Очень важную роль в дальнейшем играют так называемые положительно определенные скалярные функции $V(x)$, которые обладают следующими свойствами:
a) функция $V(x)$ непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области $\Omega$, содержащей начало координат;
б) $V(0)=0$;
в) всюду внутри области $Q$, кроме начала координат, функция $V(x)$ положительна.

Иными словами, функция $V(x)$ неотрицательна всюду внутри $Q$ и обращается в нуль только в начале координат, где имеет, таким образом, изолированный минимум.

Так как $V(x)$ имеет частные производные первого поркдка, то существует $\operatorname{grad} V$. Как известно, вдоль траектории $g$ системы (FA) выполняется равенство ${ }^{1}$ )
\[
\dot{V}=X \cdot \operatorname{grad} V \text {. }
\]

Если кроме приведенных выше свойств а), б), в) справедливо еще одно:
г) $\dot{V} \leqslant 0$ всюду в области $Q$,

то функция $V(x)$ называется функцией Ляпунова.
Выясним геомет рический смысл функции $V(x)$. С этой целью введем новую координату $z=V(x)$ и рассмотрим

эту поверхность в пространстве переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, z$, или, короче, в $E_{x, z}^{n+1}$. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае $n=2$ и для координат $x_{1}, x_{2}$ используем более привычные в этом случае обозначения $x, y$. Таким образом, наша задача — описать поведение поверхности $z=V(x, y)$ вблизи начала координат в предположении, что $V$-положительно определенная функция. Это теперь совсем нетрудно сделать. Так как $V \geqslant 0$ для малых $x, y$ и $V=0$ только для $x=y=0$,
1) Таким образом, полная производная функции $V(x)$ по времени в силу системы (FA) равна скалярному произведению вектора фазовой скорости $\left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\}$ на градиент функции $V$. Напомним, что производной в силу системы (FA) называется производная по $t$ сложной функции $V(x(t))$, где $x(t)$ — уравнение траектории $g$. — Прим. перев.

то поверхность $V(x, y)$ напоминает в общих чертах вогнутое вверх параболическое зеркало или стоящую на столе пиалу (рис. 11). Мы для краткости назовем такую поверхность чашей ${ }^{1}$ ). Если $V$ — отрицательно определенная функция, то чаша расположена вверх дном (таким было бы отражение пиалы, стоящей на зеркальном столе). В случае $n$-мерного пространства положение является точно таким же; поверхность $z=V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ будет $n$-мерной чашей.

Интересно и другое геометрическое истолкование функции $V(x)$. Пусть снова $n=2$, а $x$ и $y$-обычные декартовы координаты. Тогда линии уровня $V(x, y)=k$ представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат (рис. 12)22). Эти кривые можно представлять себе как проекции на плсскость $x, y$ (т. е. на плоскость $z=0$ ) линий пересечения описанной выше чаши горизонтальными плоскостями. При $n>2$ интерпретация остается точно такой же.

Некоторые специальные функции Ляпунова. Предположим, что в окрестности начала координат функция $V$ может быть записана в виде степенного ряда по переменным $x_{i}$ :
\[
V=V_{p}(x)+V_{p+1}(x)+\ldots .
\]

где $V_{k}(x)$-однородная симметрическая форма степени $k$ от переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Форма $V_{p}(x)$ является совокупностью членов низшего порядка в этом степенном ряде.

При малых $x$ члены $V_{p+1}, V_{p+2}, \ldots$ имеют более высокий порядок малости по сравнению с $V_{p}$, а потому знак функции $V$ в некоторой малой окрестности $Q$ начала координат совпадает со знаком формы. $V_{p}{ }^{3}$ ).
1) В оригинале сир. — Приж. перев.
2) Рис. 12 воспроизводит простейший, наиболее типичный случай, не исчерпывающий, однако, всех возможностей. — Прим. перев.
${ }^{3}$ ) Предполагается, что форма $V_{p}(x)$ знакоопределенная (положительно или отрицательно определенная). — Прим. ред.

Весьма полезен следующий простой факт: если $p$ нечетное число, то функция $V(x)$ не может быть бункцией Ляпунова. Денствительно, полагая
\[
x_{1}=x_{n} u_{1}, \quad x_{2}=x_{n} u_{2}, \ldots, \quad x_{n-1}=x_{n} u_{n-1}, x_{n}=x_{n} \cdot 1,
\]

получаем ${ }^{1}$ )
\[
V_{p}=x_{n}^{p} V_{p}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}, 1\right) .
\]

Фиксируя значения $u_{1}, \ldots, u_{n-1}$, мы видим, что знак формы $V_{p}$ совпадает со знаком $x_{n}^{p}$, если величина $V_{p}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, 1\right)>0$, или со знаком $-x_{n}^{p}$, если $V_{p}^{p}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, 1\right)<0$. Так как $p-$ нечетное число, то $x_{n}^{p}$ (или, соответственно, $-x_{n}^{p}$ ) вблизи начала координат может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а потому функция $V$ не будет положительно определенной. Конечно, приведенное рассуждение справедливо лишь в том случае, когда $u_{i}$ выбраны таким образом, что $V_{p}\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}, 1\right)
eq 0$. Такой выбор значений $u_{i}$ всегда возможен, поскольку форма $V_{p}(x)$ не обращается тождественно в нуль.

Таким образом, для того чтобы функция $V(x)$ могла быть функцией Ляпунова, низшая степень ее членов должна быть четной. Это, однако, лишь необходимое, но отнюдь не достаточное условие. Действительно, форма $V_{2}=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}$ не является ни положительно, ни отрицательно определенной, так как $V_{2} \geqslant 0$, например, при $x_{1}=0$ и $V_{2} \leqslant 0$ при $x_{2}=0$.

Простейшей положительно определенной функцией является положительно определенная квадратичная форма
\[
V(x)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, \quad a_{i j}=a_{j i} .
\]

Необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичной формы $V(x)$ были указаны Сильвестром. Критерий Сильвестра состоит в том, что все $\qquad$
1) По определению однородности, форма $V_{p}\left(k x_{1}, k x_{2}, \ldots, k x_{n}\right)=$ $=k^{p} V_{p}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .-$ Прим. перев.

последовательные главные миноры матрицы $\left(a_{i j}\right)$, соответствующей форме $V$, должны быть положительны:
\[
\begin{array}{c}
a_{11}>0 ; \quad\left|\begin{array}{l}
a_{11} a_{12} \mid \\
a_{21} a_{22}
\end{array}\right|>0 ; \ldots ;\left|a_{k m}\right|>0, \\
k, m=1,2, \ldots, n .
\end{array}
\]

Доказываться этот результат здесь не будет ${ }^{1}$ ).
Не следует думать, что положительно определенная функция всегда должна представлять собой один степенной ряд с четной наименьшей степенью. Например, функция
\[
V(x)=\left\{\begin{array}{lll}
x^{2} & \text { при } & x \geqslant 0, \\
x^{4} & \text { при } & x \leqslant 0
\end{array}\right.
\]

скалярного аргумента, очевидно, является положительно определенной.

Важное замечание. Окрестность $\Omega$ начала координат пространства $x$ однозначно отображается на чашу $z=V(x):$ каждой точке $x$ из $\Omega$ соответствует единственная точка $\{x, z\}$ на чаше и обратно. Кроме того, это соответствие непрерывно в обе стороны (т. е. взаимно непрерывно). Оба эти свойства имеют в виду, когда говорят, что это соответствие является топологическим.