{i}$ решения $\xi$ пропорцианальны одновременно не равным нулю алгебраическим дополнениям элементов любой $r$-и строки определителя $\left|A-\lambda_{k} E\right|$.

Из а) следует, что среди алгебраических дополнений (при некотором $r$ ) имеются ненулевые. Множество этих чисел и выберем в качестве решения $\xi$. Иначе говоря, $k$-औ столбец матрицы $P$ будет представлять собой описанное ненулевое решение уравнения (20.4), компоненты которого могут быть найдены как алгебраические дополнения к элементам некоторой строки матрицы $A-\lambda_{k} E$.

Нахождение матрицы $P^{-1}$. Из определения обратной матрицы $P^{-1}=\left(\pi_{i j}\right)$ следует, что
\[
\pi_{i j}=\frac{1}{|P|} \cdot P_{i j}
\]

где $P_{j i}$-алгебраическое дополнение для элемента $p_{i j}$ в определителе $|P|$.

Наша проблема, таким образом, полностью решена в рассматриваемом случае.

Второйлуча и. Среди характеристичеких корней матрицы $A$ имеются комплексные.
Характеристическое уравнение
\[
|A-\lambda E|=0
\]

имеет действительные коэффициенты, а потому все комплексные корни можно разбить на пары комплексно сопряженных. Предположим, что корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ все различны и имеют отрицательные дейстительные части. Расположим эти корни следующим образом:
\[
\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}, \lambda_{2}, \bar{\lambda}_{2}, \ldots, \lambda_{k}, \vec{\lambda}_{k}, \lambda_{2 k+1}, \ldots, \lambda_{n} ;
\]

здесь первые $2 k$ корней образуют комплексно сопряженные пары, а последние $n-2 k$ корней — денствительные величины. Пусть, далее,
\[
\lambda_{p}=-\mu_{p}+i
u_{p} \quad \bar{\lambda}_{p}=-\mu_{p}-i
u_{p}, \quad 1 \leqslant p \leqslant k ;
\]
$\lambda_{p}=-\mu_{s}, \quad 2 k<s \leqslant n$, где $\mu_{m}$-все положительны.
Прежде всего сделаем такое преобразование координат $x=P_{1} z$, чтобы
\[
P_{1}^{-1} A P_{1}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}, \ldots, \lambda_{k}, \bar{\lambda}_{k}, \lambda_{2 k+1}, \ldots, \lambda_{n}\right) .
\]

Матрица $P_{1}$ играет здесь точно такую же роль, как и матрица $P_{\text {в }}$ рассмотренном выше первом случае, но только теперь в матрице $P_{1}$ столбцы, соответствующие $\lambda_{p}$ и $\bar{\lambda}_{p}$, состоят из комплексно сопряженных элементов. Координаты $z$ можно выбрать так, что дейстительным точкам соответствуют $z_{1}, \bar{z}_{1}, \ldots, z_{k}, \bar{z}_{k}, z_{2 k+1}, \ldots, z_{n}$ при уже указанном порядке чисел $\lambda_{i}$. Таким образом, система $\dot{x}=A x$ превратится (для деиствительных точек) в систему

Мы хотим теперь выполнить новое преобразование координат $z=P_{2}$ у следующим образом. Если $z_{p}=y_{p}^{\prime}+i y_{p}^{\prime \prime}$, $p \leqslant k$, то формулы преобразования выглядят так:
\[
\begin{array}{cc}
z_{p}=y_{p}^{\prime}+i y_{p}^{\prime \prime}, \quad \bar{z}_{p}=y_{p}^{\prime}-i y_{p}^{\prime \prime}, & 1 \leqslant p \leqslant k . \\
z_{s}=y_{s}, & 2 k<s \leqslant n .
\end{array}
\]

Иначе говоря, преобразование $P_{2}$ отдельно преобразует сопряженные пары $z_{p}, \vec{z}_{p}$ и не меняет действительные координаты $z_{s}$. Пусть $P=P_{1} P_{2}$. Тогда $P$ есть матрица преобразования, переводящего дейтвительные координаты $x$ снова в действительные координаты $y$, а потому, как легко проверить, $P$ — дейстительная матрица.

