Как известно, дифференциальные уравнения в той или иной форме были введены еще Ньютоном. Его законы движения — это первые примеры систем дифференциальных уравнений, и динамика по сей день остается одним из главнейших источников подобных задач.

Так как устоичивость в нашем понимании является свойством некоторых систем дифференциальных уравнений, то нам представляется целесообразным коротко рассказать о таких системах. Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения в дейстительной (вещественной) области. Иначе говоря, будут рассматриваться уравнения, в которые входят производные одной или нескольких неизвестных функций по действительной переменной $t$. Обычно переменную $t$ понимают как время, но это не существенно.

Во всех приложениях встречаются обыкновенные дифференциальные уравнения двух типов. Первый тип — уравнение $n$-го порядка:
\[
x^{(n)}=f\left(x, \dot{x}, \ldots, x^{(n-1)}, t\right)
\]
( $x^{(k)}$ означает $k$-ю производную от $x$ по $t$ ), второй система из $n$ уравнений первого порядка:
\[
\left\{\begin{array}{c}
\dot{x}_{1}=X_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right), \\
\dot{x}_{2}=X_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right), \\
\dot{x_{n}}=X_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right) .
\end{array}\right.
\]

В деиствительности уравнение (*) может быть сведено к системе (**) следующим образом. Введем новые переменные $x_{1}, \ldots, x_{n}$ по формулам
\[
x_{1}=x, \quad x_{2}=\dot{x}, \quad x_{3}=\ddot{x}, \ldots, \quad x_{n}=x^{(n-1) ;}
\]

тогда уравнение (*) можно заменить эквивалентной системой
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=x_{3}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{x}_{n-1}=x_{n}, \\
\dot{x}_{n}=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right),
\end{array}\right.
\]

которая является частным случаем системы (**).
Например, хорошо известное уравнение Ван-дерПоля
\[
\ddot{x}+\varepsilon\left(x^{2}-1\right) \dot{x}+x=0
\]

эквивалентно системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=-\varepsilon\left(x_{1}^{2}-1\right) x_{2}-x_{1} .
\end{array}\right.
\]

Рассматривая дифференциальные уравнения в форме (**), можно считать $x_{1}, \ldots, x_{n}$ компонентами $n$-мерного вектора $x$, а $X_{1}, \ldots, X_{n}$ — компонентами $n$-мерного вектора $X$; тогда мы получии запись системы (**) в компактной векторной форме
\[
\dot{x}=X(x, t) \text {. }
\]

Эта система дифференциальных уравнений и будет изучаться в дальнейшем.

Может случиться, что вектор-функция $X$ зависит только от $x$ и не зависит от времени. Уравнение (F) принимает тогда вид
\[
\dot{x}=X(x) \text {. }
\]

Система такого рода называется автономной. Например, система, полученная из уравнения Ван-дер-Поля, является автономной

Справедливости ради заметим, что в течение длительного времени математики не занимались фундаментальной проблемой о самом существовании решения у системы типа (F). Такие выдающиеся ученые, как Лагранж и Лаплас, считали существование решений само собой разумеющимся. Даже сравнительно недавно астрономы полагали самоочевидным существование специальных решении с определенными свойствами периодичности. Лишь в начале прошлого столетия великий французский математик Коши впервые доказал соответствуюшую теорему, в которой обосновал существование решений для широкого класса систем дифференциальных уравнений.

Заметим, что эта проблема фактически является несколько неопределенной. Рассмотрение даже простейших систем с постоянными коэффициентами, например,
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=a x_{1}+b x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=c x_{1}+d x_{2},
\end{array}\right.
\]

показывает, что решение получается с некоторым числом произвольных постоянных. Можно в таком случае требовать, чтобы решение удовлетворяло тем или иным условиям в определенные моменты времени.

После Коши были получены многочисленные теоремы существования. Мы приведем без доказательства одну из таких теорем, которая представляет собой частный случай классического предложения, называемого тео ремой Коши — Липшица. Эта теорема не является наиболее сильной из теорем существования, но она вполне достаточна для целей настоящей книги ${ }^{1}$ ).

Пусть $E_{x, t}^{n+1}$ означает $(n+1)$-мерное пространство с координатами $x_{1}, \ldots, x_{n}, t$, и пусть $Q$ — произвольная область в этом пространстве.

