В настоящем параграфе мы намерены изложить несколько идей, касающихся практической устойчивости, в надежде, что их обсуждение здесь привлечет внимание к этому важному вопросу ${ }^{1}$ ). В то же самое время станет ясно, почему некоторые исследования по устойчивости не могут быть оценены как очень серьезные. К этой категории принадлежат исследования, в которых принимается во внимание только линейное приближение.

Мы уже отмечали в $\$ 13$, что устойивость и даже асимптотическая устоћчивость сами по себе не обеспечивают практической устойчивости. Необходимо знать величину области асимптотической устойчивости и, кроме того, рассмотреть условия, в которых система должна работать, требования, которые к ней предъявляются, и т. п. Только после этого можно судить, будет ли рассматриваемая система достаточно устойчива для того, чтобы выполнять свои функции, и можно ли улучшить ее устойчивость.

Согласившись, что асимптотическая устоичивость сама по себе недостаточна для практической устойчивости, мы могли бы склониться к мысли, что она, однако, всегда представляет собой необходимое условие. Это утверждение также неверно. ІІоложение равновесия системы может быть математически неустойиво и тем не менее система может совершать колебания в достаточной близости от этого положения равновесия, так что ее режим является вполне приемлемым. Многие авиационные и ракетные устройства ведут себя именно таким образом. (Ниже мы приведем пример системы с неустойчивым положением равновесия, которая практически устойчива.)

Имея в виду все эти идеи, перейдем к формулировке определения практической устойчивости. Как и раньше, основной нашей системой является
\[
\dot{x}=X(x, t), \quad t \geqslant 0 .
\]

Положение равновесия расположено в начале координат $X(0, t) \equiv 0$ при всех $t \geqslant 0$. Возмущенная система
\[
\dot{x}=X(x, t)+p(x, t), \quad t \geqslant 0 .
\]

Мы выберем число $\delta$ и два множества $Q$ и $Q_{0}$. Именно, $Q$ – замкнутое ограниченное множество, содержа-
1) Подробнее эти вопросы рассматриваются в книге: Карачаров К. А. и Пилютик А. Г., Введеіние в техническую теорию устойчивости движения, Физматгиз, 1963. – Прим. перев.

щее начало координат, а $Q_{0}$ – подмножество множества $Q^{1}$ ). Пусть $x^{*}\left(t, x^{0}, t_{0}\right)$ – решение возмущенной системы $\left(\mathrm{F}^{*}\right)$, удовлетворяющее условию $x^{*}\left(t_{0}, x^{0}, t_{0}\right)=x^{0}$. Пусть, далее, $P$-совокупность всех возмущений $p$, удовлетворяющих условию $\|p(x, t)\|<\delta$ для всех $t \geqslant 0$ и всех $x$.

Если для каждого возмущения $p$ из $P$, каждой точки $x_{0}$ из $Q_{0}$ и каждого момента времени $t_{0} \geqslant 0$ решение $x^{*}\left(t, x^{0}, t_{0}\right)$ остается в множестве $Q$ при всех $t \geqslant 0^{2}$ ), то говорят, что начало координат обладает практической устойчивостью. Таким образом, решения, которые начинаются из точек множества $Q_{0}$, все время остаются в множестве $Q$ (рис. 29).

Понятие практической устойчивости включает в себя число $\delta$ и два множества $Q$ и $Q_{0}$. Множество $Q$ является множеством допустимых состояний нашей системы. Если решение $x^{*}(t)$ систе-

Рис. 29. мы ( $\left.\mathrm{F}^{*}\right)$ в момент $t$ находится внутри $Q$, то система в этот момент работает удовлетворительно. Подмножество $Q_{0}$ является совокупностью начальных положенић.

Прежде чем говорить о практической устойчивости, мы должны решить:
1) как близко от положения равновесия должна работать наша система, иначе говоря, что такое множество $Q$;
2) какой силы будут ожидаемые возмущения, иначе говоря, какова величина числа $\delta$;
3) какие начальные условия могут иметь место, иначе говоря, что представляет собой множество $Q_{0}$.

После того, как все эти вопросы решены, можно говорить о практической устойчивости.

Практическая устоћчивость не является ни более слабым, ни более сильным понятием по сравнению с обычной $\qquad$
1) Также имеющее начало координат своей внутренней точкой. – Прим. перев.
${ }^{2}$ ) И, следовательно, неограниченно продолжаемо. – Прим. nepes.