Все дальнейшие рассуждения будем проводить только в координатах $у$. Пусть $A^{*}, B^{*}$ и т. д. имеют тот же смысл, что и в первом случае. В результате преобразования с промежуточной матрицей $A_{0}=P_{1}^{-1} A P_{1}$ пары $z_{p}$ и $\overline{z_{p}}$ переходят соответственно в $\lambda_{p} z_{p}$ и $\overline{\lambda_{p}} \overline{z_{p}}$ при $1 \leqslant p \leqslant k$, а $z_{s}$ при $n \geqslant s>2 k-$ в $\lambda_{s} z_{s}$, где $\lambda_{s}$ — деиствительное число. Следовательно, матрица $A_{0}$ переводит $y_{p}^{\prime}+i y_{p}^{\prime \prime}$ в $\left(-\mu_{p}+i
u_{p}\right)\left(y_{p}^{\prime}+i y_{p}^{\prime \prime}\right)$, т. е. $y_{p}^{\prime}$ в $-\mu_{p} y_{p}^{\prime}-
u_{p} y_{p}^{\prime \prime}$ и $y_{p}^{\prime \prime}$ в ${ }_{p} y_{p}^{\prime}-\mu_{p} y_{p}^{\prime \prime}$. В координатах $y^{\prime}, y^{\prime \prime}$ мы можем записать это преобразование так:
\[
\begin{array}{ll}
\left(A^{*} y\right)_{p}^{\prime}=-\mu_{p} y_{p}^{\prime}-
u_{p} y_{p}^{\prime \prime}, & \\
\left(A^{*} y\right)_{p}^{\prime \prime}=
u_{p} y_{p}^{\prime}-\mu_{p} y_{p}^{\prime \prime}, & 1 \leqslant p \leqslant k ; \\
\left(A^{*} y\right)_{s}=-\mu_{s} y_{s}, & 2 k<s \leqslant n .
\end{array}
\]

Отсюда видно, что матрица $A^{*}$ имеет следующую структуру:

Выберем далее $C^{*}=\operatorname{diag}\left(d_{1}, d_{1}, \ldots, d_{k}, d_{k}, d_{2 k+1}, \ldots, d_{n}\right)$; тогда $C^{*-1}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{d_{1}}, \frac{1}{d_{1}}, \ldots, \frac{1}{d_{k}}, \frac{1}{d_{k}} \frac{1}{d_{2 k+1}}, \ldots, \frac{1}{d_{n}}\right)$.

При вычислении матрицы $B^{*}$ можно считать, что $A^{*}$ и $C^{*}$ имеют одинаковую структуру (но, конечно, с разными клетками). Отсюда легко вытекает, что можно предположить точно ту же структуру и для матрицы $B^{*}$, скажем,
\[
B^{*}=\left(\begin{array}{ccccccc}
H_{1} & & & & & & 0 \\
& H_{2} & & & & & \\
& & \cdot & & & & \\
& & \cdot & & & & \\
& & & H_{k} & & & \\
& & & & k_{2 k+1} & & \\
& & & & & \cdot & \\
0 & & & & & & \cdot \\
0 & & & & & k_{n}
\end{array}\right) .
\]

Выписывая соотношение (16.2) для $k_{s}$, мы немедленно находим
\[
k_{s}=\frac{d_{s}}{2 \mu_{s}}, \quad n \geqslant s>2 k .
\]

Для вычисления клеток $H_{j}$ потребуется только принять во внимание клетки $G_{j}$ и аналогичные клетки
\[
\left(\begin{array}{cc}
d_{j} & 0 \\
0 & d_{j}
\end{array}\right)
\]

в матрице $C^{*}$. Опуская для простоты индексы, мы приходим к равенству $G H+H O=-\operatorname{diag}(d, d)$ или, полагая
\[
H=\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\beta & \gamma
\end{array}\right) \text {, }
\]

к равенству
\[
\left(\begin{array}{rr}
-\mu &
u \\
—
u & -\mu
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\beta & \gamma
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\beta & \gamma
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
-\mu & —
u \\

u & -\mu
\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{ll}
d & 0 \\
0 & d
\end{array}\right) .
\]

Приравнивая здесь соответствующие элементы слева и справа, получаем три уравнения
\[
\begin{aligned}
-2 \mu \alpha+2 v \beta & =-d, \\
-2 \mu \gamma-2 v \beta & =-d, \\
-2 \mu \beta+
u(\gamma-\dot{\alpha}) & =0,
\end{aligned}
\]

