Мы изучим соотношение (16.2). Оно получается следующим образом. Возьмем уравнение, описывающее движение объекта $S$ при отсутствии регулятора:
\[
\dot{x}=A x \text {, }
\]

и рассмотрим функцию $W(x)=x^{\prime} B x$. Производная этои функции в силу системы (17.1) равна
\[
\dot{W}=x^{\prime}\left(A^{\prime} B+B A\right) x=-x^{\prime} C x,
\]

где матрица $C$ определяется равенством (16.2). Очевидно, $\dot{W}$ может быть найдено из формулы (16.3), если положить $c=0, f(\sigma) \equiv 0$.

Важным следствием приведенной интерпретации равенства (16.2) является то, что это соотношение сохраняется без изменения при преобразовании координат $^{2}$ ). Связь между $W$ и $\dot{W}$ не зависит от выбора системы координат: если от координат $x$ переити к координатам $y$ по формуле $x=P y$, то $W(x)$ превратится просто в $W(P y)$, а $\dot{W}(x)-$ в $\dot{W}(P y)$. Таким образом, соотношение (16.2) сохраняется и для новых матриц $A, B, C$.

Снова возвращаясь к соотношению (16.2), легко видеть, что матрица $B$ однозначно определяет матрицу $C$ при любой матрице $A$. Это утверждение, однако, не так важно, как обратное. Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – корни характеристического уравнения матрицы $A$, каждый из которых повторен столько раз, какова его кратность.
1) Но не достаточно. Достаточные условия выясняются в $\S 18 .-$ Прим. перев.
2) Конечно, невырожденном. – Прим. перев.

eq 0, i, j=$ $=1, \ldots$, , то симметрическая матрица $B$ однозначно определяется по симметрической матрице $C$ ( при этом несущественно, являются эти матрицы положительно определенными или нет). Другими словами, соотношение (16.2) оказывается взаимно однозначным: существует ${ }^{1}$ ) одна и только одна симметрическая матрица $B$ для каждой симметрической матрицы $C$, и обратно.

Важный частный случай: матрица $A$ устойчива. Условие теоремы $\lambda_{i}+\lambda_{j}
eq 0$, очевидно, выполнено, и теорема применима.

Доказательство. Выпишем условия симметричности матрицы $B$ и условия равенства соответствующих элементов матриц, стоящих в соотношении (16.2) слева и справа. Тогда мы придем к следующей системе линейных уравнений для определения элементов $b_{k m}$ по заданным числам $c_{i j}{ }^{2}$ ):
\[
\left\{\begin{array}{l}
b_{i k}=b_{k i}, \quad i, k=1,2, \ldots, n, \\
\sum_{m=1}^{n}\left(a_{m i} b_{m k}+a_{m k} b_{i m}\right)=-c_{i k}, \quad i \geqslant k .
\end{array}\right.
\]

В силу соображений, высказанных в начале настоящего параграфа, эта система не изменяется при преобразовании координат $x=P y$, где $P$ – невырожденная матрица. После такой замены получаются новые матрицы
\[
A^{*}=P^{-1} A P, \quad B^{*}=P^{\prime} B P, \quad C^{*}=P^{\prime} C P,
\]

удовлетворяющие соотношению
\[
A^{* \prime} B^{*}+B^{*} A^{*}=-C^{*} \text {. }
\]

Получающаяся отсюда система (17.2)* для элементов этих матриц отличается от системы (17.2) только звездочками над буквами.
1) При любой матрице $A$, удовлетворяющей указанному в условии теоремы ограничению. – Прим. перев.
$\left.{ }^{2}\right)$ Элементы $a_{i j}$ матрицы $A$ предполагаются известными. Прим. перев.

Известно, что преобразование координат $P$ (быть может, комплексное) можно выбрать так, чтобы ${ }^{1}$ )
\[
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
G_{1} & & & \\
& G_{2} & & \\
& & \cdot & \\
& & & \\
0 & & & G_{r}
\end{array}\right),
\]

где $G_{k}$ – квадратные клетки („блоки“) вида ${ }^{2}$ )

Здесь $\varepsilon$ – постоянное (хотя и произвольңое) число, отличное от нуля, причем собственные значения матрицы $A^{*}$ не зависят от $\varepsilon$.

Пусть $\Delta(\varepsilon)$ – определитель линейной системы (17.2); нетрудно убедиться, что $\Delta(\varepsilon)$ является многочленом относительно $\varepsilon$. В частности, при $\varepsilon=0$ из (17.2)* получается система
\[
\left\{\begin{array}{c}
b_{i k}^{*}=b_{k i}^{*}, \quad i, k=1, \ldots, n, \\
\left(\lambda_{i}+\lambda_{k}\right) b_{i k}^{*}=-c_{i k}^{*}, \quad i \geqslant k .
\end{array}\right.
\]

Следовательно, ее определитель $\Delta(0)$ равен произведению всевозможных сумм, $\lambda_{i}+\lambda_{k}, i \geqslant k$ и, в силу условия теоремы, отличен от нуля. Поскольку $\Delta(0)
eq 0$, то мно- $\qquad$
1) Это так называемая нормальная жорданова форма матриц; клетки $G_{k}$ называются жордановыми клетками. Подробнее о приведении матриц к жордановой форме см. Гантмахер ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, $1954 ;$ Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, Физматгиз, 1956,-Прим. перев.
2) Обычно принимают $\varepsilon=1$. – Прим. перев.