усюйчивостью. Положение равновесия может быть устой чивым в обычном смысле и не быть в то же самое время практически устойчивым и, наоборот, может быть практически устойчивым, не обладая одновременно устойчивостью по Ляпунову.

Практическая устойчивость означает равномерную ограниченность решений относительно множества $Q_{0}$ начальных значений и совокупности $P$ возмущающих воздействий. Однако для практической устойчивости требуется не только, чтобы существовала ограничивающая постоянная для решении, но и чтобы эта постоянная была достаточно мала; решения, начинающиеся в множестве $Q_{0}$, все время остаются в $Q . \mathrm{B} \S 14$, где мы обсуждали устойчивость по отношению к постоянным возмущениям, было показано, что если начало координат асимптотически устойчиво, то по заданному множеству $Q$ найдется такое подмножество $Q_{0} \subset Q$ и такое $\delta>0$, что относительно них положение равновесия практически устойчиво. В этой формулировке утверждается лишь существование множества $Q_{0}$ и числа $\delta>0$, но не содержится никаких сведений о их величине, так что это может и не приводить к практической устойчивости.

Лемма 1, § 24 дает нам некоторый метод для обнаружения практической устойчивости; при этом множество $M$ соответствует множеству $Q_{0}$, а $M_{r}$ соответствует $Q$. Производная $V$, подсчитываемая в силу возмущенной системы ( $\left.\mathrm{F}^{*}\right)$, должна быть неположительна вне $Q_{0}$ для всех возмущений $p$ из $P$.

Полезно иметь в виду, что иногда практическую устоичивость желательно обеспечить только в течение конечного времени $T$. Определение практической устойчивости в этом случае модифицируется требованием, чтобы решение $x^{*}\left(t, x^{0}, t_{0}\right)$ оставалось в множестве $Q$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant$ $\leqslant t_{0}+T$. Таким образом, если $V \leqslant l_{0}$ в $Q_{0}$ и $V \geqslant l$ вне $Q$, то выполнение неравенства
\[
\dot{V} \leqslant \frac{l-l_{0}}{T}
\]

в $Q$ означает, что любое решение, начинающееся в $Q_{0}$, будет оставаться в $Q$ в течение времени $T$.

По аналогии с полной устойчивостью (асимптотической устойчивостью в целом) мы можем определить сильную практическую устойчивость. Как и раньше, число $\delta$ и множества $Q$ и $Q_{0}$ заданы. Если начало координат практически устойчиво и если, сверх того, каждое решение $x^{*}(t)$ системы ( $\mathrm{F}^{*}$ ) для каждого $p$ из совокупности $P$ входит в конце концов в $Q$ и остается в нем, то мы скажем, что система (F) обладает сильной практической устойчидля всех $p$ из $P$ – необходимое условие сильной практической устойчивости системы (F).

C некоторым видоизменением методы, развитые в предыдущем параграфе для исследования предельной ограниченности, могут быть использованы для изучения сильной практической устоИчивости. Доказательство, аналогичное приведенным в § 24 , позволяет нам убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема XVIII. Пусть $V(x)$ – скалярная функция, имеющая непрерывные при всех х частные производные первого порядка, причем $V(x) \rightarrow \infty$ при $\|x\| \rightarrow \infty$. Пусть $\dot{V}_{*}$ означает производную этой функвне $Q_{0}$, для всех $р$ из $P$ и для всех $t \geqslant 0$ и если $V(x) \leqslant V(y)$ при любом выборе $x$ из $Q_{0}$ у вне $Q$, то система (F) обладает сильной практической устойчивостью.

Возьмем, в частности, в этой теореме в качестве $Q$ множество, определенное неравенством $V \leqslant l$. Тогда ни одно решение не может покинуть множество $Q$, и мы можем взять $Q_{0}=Q$.

Пример. В качестве простого примера исследования практической устоичивости иы снова рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
\[
\ddot{x}+\mu\left(\alpha^{2} x^{2}-1\right) \dot{x}+\beta x=0,
\]

где константы $\mu$ и $\beta$ положительны. Заменой переменных $x$ и $t$ это уравнение можно было бы привести к нормальному виду уравнения Ван-дер-Поля (13.4).