Теорема существования. Предположим, что в каждой точке области $\mathrm{Q}$ существуют и непрерывны частные производные $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}, i, j=1, \ldots, n$. Пусть
1) Отметим только, что эта теорема, одновременно с существованием и единственностью, утверждает непрерывную зависимость решения от начальных условий. Эта непрерывность означает, грубо говоря, что малые возмущения начальных условий приводят (за конечный промежуток времени) лишь к малым возмущениям решений. — Прим. перев.

$\left\{x^{0}, t_{0}\right\}$ — произвольная точка этой области. Тогда существует такое решение $x(t)$ системы (F), что $x\left(t_{0}\right)=x^{0}$. Это решение может быть продолжено всюду в области $Q$ и является непрерывной функцией от $\left\{x^{0}, t_{0}\right\}$ как точки области $\left.\Omega^{1}\right)$.
Рис. 4. Рис. 5.
Геометрическая интерпретация. Решение $x(t)$ определяет координаты $x_{1}, \ldots, x_{n}$ как функции времени $t$, т. е.
\[
x_{1}=f_{1}(t), \quad x_{2}=f_{2}(t), \ldots, x_{n}=f_{n}(t) .
\]

Это означает, что первые $n$ координат в пространстве $E_{x, t}^{n+1}$ являются функциями последней координаты $t$.

Например, при $n=1$ будет $x_{1}=f_{1}(t)$.. Если мы напишем $x$ вместо $t$ и $у$ вместо $x$, то придем к хорошо знакомой форме $y=f(x)$ уравнения кривой в плоскости $x, y$. Аналогично этому естественно представлять себе набор функций (5.1) как кривую в пространстве $E_{x, t}^{n+1}$ (рис. 4). Эта кривая называется интегральной кривой системы (F).

Можно, однако, рассматривать набор функций (5.1) как определение некоторой кривой ${ }^{2}$ ) в пространстве $E^{n}$ одних только переменных $x$ (рис. 5). В этом случае
1) Последнее свойство — непрерывная зависимость решения от $\left\{x^{0}, t_{0}\right\}$ — имеет место в любой компактной части области $Q$. . Прим. ред.
2) Время $t$ в этом случае считается просто параметром, т. е., иначе говоря, на равенства (5.1) можно смотреть как на параметрическое задание кривой. — Прим. перев.

кривую (5.1) называют траекто рией, а пространство $E^{R}$ базовым пространством (термин ведет свое происхождение из динамики).

Автономная система. Автономная система (FA) может быть также записана в форме
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}(x)}=\frac{d x_{2}}{X_{2}(x)}=\ldots=\frac{d x_{n}}{X_{n}(x)},
\]

не содержащей дифференциал $d t$ независимой переменной По существу это означает, что мы отказываемся от параметризации кривой (5.1). Действительно, если пойти далее и записать уравнения в виде
\[
\frac{d x_{1}}{d x_{n}}=\frac{X_{1}}{X_{n}}, \frac{d x_{2}}{d x_{n}}=\frac{X_{2}}{X_{n}}, \ldots, \frac{d x_{n-1}}{d x_{n}}=\frac{X_{n-1}}{X_{n}},
\]

то получится система, аналогичная (F), причем роль $t$ играет $x_{n}$. Решения этой системы удобно называть траекториями; как и прежде, через фиксированную точку „области существования“ $Q_{1}$ проходит одна и только одна траектория ${ }^{1}$ ). Переменная $t$ является теперь только параметром, и если прибавить к ней постоянную [т. е. заменить в (5.1) величину $t$ на $t+C]$, то траектория не изменится.

Изучая устойчивость, нам придется постоянно рассматривать систему (F), удовлетворяющую дополнительному требованию: $X(a, t) \equiv 0$ для всех $t \geqslant 0$. Это означает, что $x=a$ — решение. Геометрически указанное решение изображается лучом в пространстве $E_{x, t}^{n+1}$ или точкой $x=a$ в пространстве $E^{n}$. Такая точка называется положением равновесия (особой или критической точкой). Если за новую переменную взять $x-a$ и обозначить ее
1) Пространство $E^{n}$ в случае автономной системы также называется фазовым, а теорема единственности означает геометрически, что траектории системы (FA) не могут пересекаться друг с другом. В этом и состоит отличие автономных систем от неавтономных: траектории (но не решения!) системы (F) в фазовом пространстве могут пересекаться между собой. Подробнее теория автономных систем изложена в книге Л. С. Понтряrина, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 1961.-Прим. перев.

