В дальнейшем мы будем широко использовать матрицы и векторы; целесообразно поэтому остановиться на этих понятиях несколько подробнее.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел (действительных или комплексных). Например,
\[
\left(\begin{array}{cccc}
2,1 & 2,6 & -4 & -3 \\
-\frac{3}{2} i & 0 & 1 & 1,6 \\
6 & 4 i & -0,1 & 7
\end{array}\right)
\]
– матрица, состоящая из 3 строк и 4 столбцов. Матрица общего вида с буквенными элементами, имеющая $m$ строк и $n$ столбцов, записывается в виде

Мы будем говорить, что это $m \times n$-матрииа. Такую матрицу для краткости удобно обозначать одной буквой $A$ или символом $\left(a_{i j}\right)$, где индекс $i$ принимает значения $1,2, \ldots, m$, а $j$-значения $1,2, \ldots, n$.

Напомним следующие основные операции над матрицами.

Сложение матриц. Если $A=\left(a_{i j}\right)$ и $B=\left(b_{i j}\right)$-две $m \times n$-матрицы, то их суммой $A+B$ называется $m \times n$ матрица ( $a_{i j}+b_{i j}$ ), т. е.
(одинаково расположенные элементы складываются).
Произведение двух матриц. Если $A=\left(a_{i j}\right)$ является $m \times n$-матрицей, а $B=\left(b_{i j}\right)$ является $n \times p$-матрицей (т. е. матрица $B$ имеет столько же строк, сколько столбцов имеет матрица $A$ ), то их произведением $A B$ называется $m \times p$-матрица $C=\left(c_{i j}\right)$, элементы которой определяются равенствами
\[
\begin{array}{c}
c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\ldots+a_{i n} b_{n j}, \\
i=1, \ldots, m, \quad j=1, \ldots, p,
\end{array}
\]

или короче ${ }^{1}$ )
\[
c_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j}, \quad i=1, \ldots, m, \quad j=1, \ldots, p .
\]

Умножение матрицы на число. Если $k$ – некоторое (действительное или комплексное) число, то произведение $k A$ означает матрицу $\left(k a_{i j}\right)$ : все элементы матрицы $A$ умножаются на $k$.

транспонирование матрицы. Если в матрице $A$ поменять ролями строки и столбцы, то получившаяся $n \times m$-матрица называется транспонированной и обозначается символом $A^{\prime}$ :
1) Эту формулу легко запомнить, если заметить, что элемент $c_{i j}$ матрицы $C$, стоящий на пересечении $i$-й строки с $j$-м столбцом, является скалярным произведением $i$-й вектор-строки матрицы $A$ на $j$-й вектор-столбец матрицы $B$. – Прим. перев.

Пример. Возьмем две матрицы
\[
A=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
-4 & -5 & -6
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
6 & 5 & 4
\end{array}\right) ;
\]

тогда ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{c}
A+\dot{B}=\left(\begin{array}{rrr}
4 & 4 & 4 \\
2 & 0 & -2
\end{array}\right), \quad A B^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}
10 & 28 \\
-28 & -73
\end{array}\right), \\
6 A=\left(\begin{array}{rrr}
6 & 12 & 18 \\
-24 & -30 & -36
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Квадратные матрицы. Эти матрицы представляют особый интерес. Матрица (2.1) называется квадратной, если она имеет одинаковое число строк и столбцов: $m=n$. Тогда говорят, что это матрица порядка $n$. Квадратные матрицы одного и того же порядка всегда можно складывать и перемножать между собой
Заслуживают внимания квадратные матрицы вида
\[
\left(\begin{array}{llll}
a_{1} & & & 0 \\
& a_{2} & & \\
& \cdot & . & \\
0 & & & a_{n}
\end{array}\right),
\]

где все невыписанные элементы равны нулю. Мы назовем матрицу такого вида диагональной и будем обозначать ее символом $\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$.

Важнейшей диагональной матрицей является единичная матрица порядка $n: E_{n}=\operatorname{diag}(1, \ldots, 1)$. Если порядок $n$ известен, то такую матрицу часто обозначают просто через $E$. Если $A$ – произвольная квадратная матрица порядка $n$, то справедливы равенства $E_{n} A=A E_{n}=A$; именно отсюда и произошел сам термин „единичная матрица“. Заметим также, что
\[
k E=\operatorname{diag}(k, \ldots, k) ; \quad(k E) A=A(k E)=k A .
\]
1) Заметим, что произведение $A B$ для матриц этого примера вообще не определено. – Прим. перев.

В различных формулах часто бывает полезен символ Кронекера $\delta_{i j}$, который определяется следующим образом:
\[
\delta_{l j}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } i
eq j, \\
1, & \text { если } i=j .
\end{array}\right.
\]

При помощи этого символа единичную матрицу можно записать так:
\[
E=\left(\delta_{i j}\right) .
\]

Предостережение. Возьмем две квадратные матрицы $A$ и $B$ одного порядка. Для них определены оба прозведения $A B$ и $B A$, которые, вообще говоря, не равны друг другу. Так, если
\[
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right),
\]

то
\[
A B=\left(\begin{array}{rr}
10 & 7 \\
22 & 15
\end{array}\right)
eq B A=\left(\begin{array}{rr}
5 & 8 \\
13 & 20
\end{array}\right) .
\]

Oпределители. Пусть $A$-квадратная матрица порядка $n$. Как известно из алгебры, с этой матрицей можно связать некоторое число-ее определитель, который обозначается через ${ }^{1}$ ) $|A|$.
Напомним некоторые своћства определителей:
a) Матрица $A$ и транспонированная матрица $A^{\prime}$ имеют один и тот же определитель: $|A|=\left|A^{\prime}\right|$.
б) Если поменять местами какие-нибудь две строки (или два столбца) матрицы, то ее определитель изменит знак. Следовательно, если две строки (или два столбца) матрицы одинаковы, то ее определитель равен нулю.
в) Если умножить все элементы одной строки (или одного столбца) матрицы на число $k$, то ее определитель умножится на это же число $k$.
г) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей: $|A B|=|A||B|$.