Вблизи начала координат сопротивление отрицательно, и положение равновесия неустойчиво. Мы покажем, что соответствующим выо́ором параметров можно получить
любой вид практической устоичивости, какой бы мы ни захотели. С другой стороны, если $\mu$ отрицательно, то положение равновесия асимптотически устоћчиво, но, несмотря на это, с практической точки зрения положение равновесия может быть весьма неустойчивым. Bсе это справедливо при отсутствии возмущений (т. е. при $\delta=0$ ). Как мы увидим, в результате действия возмущений устойчивость может стать еще менее удовлетворительной.
Возмущенное уравнение имеет вид
\[
\ddot{x}+\mu\left(\alpha^{2} x^{2}-1\right) \dot{x}+\beta x=p(x, \dot{x}, t),
\]

где $|p(x, \dot{x}, t)| \leqslant \delta$ для всех $x, \dot{x}, t$. Ему эквивалентна система
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-\mu\left(\alpha^{2} x^{2}-1\right) y-\beta x+p(x, \dot{x}, t) .
\end{array}\right.
\]

Определим функцию
\[
V(x, y)=\frac{1}{2}[y+F(x)-h(x)]^{2}+\frac{1}{2} y^{2}+\beta x^{2} .
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F(x)=\mu\left(\frac{\alpha^{2} x^{3}}{3}-x\right), \\
h(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
2 \mu x & \text { при } & |x| \leqslant a \\
2 \mu a \operatorname{sign} x & \text { при } & |x|>a .
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

Производная этой функции в силу системы (25.2) равна
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{*}=-\left[\mu\left(\alpha^{2} x^{2}-1\right)+\right. & \left.h^{\prime}(x)\right] y^{2}+ \\
+\left\{2 p-h^{\prime}(x)\right. & {[F(x)-h(x)]\} y-} \\
& -(\beta x-p)[F(x)-h(x)] .
\end{aligned}
\]

В качестве $Q_{0}$ возьмем прямоугольник $|x| \leqslant a,|y| \leqslant b$. Легко видеть, что для любого $\delta$ мы можем, выбирая $a$ и $b$ достаточно большими, получить неравенство $\dot{V}_{*} \leqslant-$ – $\varepsilon<0$ вне $Q_{0}$. Это показывает, что при ограниченных возмущениях $p(x, \dot{x}, t)$ система (25.2) предельно ограничена. Но мы хотели бы получить нечто большее.

Не будем стараться получить более точные оценки, хотя это и не трудно сделать. Мы хотим только показать, что для любого б можно, выбрав соответствующим образом $\mu, \alpha$ и $\beta$, сделать числа $a$ и $b$ сколь угодно малыми.

В невозмущенном случае $p=0$, а $Q_{0}$ – область, ограниченная предельным циклом. При $t \rightarrow \infty$ все решения наматываются на этот цикл, как спирали. В примере $2, \S 13$, мы дали некоторую оценку предельному циклу.

Возвращаясь к изучению функции $\dot{V}_{*}$, заметим, что $F(a)-h(a)>0$ при $a>\frac{3}{\alpha}$ и $F(a)-h(a)=0$ при $a=\frac{3}{\alpha}, \alpha>0$. Пусть $\lambda=F(a)-h(a)$. Выбирая $a>\frac{3}{\alpha}$, но столь близко к $\frac{3}{a}$, как это нам потребуется, мы будем иметь $\lambda>0$, но сколь угодно малым. При $|x| \leqslant \frac{3}{\alpha}$ наибольшее значение функции $\left.{ }^{1}\right) \quad|F(x)-h(x)|$ равно $\lambda_{0}=2 \sqrt{3} \frac{\mu}{\alpha}$. Пусть $a>\frac{3}{\alpha}$ выбрано так, чтобы $\lambda=\lambda_{0}{ }^{2}$ ). При $\lambda_{0} \rightarrow 0$ имеем $a \rightarrow \frac{3}{a}$. Тогда при $|x|>a$, поскольку $h^{\prime}(x)=0$, получим ${ }^{3}$ )
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{*} & \leqslant-8 \mu y^{2}+2 \delta y-2 \sqrt{3}\left(\frac{3 \beta}{\alpha}-\delta\right) \frac{\mu}{\alpha} \leqslant \\
& \leqslant \frac{\delta^{2}}{8 \mu}-2 \sqrt{3}\left(\frac{3 \beta}{\alpha}-\delta\right) \frac{\mu}{\alpha} .
\end{aligned}
\]
1) Это наибольшее значение достигается при $x_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{\alpha} \cdot-$ Прим. ред.
2) Значение $a$ определяется из равенства
\[
\lambda=\mu\left(\frac{a^{2} a^{3}}{3}-3 a\right)=\lambda_{0}=\mu\left(\frac{\alpha^{2} x_{1}^{3}}{3}-3 x_{1}\right) .
\]