которые легко решаются:
\[
\alpha=\gamma=\frac{d}{2 \mu}, \quad\left(\mu^{2}+v^{2}\right) \beta=0 .
\]

Поскольку $G$ — невырожденная матрица, то $\mu^{2}+
u^{2}
eq 0$, и потому $\beta=0$. Окончательно:
$H=\operatorname{diag}\left(\frac{d}{2 \mu}, \frac{d}{2 \mu}\right)$,
\[
B=\operatorname{diag}\left(\frac{d_{1}}{2 \mu_{1}}, \frac{d_{1}}{2 \mu_{1}}, \ldots, \frac{d_{k}}{2 \mu_{k}}, \frac{d_{k}}{2 \mu_{k}}, \frac{d_{2 k+1}}{2 \mu_{2 k+1}}, \ldots, \frac{d_{n}}{2 \mu_{n}}\right) .
\]

Определяя далее $b^{*}=P_{2}^{-1} P_{1}^{-1} b$ и $c^{*^{\prime}}=c^{\prime} P_{1} P_{2}$, мы находим из (18.2)
\[
\begin{aligned}
r>\sum_{p=1}^{k} \frac{1}{4 d_{p}}\left[\left(\frac{b_{2 p-1}^{*} d_{p}}{\mu_{p}}+c_{2 p-1}^{*}\right)^{2}\right. & \left.+\left(\frac{b_{2 p}^{*} d_{p}}{\mu_{p}}+c_{2 p}^{*}\right)^{2}\right]+ \\
& +\sum_{s=2 k+1}^{n} \frac{1}{4 d_{s}}\left(\frac{b_{s}^{*} d_{s}}{\mu_{s}}+c_{s}^{*}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Наименьшее значение второй суммы вычисляется как и прежде; оно равно
\[
\sum_{s=2 k+1}^{n} \frac{\varepsilon_{s} b_{s}^{*} c_{s}^{*}}{\mu_{s}},
\]

где $\varepsilon_{s}$ определяется формулой (18.4). Рассматривая члены первой суммы, мы попытаемся выбрать каждое из чисел $d_{p}$ так, чтобы достигался минимум выражения
\[
\frac{1}{4 d_{p}}\left(\frac{b_{2 p-1}^{*} d_{p}}{\mu_{p}}+c_{2 p-1}^{*}\right)^{2}+\frac{1}{4 d_{p}}\left(\frac{b_{2 p}^{*} d_{p}}{\mu_{p}}+c_{2 p}^{*}\right)^{2} .
\]

Положим
\[
\begin{array}{ll}
b_{p}^{\prime}=b_{2 p-1}^{*}, & b_{p}^{\prime \prime}=b_{2 p}^{*}, \\
c_{p}^{\prime}=c_{2 p-1}^{*} & c_{p}^{\prime \prime}=c_{2 p}^{*}, \\
b_{p}=\sqrt{b_{p}^{\prime 2}+b_{p}^{\prime \prime 2}}, & c_{p}=\sqrt{c_{p}^{\prime 2}+c_{p}^{\prime \prime 2}}
\end{array}
\]

вышеупомянутое выражение тогда достигает минимума при
\[
d_{p}^{2}=\frac{\mu_{p}^{2} c_{p}^{2}}{b_{p}^{2}},
\]

а само наименьшее значение равно
\[
\frac{1}{2 \mu_{p}}\left(b_{p} c_{p}+b_{p}^{\prime} c_{p}^{\prime}+b_{p}^{\prime \prime} c_{p}^{\prime \prime}\right) .
\]

Основное неравенство в случае $2 k$ комплексных корней может быть теперь записано в виде
\[
r>\sum_{p=1}^{k} \frac{1}{2 p_{p}}\left(b_{p} c_{p}+b_{p}^{\prime} c_{p}^{\prime}+b_{p}^{\prime \prime} c_{p}^{\prime \prime}\right)+\sum_{s=2 k+1}^{n} \frac{\varepsilon_{s} b_{s}^{*} c_{s}^{*}}{\mu_{s}},
\]

где $\varepsilon_{s}$ имеет смысл, указанный в (18.4). Напомним только, что $\mu_{p}$ — взятая с обратным знаком дейстительная часть комплексного корня $\lambda_{p}$.