В теории автоматического регулирования возникла следующая задача. Дана система с регулятором, которая описывается совокупностью уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\ddot{\varepsilon}+\alpha \dot{\varepsilon}+\beta \varepsilon=\gamma \zeta, \\
\dot{q}+a q=g \dot{\varepsilon}+h \varepsilon, \\
\dot{\zeta}=f(\sigma), \\
\sigma=k_{1} q-k_{2} \zeta,
\end{array}\right.
\]

где $\varepsilon, \zeta, q, \sigma$ – переменные; $\sigma$ и $f(\sigma)$-элементы регулирования. Эту систему уравнений надлежит исследовать на устойчивость.

Дифференцируя первые два уравнения и полагая $x_{1}=\dot{\varepsilon}$, $x_{2}=\ddot{\varepsilon}, x_{3}=\dot{q}$, приходим к системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=A x+f(\sigma) b, \\
\dot{\sigma}=c^{\prime} x-r f(\sigma)
\end{array}\right.
\]

знакомого нам вида (15.11), но при $n=3$. Здесь
\[
\begin{array}{c}
A=\left(\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
-\beta & -\alpha & 0 \\
h & g & -a
\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l}
0 \\
\gamma \\
0
\end{array}\right), \\
c^{\prime}=\left\{0,0, k_{1}\right\}, \quad r=k_{2} .
\end{array}
\]

Предположив, что $k_{1} h \gamma-k_{2} a \beta
eq 0$, несложно показать, что если $x$ и $\sigma$ стремятся к нулю, то это же происходит и с $\varepsilon$ и $q$. Следовательно, вопросы устойчивости исходной системы можно с таким же успехом изучать, рассматривая систему (21.1).
Характеристическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{ccc}
-\lambda & 1 & 0 \\
-\beta & -\alpha-\lambda & 0 \\
h & g & -a-\lambda
\end{array}\right|=0,
\]

или $(\lambda+a)[\lambda(\lambda+\alpha)+\beta]=0$ имеет корни
\[
\lambda_{1}=-a, \quad \lambda_{2}=\frac{-\alpha+\delta}{2}, \quad \lambda_{3}=\frac{-\alpha-\delta}{2},
\]

где для краткости обозначено $\delta=\sqrt{\alpha^{2}-4 \beta}$.
Первын случай. $\lambda_{2}, \lambda_{3}$-действительные а различные числа. Условия, при которых все корни будут дећствительными, – различными и отрицательными, таковы ${ }^{1}$ ):
\[
a>0, \quad \alpha^{2}>4 \beta>0, \quad \alpha>0 .
\]

Мы заметим также, что $\lambda_{2}-\lambda_{3}=\delta$.
Вычисление матрицы $P$. Элементы первого столбца этой матрицы пропорциональны алгебраическим дополнениям одной из ненулевых строк матрицы
\[
A-\lambda_{1} E=\left(\begin{array}{ccc}
a & 1 & 0 \\
-\beta & a-\alpha & 0 \\
h & g & 0
\end{array}\right) .
\]

Возьмем, например, алгебраические дополнения элементов второй строки; тогда мы можем записать, что
\[
p_{11}=p_{21}=0, \quad p_{31}=h-a g .
\]
1) Эти условия обеспечивают неравенство $\lambda_{2}
eq \lambda_{3}$. Неравенства же $\lambda_{1}
eq \lambda_{2}, \lambda_{1}
eq \lambda_{3}$ накладывают на параметры $a, \alpha, \beta$ дополнительные ограничения. – Прим. ред.

В качестве элементов $p_{2 i}$ второго столбца матрицы $P$ мы должны взять алгебраические дополнения ненулевой строки матрицы
\[
A-\lambda_{2} E=\left(\begin{array}{ccc}
-\lambda_{2} & 1 & 0 \\
-\beta & -\lambda_{2}-\alpha & 0 \\
h & g & -a-\lambda_{2}
\end{array}\right) .
\]

Возьмем, например, опять вторую строку; тогда
\[
p_{21}=\lambda_{2}+a, \quad p_{22}=\lambda_{2}\left(\lambda_{2}+a\right), \quad p_{23}=\lambda_{2} g+h .
\]

Используя уравнение, определяющее величину $\lambda_{2}$, можно записать, что
\[
p_{22}=(a-\alpha) \lambda_{2}-\beta .
\]

Те же самые вычисления проводим для нахождения $p_{3 i}$, $l=1,2,3$; при этом $\lambda_{2}$ заменяется на $\lambda_{3}$. Это позволяет найти последний столбец матрицы $P$ :
\[
p_{31}=\lambda_{3}+a, \quad p_{32}=(a-\alpha) \lambda_{3}-\beta, \quad p_{33}=\lambda_{3} g+h .
\]