снова через $x$, то система (F) не изменит своего вида, но теперь $X(0, t) \equiv 0$ при $t \geqslant 0$, т. е. положением равновесия будет уже начало координат. Как правило, в дальнейшем предполагается выпо.тненным именно это последнее условие.

Часто встречается случай, когда функция $X(x, t)$ вблизи значения $x=0$ может быть представлена в форме
\[
X(x, t)=A x+q(x, t),
\]

где $A$ — постоянная матрица, а величина $\|q\|$ мала по сравнению с $\|x\|$ при малых $\|x\|$. Иначе говоря, предполагается, что при всех $t \geqslant 0$
\[
\frac{\|q(x, t)\|}{\|x\|} \rightarrow 0, \text { если }\|x\| \rightarrow 0 .
\]

Это выражается при помощи стандартного математического обозначения
\[
\|q(x, t)\|=o(\|x\|) .
\]

В рассматриваемом случае система (5.1) имеет вид
\[
\dot{x}=A x+q(x, t) .
\]

Предположим, что все характеристические корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $A$ различны. Тогда существует такая невырожденная матрица $P$, что
\[
P A P^{-1}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) .
\]

Рассмотрим сначала случаћ, когда все характеристические корни действительны; это означает, что и матрица $P$ может быть выбрана действительной. Сделаем в системе (5.2) преобразование координат $y=P x$. Так как $\frac{d}{d t}(P x)=P \dot{x}$, то
$\dot{y}=P \dot{x}=P A P^{-1} y+P q=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) y+q_{1}(y, t)$,
где $q_{1}=P q$, и легко можно показать, что
\[
\left\|q_{1}\right\|=o(\|y\|) .
\]

Система (5.3) оказывается того же типа, что и (5.2), но уже с диагональной матрицей $A$. Если же некоторые из характеристических корней комплексны, то положение будет точно таким же, за исключением того, что появятся такие комплексно сопряженные пары $\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}, \lambda_{2}, \bar{\lambda}_{2}, \ldots$, что для каждого действительного вектора $x$ соответствующие координаты вектора $y=P x$ будут комплексно сопряженными: $\bar{y}_{1}, \bar{y}_{1}, y_{2}, \bar{y}_{2}, \ldots$.

Линейные уравнения с постоянными коэффициен- тами. Так называются системы
\[
\dot{x}_{i}=a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\ldots+a_{i n} x_{n}, \quad i=1,2, \ldots, n,
\]

где все коэффициенты $a_{i j}$-постоянные числа. В векторно-матричных обозначениях система (5.4) записывается более компактно
\[
\dot{x}=A x, \quad A=\left(a_{i j}\right) .
\]

Мы кратко напомним некоторые основные своиства этих систем. Доказательства их хорошо известны и содержатся в большинстве курсов по теории дифференциальных уравнений ${ }^{1}$ ).
I. Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ — характеристические корни матрицы $A$, т. е. корни уравнения
\[
f(\lambda)=|A-\lambda E|=0 ;
\]

каждый корень при этом считается столько раз, какова его кратность. Каждая компонента вектора решения системы (5.5) представляет собой сумму не более $n$ членов вида $g_{j}(t) e^{\lambda_{j} t}$, где $g_{j}(t)$ — многочлен степени строго меньшей $n$.

I1. Существует $n$ линейно независимых решений Лaнейно независимыии называются такие $n$ векторов-решений $x^{[1]}, \ldots, x^{\mid n]}$, что соотношение
\[
c_{1} x^{[1]}+\ldots+c_{n} x^{[n]}=0
\]
1) См., например, Понтрягин Л С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 1961; Коддингтон Э. А. и Левннсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958; Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1961. — Пррим. перев.