Отсюда $\alpha^{2}\left(a^{3}-x_{1}^{3}\right)=9\left(a-x_{1}\right)$. Сокращая на $a-x_{1}$, получаем квадратное уравнение
\[
a^{2}+x_{1} a+x_{1}^{2}-\frac{9}{a^{2}}=0 .
\]

Подставляем $x_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{\alpha}$ (см. предыдущее примечание) и находим положительный корень $a=\frac{2 \sqrt{3}}{\alpha} .-$ Прим. ред.
3) При оценке величины $\ddot{V}_{*}$ в формулу (25.3) вместо $x$ подставляется величина $a$, при этом $F(x)-h(x)=\lambda_{0}=2 \sqrt{3} \frac{M}{\alpha}$. В разности $\beta x-8$ величина $x=a$ заменяется меньшей величиной $\frac{3}{\alpha},-П$ рим. ред.
При $|x| \leqslant a$, поскольку $h^{\prime}(x)=2 \mu$, будет $\left.{ }^{1}\right)$
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{*} & \leqslant-\mu y^{2}+\left[2 \delta+4 \sqrt{3} \frac{\mu^{2}}{a}\right]|y|+2 \sqrt{3} \frac{\delta \mu}{\alpha}+12 \frac{\beta \mu}{\alpha^{2}}= \\
& =-\mu\left(y^{2}-2 c_{1}|y|-c_{0}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
c_{1}=\frac{\delta}{\mu}+2 \sqrt{3} \frac{\mu}{\alpha}, \quad c_{0}=2 \sqrt{3} \frac{\delta}{\alpha}+12 \frac{\beta}{\alpha^{2}} .
\]

Таким образом, $\dot{V}_{*} \leqslant-\varepsilon<0$, если $|x| \leqslant a$ и $|y| \geqslant b>$ $>c_{1}+\sqrt{c_{1}^{2}+c_{0}}$. При $|x|>a$ мы убеждаемся, что эта же оценка для $\dot{V}_{*}$ справедлива, если
\[
\frac{3 \beta}{\alpha}>\delta+\frac{\alpha}{2 \sqrt{3} \mu}\left(\frac{\delta^{2}}{8 \mu}+\varepsilon\right) .
\]

Следовательно, выбирая числа $\alpha, \mu$ и $\beta$ так, чтобы отношения $\frac{\delta}{\mu}, \frac{\mu}{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha^{2}}$ и $\frac{\alpha}{\beta}$ были малы ${ }^{2}$ ), мы получим неравенство $\dot{V}_{*} \leqslant-\varepsilon<0$ вне прямоугольника $Q_{0}:|x| \leqslant a$, $|y| \leqslant b$, где $a$ и $b$ могут быть сколь угодно малыми. Заметим, что все эти отношения действительно возможно сделать малыми одновременно.

Пусть $V_{0}$ – максимум функции $V(x, y)$ в $Q_{0}$. Ясно, что
\[
V_{0}=\frac{1}{2}\left(b+\lambda_{0}\right)^{2}+\frac{1}{2} b^{2}+\beta a^{2} .
\]

Тогда $Q_{0}$ целиком содержится в множестве $Q$, определенном условием $V(x, y) \leqslant V_{0}$. Величина $V_{0}$ может быть выбрана сколь угодно малои; иначе говоря, и множество $Q$ может быть сделано сколь угодно малым. Вне множества $Q_{0}$ справедливо неравенство $\dot{V}_{*} \leqslant-\varepsilon<0$ и, следовательно, ни одно решение, начинающееся в $Q$, не может покидать $Q$ и каждое решение в конце концов вхо-
1) При оценке $|F(x)-h(x)|$ заменяется максимальным значением $2 \sqrt{3} \frac{\mu}{\alpha}$, а $|x|$-величиной $a=\frac{2 \sqrt{3}}{\alpha} .-\Pi$ рим. ред.
2) При этом можно сделать малым и отношение $\frac{\delta}{\mu}: \frac{\mu}{\alpha}=\frac{a \delta}{\mu^{2}}$. Прик. ред.

дит в $Q$. Таким образом, для любого $\delta$ мы можем выбрать $\alpha, \mu$ и $\beta$ так, чтобы практическая устойчивость была сколь угодно сильной.