Окончательно
\[
P=\left(\begin{array}{ccc}
0 & a+\lambda_{2} & a+\lambda_{3} \\
0 & (a-\alpha) \lambda_{2}-\beta & (a-\alpha) \lambda_{3}-\beta \\
h-a g & g \lambda_{2}+h & g \lambda_{3}+h
\end{array}\right),
\]

Далее находим
\[
\begin{array}{c}
c^{\prime}=\left\{0,0, k_{1}\right\}, \\
c^{* \prime}=c^{\prime} P=\left\{k_{1}(h-a g), k_{1}\left(g \lambda_{2}+h\right), k_{1}\left(g \lambda_{3}+h\right)\right\} .
\end{array}
\]

Наконец осталось вычислить $b^{*}=P^{-1} b$. Пусть $P^{-1}=\left(\pi_{j k}\right)$. Легко увидеть, что
\[
b^{\prime}=\{0, \gamma, 0\}, \quad b^{* \prime}=\left\{\gamma \pi_{12}, \gamma \pi_{22}, \gamma \pi_{32}\right\} .
\]

Следовательно, необходимо вычислить элементы только второго столбца матрицы $P^{-1}$. Если $P_{j i}$-алгебраическое дополнение элемента $p_{i j}$ матрицы $P$, то
\[
\pi_{i j}=\frac{P_{i j}}{|P|} .
\]

Поэтому задача сводится к вычислению алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы $P$ и ее определителя. Сразу находим, что
\[
\begin{array}{l}
|P|=(h-a g)\left\{a+\lambda_{2}\left[(a-\alpha) \lambda_{3}-\beta\right]-\right. \\
\left.\quad-\left(a+\lambda_{3}\right)\left[(a-\alpha) \lambda_{2}-\beta\right]\right\}= \\
=(h-a g)[a(a-\alpha)+\beta]\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)= \\
=-(h-a g)[a(a-\alpha)+\beta] \delta .
\end{array}
\]

Далее, последовательно вычисляем алгебраические дополнения:
элемента $p_{21}$
\[
\begin{aligned}
p_{12} & =-\left(a+\lambda_{2}\right)\left(g \lambda_{3}+h\right)+\left(a+\lambda_{3}\right)\left(g \lambda_{2}+h\right)= \\
& =(a g-h) \delta=\pi_{12}|P| ;
\end{aligned}
\]

элемента $p_{22}$
\[
p_{22}=(a g-h)\left(a+\lambda_{3}\right)=\pi_{22}|P| ;
\]

элемента $p_{23}$
\[
p_{32}=(h-a g)\left(a+\lambda_{2}\right)=\pi_{32}|P| .
\]

Подставляя все эти выражения в формулу (21.2), мы находим
\[
b^{* \prime}=\frac{\gamma(a g-h)}{|P|}\left\{\delta, a+\lambda_{3},-a-\lambda_{2}\right\} .
\]

Основное неравенство принимает вид
\[
\begin{array}{l}
r>\frac{\varepsilon_{1} b_{1}^{*} c_{1}^{*}}{-\lambda_{1}}+\frac{\varepsilon_{2} b_{2}^{*} c_{2}^{*}}{-\lambda_{2}}+\frac{\varepsilon_{3} b_{3}^{*} c_{3}^{*}}{-\lambda_{3}}= \\
=\frac{2 k_{1} \gamma}{[a(a-\alpha)+\beta] \delta}\left\{\frac{\varepsilon_{1}(h-a g) \delta}{2 a}+\right. \\
\left.\quad \quad+\frac{\varepsilon_{2}\left(a+\lambda_{3}\right)\left(g \lambda_{2}+h\right)}{\alpha-\delta}-\frac{\varepsilon_{3}\left(\alpha+\lambda_{2}\right)\left(g \lambda_{3}+h\right)}{\alpha+\delta}\right\},
\end{array}
\]

где $\varepsilon_{i}$ определено равенством, аналогичным (18.4).
Второи случай $\lambda_{2}, \lambda_{3}$-комплексно сопряженные числа. Здесь имеем $\alpha^{2}<4 \beta$. Введем обозначение $\delta=\sqrt{4 \beta-\alpha^{2}} ;$ тогда корни характеристического уравнения
\[
\lambda_{1}=\rightarrow a, \quad \lambda_{2}=-\frac{\alpha+i 8}{2}, \quad \lambda_{3}=\frac{-\alpha-i 6}{2}=\bar{\lambda}_{2} .
\]

Все корни имеют отрицательные действительные части, если $a>0, \alpha>0$.