не удовлетворяется ни при каком наборе констант $c_{1}, \ldots$ $\ldots, c_{n}$, если хотя бы одна из них отлична от нуля.
III. Пусть $x_{1 j}, \ldots, x_{n j}$-компоненты вектора-решения $x^{\{j\}}$, и пусть $X$ — матрица, $j$-甘 столбец которой состоит из этих компонент. Матрица $X(t)$ является невырожденной ${ }^{1}$ ) для каждого $t$, т. е. $|X(t)|
eq 0$ при любом $t$, и, следовательно, матрица $X(t)$ всегда имеет себе обратную.
IV. Непосредственно проверяется, что матрица $X$ удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
\[
\dot{X}=A X \text {. }
\]
V. Если $X$ удовлетворяет уравнению (5.6), то и $X C$, где $C$-любая постоянная матрица, также является решением этого уравнения.
VI. В частности, решение $\mathscr{X}(t)=X(t) X^{-1}(0)$ уравнения (5.6), часто обозначаемое через $e^{A t}$, обладает тем свойством, что $\mathscr{X}(0)=E$, причем других решений, обладающих этим свойством, не существует. Это решение называется главной матрицей решений ${ }^{2}$ ). Решение системы (5.5) с начальным условием $x(0)=c$ имеет вид $\mathscr{X}(t) c$.

Сопряженная система. Вместе с системой (5.4) удобно рассматривать сопряженную к ней систему
\[
\dot{y}_{i}=-\left(a_{1 i} y_{1}+a_{2 i} y_{2}+\ldots+a_{n i} y_{n}\right), \quad i=1,2, \ldots, n \text {, }
\]

или в матричной форме ${ }^{3}$ ) (у теперь вектор-строка)
\[
\dot{y}=-y A \text {. }
\]
1) Имеется в виду, что $x^{|j|}, j=1, \ldots, n$, — линейно независимые решения, т. е. что они составляют фундаментальную систему решений. Матрицу $X(t)$ иногда называют фундаментальной матрицей. — Прим. перев.
${ }^{2}$ ) В оригинале principal matrix solution. Эту матрицу иногда называют фундаментальной нормированной матрицей.Прим. перев.
3) Иногда, впрочем, у считают вектор-столбцом и записывают сопряженную систему в виде $\dot{y}=-A^{\prime} y$. II рим. перев.

Обращаться с системой (5.4)’ можно точно так же, как и с системой (5.4), только теперь всюду строки и столбцы меняются местами, а правое умножение матриц заменяется левым. Все изложенные выше свойства остаются справедливыми и будут обозначаться $\mathrm{I}^{\prime}, \mathrm{I}^{\prime}, \ldots, \mathrm{VI}^{\prime}$. В частности, матричное уравнение (5.6) примет вид
\[
\dot{Y}=-Y A \text {. }
\]

Характеристическими корнями матрицы $-A$ системы (5.5)’ служат корни уравнения
\[
|-A-\lambda E|=(-1)^{n}|A+\lambda E|=(-1)^{n} f(-\lambda)=0,
\]
т. е. $-\lambda_{1},-\lambda_{2}, \ldots,-\lambda_{n}$. Мы получаем следующее утверждение.

I’ $^{\prime}$. Каждая компонента вектора решения системы (5.5)’ представляет собой сумму не более $n$ членов вида $g_{j}(t) e^{-\lambda_{j} t}$, где $g_{j}(t)$-многочлен степени строго меньшей $n$.

Заметим, что $n$ линейно независимых решений системы (5.5) являются теперь строками матрицы $Y$.

Пусть $\mathscr{X}$-главная матрица решений системы (5.5). Можно показать, что $\mathscr{X}^{-1}$ является главной матрицей решений системы (5.5)’. Действительно, если обозначить $\mathscr{Y}(t)=\mathscr{X}^{-1}(t), \quad$ то $\quad \mathscr{Y}(0)=\mathscr{X}^{-1}(0)=E^{-1}=E$. Кроме того, из $\mathscr{X} \mathscr{Y}=E$ следует
\[
0=\dot{x} y+\mathscr{X} \dot{y}=A \mathscr{X} y+\mathscr{x} \dot{y}=A+\mathscr{X} \dot{y} .
\]
т. е. $\dot{y}=-\mathscr{X}^{-1} A=-\mathscr{Y} A$, и уравнение (5.6) воряется. Таким образом, $\mathscr{X}^{-1}(t)=e^{-A t}$ — главная матрица решений сопряженной системы (5.6)’.