Заметим также, что $\left|\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right|=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$, и, сдедовательно, $|E|=1$.
1) Иногда определитель матрицы $A$ называют детерминантом и обозначают символом $\operatorname{det} A$. – Прим. перев.

Алгеб раическое дополнение. Пусть через $A_{j i}$ обозначен коэффициент при члене $a_{i j}$ в разложении определителя $|A|$, называемын также алгебрацческим дополнением элемента $a_{i j}$. Напомним, что алгебраическое дополнение $A_{j i}$ равно произведению числа $(-1)^{i+j}$ на определитель матрицы, получающенся из матрицы $A$ вычеркиванием в ней $i$-и строки и $j$-го столбца (такой определитель называется минором определителя $|A|$ ). Разложение определителя $|A|$ по $i$ – строке дает соотношение
\[
a_{i 1} A_{1 i}+a_{i 2} A_{2 i}+\ldots+a_{i n} A_{n i}=|A| .
\]

Если заменить элементы $a_{i 1}, a_{i 2}, \ldots, a_{i n}$ в левой части этого равенства соответственно на $a_{j 1}, a_{j 2}, \ldots, a_{j n}, j
eq i$, то результат получится такой же, как если бы $i$-я и $j$-я строки матрицы $A$ были одинаковы. Следовательно,
\[
a_{j 1} A_{1 i}+a_{j 2} A_{2 i}+\ldots+a_{j n} A_{n i}=0, \quad j
eq i .
\]

Соотношения (2.2) и (2.3) можно объединить в одну формулу
\[
\sum_{k=1}^{n} a_{i k} A_{k j}=\delta_{i j}|A| .
\]

Если обозначить через $A$ матрицу $\left(A_{i j}\right)$, то последнее равенство запишется так:
\[
A \mathcal{A}=|A| E .
\]

Обратная матрица. Предположим далее, что $|A|
eq 0$; в этом случае говорят, что $A$ – невырожденная ${ }^{1}$ ) матрица. Для невырожденной матрицы можно определить числа $\alpha_{i j}=\frac{1}{|A|} A_{i j}$. Матрица ( $\alpha_{l j}$ ) называется обратной к невырожденной матрице $A$ и обозначается символом $A^{-1}$; таким образом, $A^{-1}=\frac{1}{|A|} \mathcal{A}$. Используя равенство (2.4), мы получаем
\[
A A^{-1}=E \text {. }
\]
1) Или неособая. – Прим. перев.

Как легко видеть, справедливо также равенство
\[
A^{-1} A=E \text {. }
\]

Действительно, так как $\left|A^{-1}\right|
eq 0$, то и $A^{-1}$ имеют обратную матрицу $B$, т. е. $A^{-1} B=E$. Но тогда $A=A A^{-1} B=$ $=E B=B$, откуда $A^{-1} A=A^{-1} B=E$. Поскольку $E-$ единичная матрица, соотношения (2.5) и (2.6) объясняют, почему матрицу $A^{-1}$ называют „обратнон“ к матрице $A$.

Важно помнить, что элементы $j$-го столбца матрицы $A^{-1}$ есть произведения числа $\frac{1}{|A|}$ на алгебраические дополнения соответствующих элементов $j$-й строки матрицы $A$.

Характеристическое уравнение. С квадратной матрицей $A$ связано важное уравнение
\[
f(\lambda)=|A-\lambda E|=0
\]
– характеристическое уравнение матрицы $A$. Это уравнение мы еще не раз встретим в дальнейшем; поэтому полезно записать его в развернутом виде:

Вычислив этот определитель, получим многочлен относительно $\lambda$ :
\[
(-1)^{n} f(\lambda)=\lambda^{n}+c_{1} \lambda^{n-1}+\ldots+c_{n-1} \lambda+c_{n}=0 .
\]

Характеристическое уравнение (2.7) имеет $n$ корней: $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$; они называются характеристическими корнями, или собственными значениями матрицы $A$.
Так как
\[
\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}=(-1)^{n} c_{n}=|A|,
\]

то матрища $A$ является вырожденной тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее характеристических корней равен нулю.

Дифференцирование и интегрирование матрии. Пусть снова $A$ – произвольная $m \times n$-матрица, и пусть ее элементы $a_{i j}$ – функции некоторого переменного $t$, т. е. $a_{i j}=a_{i j}(t)$. Тогда мы будем говорить, что и сама матрица $A$ – функция от того же переменного: $A=A(t)$. Если все функции $a_{i j}(t)$ имеют производные по $t$, обозначаемые, как обычно, через $\dot{a}_{i j}(t)$, то мы определим производную $\dot{A}(t)$ матрицы $A(t)$ равенством
\[
\dot{A}(t)=\left(\dot{a}_{i j}(t)\right) .
\]

Точно так же определяется интеграл от матрицы $A$ :
\[
\int_{t_{0}}^{t} A(t) d t=\left(\int_{t_{0}}^{t} a_{i j}(t) d t\right) .
\]

Если рассматривать квадратные матрицы, то справедливы обычные правила дифференцирования суммы и произведения; в частности,
\[
\frac{d}{d t}(A B)=\dot{A} B+A \dot{B} .
\]

При этом обязательно должен сохраняться порядок сомножителей, ибо матрицы $A(t) \dot{B}(t)$ и $\dot{B}(t) A(t)$, вообще говоря, различны.