Вычисления, приведенные при рассмотрении первого случая, справедливы и здесь, только $\delta$ заменяется на $i \hat{\delta}, \lambda_{3}$ на $\bar{\lambda}_{2}$ и $P$ на $P_{1}$.

Необходимо отметить, что мы отклонились от нашей общей схемы решения, изложенной в § 20, ибо комплексная пара $\lambda_{2}, \bar{\lambda}_{2}$ следует сенчас после дейстительного собственного значения $\lambda_{1}$, а не перед ним. Однако это служит причиной весьма незначительных изменений, которые вполне доступны читателю.

Видоизменения по сравнению с уже указанным первым случаем имеют место только в первой части исследования. Мы можем представить себе получившееся преобразование в виде $x=P_{1} z$, где $z$ имеет две комплексно сопряженные компоненты $z_{2}=z^{\prime}+i z^{\prime \prime}, \quad \bar{z}_{2}=z^{\prime}-i z^{\prime \prime}$. (Для удобства преобразование записано в обратную сторону: от новых переменных $z$ к начальным переменным $x$.) Чтобы перейти от действительных координат $x$ к действительным координатам $y$, надо совершить еще преобразование $\left\{z_{1}, z_{2}, \bar{z}_{2}\right\} \rightarrow\left\{z_{1}, z^{\prime}, z^{\prime \prime}\right\}$,
\[
\begin{array}{l}
z_{1}=z_{1}, \\
z_{2}=z^{\prime}+i z^{\prime \prime}, \\
z_{3}=z^{\prime}-i z^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Матрица этого преобразования такова:
\[
P_{2}=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & i \\
0 & 1 & -i
\end{array}\right),
\]

а обратная матрица
\[
P_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2 i} & -\frac{1}{2 i}
\end{array}\right) .
\]

Итак, преобразование $x \rightarrow y$ имеет матрицу $P=P_{1} P_{2}$; обратная к ней матрица $P^{-1}=P_{2}^{-1} P_{1}^{-1}$. Как и в предыдущем случае,
\[
b^{*}=P^{-1} b=P_{2}^{-1} P_{1}^{-1} b, \quad c^{* \prime}=c^{\prime} P_{1} P_{2} .
\]

Если мы введем вспомогательные векторы $b_{0}=P_{1}^{-1} b$ и $c_{0}^{\prime}=c^{\prime} P_{1}$, то очевидно, что $b^{*}=P_{2}^{-1} b_{0}, c^{* \prime}=c_{0}^{\prime} P_{2}$. Преимущество введения векторов $b_{0}, c_{0}^{\prime}$ в том, что они получаются из действительных векторов $b^{*}, c^{* \prime}$ предыдущего случая заменой $\delta$ и $\lambda_{3}$ на $i \delta$ и $\bar{\lambda}_{2}$ соответственно, и, конечно, $P$ на $P_{1}$. Таким образом, мы находим
\[
\begin{aligned}
c_{0}^{\prime} & =k_{1}\left\{h-a g, g \lambda_{2}+h, g \overline{\lambda_{2}}+h\right\}, \\
c^{* \prime} & =k_{1}\{h-a g, 2 h-g \alpha,-g \delta\}, \\
b_{0}^{\prime} & =\frac{\gamma(a g-h)}{\left|P_{1}\right|}\left\{i \hat{\delta}, a+\bar{\lambda}_{2},-a-\lambda_{2}\right\},
\end{aligned}
\]

где $\left|P_{1}\right|=(a g-h)[a(a-\alpha)+\beta] i \delta$. Следовательно,
\[
b^{* \prime}=\frac{\gamma}{a(a-\alpha)+\beta}\left\{1,-\frac{1}{2}, \frac{\alpha-2 a}{28}\right\} .
\]

Это приводит нас к неравенству [см. неравенство (20.5)]
\[
r>\varepsilon \frac{k_{1} \gamma(h-a g)}{a[a(a-\alpha)+\beta]}+\frac{1}{\alpha}\left(b c+b_{1} c_{1}+b_{2} c_{2}\right) ;
\]

здесь
\[
\begin{array}{rlrl}
b_{1} & =-\frac{1}{2} \frac{\gamma}{a(a-\alpha)+\beta}, & b_{2}=\frac{\gamma(\alpha-2 a)}{2 \delta[a(a-\alpha)+\beta]}, \\
c_{1} & =(2 h-g \alpha) k_{1}, & c_{2}=-g \delta k_{1}, \\
b & =\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}, & c & =\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}},
\end{array}
\]
a
\[
\varepsilon=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если стоящий при нем коэффициент положителен, } \\
0 \text { в противном случае. }
\end{array}\right.
\]