Интуитивно ясно, что если при приближении к положению равновесия физической системы энергия системы всегда убывает, то это положение равновесия устоћчиво. Теоремы Ляпунова обобщают эту идею, а функции Ляпунова можно рассматривать просто как развитие энергетических концепций. Центральная идея метода Ляпунова непосредственное исследование устойчивости положения равновесия системы (FA) при помощи подходящим образом построенной функции Ляпунова $V(x)$, причем делается $\qquad$
1) См., например, Ку рош А. Г., Курс высшей алгебры, физматгиз, 1962; Гантмахер ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, 1953. – Прим. перев.

это без предварительного нахождения решений системы (FA).

Приводимые далее утверждения мы доказываем по возможности геометрически. Однако все формулировки приводятся в строгой аналитической форме, что делает их удобными для приложений.

Теорема 1. (Теорема Ляпунова об устойчивости.) Если в некоторой окрестности $Q$ начала координат существует бункция Ляпунова $V(x)$, то начало координат устойчиво.

Теорема II. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.) Если, кроме того, – является положительно определенной функцией в $\Omega$, то начало координат асимптотически устойчиво.

Обе эти теоремы мы докажем одновременно; при этом мы используем геометрическую интерпретацию положительно определенной функции $V(x)$ с помощью линий уровня. Рисовать нам будет удобно в случае $n=2$, но все рассуждения справедливы, конечно, для любого $n$.

Наметим сначала геометрическую идею доказательства. Будем линии уровня функции $V(x)$ рисовать жирно, а сферы $H(r), H(R)$ – пунктиром (рис. 13). Взяв произвольно ${ }^{1}$ ) $R<p$, мы построим $H(R)$ и определим константу $k$ так, чтобы овал $C$, имеющий уравнение $V(x)=k$, целиком лежал внутри $H(R)$ (рис. 13). Далее выберем константу $r>0$ так, чтобы сфера $H(r)$ целиком находилась внутри $C$. Рассмотрим теперь какую-нибудь траекторию $g^{+}$, начинающуюся в произвольной точке $x^{0}$ сферической области $S(r)$; очевидно, что $V\left(x^{0}\right)<k$. Однако, поскольку $V$ не возрастает вдоль траектории, $g^{+}$никогда не сможет достичь $C$ и, следовательно, никогда не пересечет $H(R)$. Таким образом, любая траектория $g^{+}$, начинающаяся в области $S(r)$, всегда остается в $S(R)$, что и означает устойчивость. Совершенно ясно, что по заданному $R$ мы всегда можем подобрать $r$. Деиствительно, функция $V$ положительна и непрерывна на сфере $H(R)$,
1) Обозначения см. в 4 и 7. Здесь предполагается, что областью $\Omega$ является некая сферическая область $S(p)$. – Прим. перев.

а потому из компактности $H(R)$ следует, что эта функция имеет на $H(R)$ положительный минимум, равный $k$, т. е. $V(x) \geqslant k$ для всех точек $x$ сферы $H(R)$. Но функция $V(x)$ непрерывна и обращается в нуль только в начале координат. Поэтому существует достаточно малое $r$, такое, что $V(x)<k$ для всех $x$ в сферической области $S(r)$. Теорема I доказана ${ }^{1}$ ).

В предположениях теоремы II функция $V(x)$ строго убывает вдоль траектории $g^{+}$. Но может ли эта функция все время оставаться больше некоторого значения $l>0$ ? Конечно, нет. Если бы это было так, то $V$ стремилась бы к нулю вне некоторой сферы $H\left(r_{1}\right)$ (рис. 14), что невозможно, ибо – $\dot{V}$ – положительно определенная функция, и, следовательно, она имеет положительный минимум $m$ в \”кольце\” $S_{r_{1}}^{R}$. Таким образом, $V(x)$ монотонно убывает и стремится к нулю вдоль траектории $g^{+}$, что
1) В последних строках и заключается строгое доказательство теоремы I. Приведенные же выше рассуждения с линиями уровня $V=k$ являются нестрогими, так как они опираются на неверное положение, что геометрическое место $V=k$ всегда есть замкнутая кривая, внутри которой $V<k$, а вне $V>k$. Так, например, это неверно для положительно определенной функции $V(x)=f(\|x\|)$, где $f(z)$ – непрерывная вместе с первой производной положительно определенная функция от $z$, не монотон но стремяцаяся к нулю при $z \rightarrow 0 .-$ Прим. ред.

