Проблема устоичивости по отношению к постоянно действующим возмущениям усиленно изучалась советскими математиками, особенно И. Г. Малкиным, которому принадлежит доказываемая ниже теорема.
Возвратимся к неавтономной системе
\[
\dot{x}=X(x, t),
\]

относительно которой сделаны те же предположения, что и ранее $\left.{ }^{1}\right) ;$ в частности, $X(0, t) \equiv 0$ при всех $t \geqslant 0$. Если рассматривать „практические“ системы уравнений, которые отражают конкретные физические или техниче-
1) См. $\S 6$ и 10. – Прим. перев.

ские процессы, то несомненно, что возмущения должны возникать не только вследствие наличия начального отклонения $x(0)
eq 0$. Основным источником возмущений будут внешние случаћнне влияния, например, резкие толчки и т. д. С удетом внешних возмущений исходная система ( $\mathrm{F}$ ) примет несколько модифицированный вид:
\[
\dot{x}=X(x, t)+R(x, t) .
\]

При этом относительно функции $R(x, t)$ известно лишь то, что она в некотором смысле мала. Естественно было бы ожидать, что и здесь имеет место некоторая устойчивость.

В этои связи заслуживает внимания следующее предложение, доказанное Малкиным.

Теорема Х. Пусть для системы (F) существует бункиия Ляпунова $V(x, t)$, о которой известно, что в некоторой области $\mathrm{Q}$ : $\|x\|<\rho$ при всех $t \geqslant 0$ она удовлетворяет всем требованиям теоремы II об асимптотической устойчивости ${ }^{1}$ ). Далее, пусть существуют три положительно определенные функции $W(x), W_{1}(x), W_{2}(x)$ такие, что в области $\Omega$ при всех $t \geqslant 0$ выполняются неравенства
\[
W(x) \leqslant V(x, t) \leqslant W_{1}(x) ; \quad \dot{V}(x, t) \leqslant-W_{2}(x) .
\]

Предположим, кроме того, что в области $\Omega$ все частные производные дV/д $x_{i}, \quad l=1, \ldots, n$, ограничены при всех $t \geqslant 0$; иначе говоря, существует постоянная $M>0$ такая, что в области $\Omega$ выполнены неравенства
\[
\left|\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\right| \leqslant M, \quad i=1, \ldots, n, \quad t \geqslant 0 .
\]

в этих предположениях тривиальное решение системы (F) устойчиво в следующем смысле: для любого $\varepsilon, \quad 0<\varepsilon<\rho$, существуют такие два числа $\eta_{1}(\varepsilon)>0$ и $\eta_{2}(\varepsilon)>0$, что из неравенств
\[
\begin{aligned}
\|x(0)\| & <\eta_{1}(\varepsilon) ; \\
\|R(x, t)\| & <\eta_{2}(\varepsilon) \quad \text { nри всех. }\|x\|<\varepsilon u t \geqslant 0
\end{aligned}
\]

вытекает неравенство
\[
\|x(t)\|<\varepsilon \quad \text { при всех } \quad t \geqslant 0 .
\]
1) См. $\S 9$ и 10. – Прим. перев.

Для доказательства этой теоремы используем равенства ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\dot{V} & =X \cdot \operatorname{grad} V+\frac{\partial V}{\partial t}, \\
\dot{V}_{*} & =(X+R) \cdot \operatorname{grad} V+\frac{\partial V}{\partial t} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\dot{V}$ – производная функции Ляпунова $V(x, t)$ в силу системы (F) (т. е. производная по времени от этой функпроизводная этой же функции в силу системы (14.1).

Пусть $m$ – наименьшее значение функции $W(x)$ на сфере $H(\varepsilon)$ : $\|x\|=\varepsilon$. Вследствие непрерывности функции $W_{1}(x)$ и так как $W_{1}(0)=0$, существует такое положительное число $\eta_{1}(\varepsilon)$, что $W_{1}(x)<m$ в сферической области $S\left(\eta_{1}\right):\|x\|<\eta_{1}$. Поэтому $V(x, t)<m$ на сфере $H\left(\eta_{1}\right)$ и $V(x, t)>m$ на сфере $H(\varepsilon)$ при всех $t \geqslant 0$. Пусть $\mu$-положительное наименьшее значение функции $W_{2}(x)$ на кольцеобразном множестве $S_{\eta_{1}}^{z}$ : $\eta_{1} \leqslant\|x\| \leqslant \varepsilon$, и пусть $0<k<1$, причем $k$ достаточно мало отличается от единицы. Возьмем $\eta_{2}(\varepsilon)=\frac{k \mu}{n M}$ и предположим, что $\|R(x, t)\|<\eta_{2}(\varepsilon)$ при всех $x$ из $Q$ и всех $t \geqslant 0$. Рассмотрим траекторию системы (14.1), начинающуюся в момент $t=0$ в точке $x^{0}$ области $S\left(\eta_{1}\right)$ и допустим, что эта траектория попадает в „кольцо“ $S_{\eta_{1}}^{\varepsilon}$. Тогда в некоторый момент времени $t_{0}>0$ мы получим
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{*} & \leqslant-W_{2}(x)+\operatorname{grad} V \cdot R \leqslant \\
& \leqslant-\mu+\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\right| \cdot\left|R_{i}\right| \leqslant-\mu+n M\|R\| \leqslant \\
& \leqslant-(1-k) \mu<0 .
\end{aligned}
\]

Следсзательно, $V$ убывает вдоль каждой траектории системы (14.1) в „кольце\” $S_{\eta_{1}}^{\text {, }}$, а поэтому ни одна из траекторий системы (14.1), начавшихся в области $S\left(\eta_{1}\right)$, не сможет достигнуть сферы $H(\varepsilon)$. Это завершает доказа тельство теоремы.
1) См. соотношение (10.1). – Прим. перев.