гочлен $\Delta(\varepsilon)$ не равен нулю тождественно. Он имеет лишь конечное число корней, и если мы выберем є отличным от всех этих корней, то получим неравенство $\Delta(\varepsilon)
eq 0$.

Теперь неизвестные $b_{i k}^{*}$ однозначно определяются из системы (17.2)* по заданным числам $c_{i k}^{*}$, т. е. матрица $B^{*}$ однозначно восстанавливается по матрице $C^{*}$. Поскольку, далее, $B^{*}$ и $C^{*}$ однозначно определяются соответственно по матрицам $B$ и $C$ равенствами (17.3) и обратно, можно заключить, что все элементы матрицы $B$ взаимно однозначно определяются из системы (17.2) через известные элементы матрицы $C$. Теорема доказана.

Теорема XII. Пусть матрица $A$ устойчива. Если матрица $C$ положительно определенна, то указанная в теореме XI матрица $B$-единственное симметрическое решение уравнения (16.2)-также положительно определенна.

Доказательство. Мы построим явным образом симметричную матрицу $B$ и покажем, что она положительно определенная, если $C>0$.

Явное решение системы (17.2) получается следующим образом. Пусть ${ }^{1}$ )
\[
\dot{Y}=-Y A
\]
– матричное уравнение, сопряженное (см. §5) к системе (17.1). Тогда убедимся, что
\[
B=\int_{-\infty}^{0} Y^{\prime}(t) C Y(t) d t .
\]

Прежде всего мы должны показать, что интеграл сходится. Согласно свойству $\mathrm{I}^{\prime}, \S 5$, элементы матрицы $Y$ представляют собой конечные суммы членов вида $g(t) e^{-\lambda t}$, где $g(t)$ – многочлен степени меньше $n$, а $\lambda$-характеристический корень матрицы $A$. Но тогда точно такое же утверждение справедливо и для всех элементов матрицы $\qquad$
‘) Здесь $Y(t)$-главная матрица решений (нормированная фундаментальная матрица) системы (17.6). – Прим. ред.

$Y^{\prime} C Y$. Поскольку – имеет положительную действительную часть, то
\[
\int_{-\infty}^{0} g(t) e^{-\lambda t} d t
\]

существует ${ }^{1}$ ), а потому имеют смысл все элементы матрицы $B$.

Так как $\left(Y^{\prime} C Y\right)^{\prime}=Y^{\prime} C Y$, то $B^{\prime}=B$, т, е. $B$ – симметрическая матрица. Рассмотрим далее матрицы
\[
\begin{aligned}
A^{\prime} B & =\int_{-\infty}^{0} A^{\prime} Y^{\prime} C Y d t=-\int_{-\infty}^{0} \dot{Y}^{\prime} C Y d t, \\
B A & =\int_{-\infty}^{0} Y^{\prime} C Y A d t=-\int_{-\infty}^{0} Y^{\prime} C \dot{Y} d t .
\end{aligned}
\]

Учитывая, что $Y$-главная матрица решений, получаем
\[
A^{\prime} B+B A=-\int_{-\infty}^{0} \frac{d}{d t}\left[Y^{\prime} C Y\right] d t=-\left.Y^{\prime} C Y\right|_{-\infty} ^{0}=-C,
\]

так что матрица $B$ дећствительно удовлетворяет уравнению (16.2), и, таким образом, совпадает с единственным симметрическим решением этого уравнения, существование которого доказано в теореме XI.
Пусть теперь $C>0$. Рассмотрим квадратичную форму
\[
Q(x, t)=x^{\prime} Y^{\prime}(t) C Y(t) x .
\]
1) В самом деле, пусть $\lambda=\mu+i \gamma, \mu<0$ (ибо $A$ – устойчавая матрица). Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left|\int_{-\infty}^{0} g(t) e^{-\lambda t} d t\right| \leqslant \int_{-\infty}^{0}\left|g(t) e^{-i
u t}\right| \cdot e^{-\mu t} d t= \\
=\int_{-\infty}^{0}|g(t)| \cdot e^{-1 / 2 \mu t} \cdot e^{-1 / 2 \mu t} d t \leqslant \int_{-\infty}^{0} K e^{-1 / 2 \mu t} d t<\infty,
\end{array}
\]

так как величина $K=|g(t)| \cdot e^{-1 / 22^{2} t},-\infty<t \leqslant 0$, ограниченная. – Прим. перев.

Поскольку матрица $Y(t)$ невырождена при любом $t$, можно сделать преобразование координат $y=Y x$. В результате квадратичная форма примет вид $Q(y, t)=y^{\prime} C y$, и, следовательно, $Q(y, t)>0$ для всех векторов $y
eq 0$ и произвольного $t$. Так как $x=Y^{-1} y$, то условие $y
eq 0$ при произвольном $t$ равносильно неравенству $x
eq 0$. Поэтому $Q(x, t)>0$ для всех векторов $x
eq 0$ и любого $t$. Отсюда следует, что
\[
x^{\prime} B x=x^{\prime}\left(\int_{-\infty}^{0} Y^{\prime}(t) C Y(t) d t\right) x>0
\]

для всех $x
eq 0$, т. е. $B>0$. Теорема XII полностью доказана.