возможно лишь в том случае, когда $g^{+}$приближается к началу координат; это и есть асимптотическая устойчивость.

Теорема III. (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.) Пусть функция $V(x)$ такова, что $V(0)=0$ и все частные производные первого порядка непрерывны в окрестности $\mathrm{Q}$ начала координат. Если $\dot{V}$ положительно определенная функция, а сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция $V$ принимает положительные значения, то начало координат неустойчиво.

Функция $V(x)$ ограничена в окрестности $\Omega$. Возьмем произвольное ${ }^{1}$ ) $R$ и любое $r \leqslant R$. Внутри сферической области $S(r)$ мы выберем в качестве начальной точки траектории $g^{+}$такую точку $x^{0}$, что $V\left(x^{0}\right)>0$. Так как $\dot{V}$ – положительно определенная функция, то $V$ может только возрастать вдоль $g^{+}$, а потому $g^{+}$не будет приближаться к началу координат. Отсюда, как и ранее, получаем, что $\dot{V} \geqslant m>0$ вдоль $g^{+}$. Следовательно, функция $V$ должна неограниченно возрастать. Но тогда $g^{+}$ неминуемо достигнет границы $H(R)$ области $S(R)$, что и означает неустончивость.

Tеорема IV. (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.) Если функция $V(x)$ такая же, как и в теореме III, $a \dot{V}=\lambda V+V^{*}$, где $\lambda>0, u V^{*}(x)$ – неотрицательная бункция в $Q$, то начало координат неустойчиво.

Выберем, как и раньше, начальное значение $x^{0}$ в $S(r)$ так, чтобы $V\left(x^{0}\right)>0$. Пусть $x(t)$ – решение уравнения (FA), удовлетворяющее условию $x(0)=x^{0}$, а $g^{+}-$ траектория, выходящая из точки $x^{0}$. Используя условие теоремы, получаем
\[
\frac{d}{d t} V(x(t))=\lambda V(x(t))+V^{*}(x(t))
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(e^{-\lambda t} V\right)=e^{-\lambda t} V^{*} \geqslant 0 .
\]
1) Но, конечно, такое, чтобы область $S(R)$ целиком входила в ․ – При.м. перев.

Следовательно $\left.{ }^{1}\right), V \geqslant e^{\lambda t} V\left(x^{0}\right)$ вдоль $g^{+}$, т. е. $V$ неограниченно возрастает вдоль $g^{+}$, что, как и выше, указывает на неустоичивость.

Две приведенные теоремы Ляпунова о неустойчивости имеют тот недостаток, что в них речь идет о всей области $Q$. Утверждение, охватывающее обе эти теоремы, но использующее более узкую область, получил в начале $30-$ годов Н. Г. Четаев.

Tеорема V. (Теорема Четаева о неустойивости.) Пусть $\mathrm{Q}$ – некоторая окрестность начала координат. Пусть даны функция $V(x)$ и область $Q_{1}$ в окрестности $\Omega$, обладающие следующими свойствами:
1) частные производные первого порядка функции $V(x)$ непрерывны в области $Q_{1}$;
2) бункции $V(x)$ и $\dot{V}(x)$ положительны в области $Q_{1}$;
3) $V(x)=0$ в тех граничных точках х области $\Omega_{1}$, которые являются внутренними для $\Omega$;
Рис. 15.
4) начало координат является граничной точкой области $\Omega_{1}$.

В этих предположениях начало координат неустойчиво.

Нетрудно видеть, что любая траектория $g^{+}$, начинающаяся в $\mathcal{Q}_{1}$, должна покинуть $Q$, так как она не может
1) Интегрируя в пределах от 0 до $t$, приходим к окончательному результату. – Прим. перев.

пересечь границу области $Q_{1}$ внутри $Q$. Поскольку начало координат является граничной точкой для $Q_{1}$, мы можем указать произвольно близкие к началу координат точки, принадлежащие области $\Omega_{1}$. Траектории $g^{+}$, начинающиеся в этих точках, покидают $Q$. Следовательно, имеет место неустойчивость. Рис. 15 интуитивно, но весьма наглядно иллюстрирует сказанное. Кривые $V(x)=k$ в области $\Omega_{1}$ обязательно ведут себя только так, как там указано, причем $k$ уменьшается, когда кривая стремится к внутренней границе $B_{\Omega_{1}}$. Так как $k$ может вдоль $g^{+}$только возрастать, то эта траектория должна вести себя так, как показано на рисунке.