Очевидно, что в приложениях асимптотическая устойчивость более важна, чем простая устоичивость. Если, скажем, требуется поддерживать определенную температуру $T$ в некоторой системе, то понятно желание, чтобы не только поддерживалась некоторая температура, не слишком сильно отличающаяся от $T$, но и чтобы малые отклонения температуры со временем исчезали. Сосредоточим теперь наше внимание на асимптотической устойчивости.

Здесь возникают и другие практические соображения. Предположим, что некоторый электрический прибор рассчитан на ток в 127 вольт. Прибор устроен так, что малые отклонения напряжения не существенны. Однако как велики могут быть допустимые отклонения? Система может быть асимптотически устоичивой, однако может перестать нормально функционировать уже при отклонениях напряжения, например, свыше одного милливольта. Итак, эта система, теоретически асимптотически устоичивая, оказывается на практике неустойчивой. Асимптотическая устойчивость имела бы практический смысл, если бы были допустимы отклонения, скажем, в несколько вольт.

Таким образом, возникает потребность в уточнении понятия асимптотической устойчивости. Желательным качеством является асимптотическая устоичивость в целом
1) В такой общей формулировке теорема неверна. У авторов она доказана для аналитической потенциальной энергии и двух дополнительных предположениях: 1) $T=T(p)$ не зависит явно от $q$ (см. примечание на стр. 70) и 2) из $W(q)<0$ следует $W_{k}(q)<0 .-П$ им. ред.

или, как мы будем говорить, полная устойчивость ${ }^{1}$ ). Если нет возможности обеспечить полную устоћчивость, то приходится довольствоваться уверенностью, что система стремится к положению равновесия, когда возмущения не слишком велики. При этом необходимо иметь некоторые сведения относительно величины области асимптотической устойчивости ${ }^{2}$ ).

Здесь нужно обратить внимание на фундаментальное различие между линейными и нелинеиными системами: для определения практической устойчивости линейное приближение совершенно недостаточно. В линейных системах всегда бывает только полная устойивость, тогда как только в нелинейных системах она может не быть таковой. Другими словами, для нахождения возможных границ области асимптотической устоичивости необходимо использовать нелинеинность.

В настоящем параграфе мы приведем некоторые теоремы, служащие для определения области асимптотической устойчивости. Однако прежде чем переходить к ним, мы введем два предварительных понятия. Рассмотрим обычную автономную систему
\[
\dot{x}=X(x), \quad X(0)=0 .
\]

Предельные множества. Это весьма важное понятие было введено Г. Д. Биркгофом. Грубо говоря, если $x(t)$ – решение системы (FA), то его $\omega-$ предельным множеством $\left.{ }^{3}\right) \Gamma^{+}$является все то, к чему кривая $x(t)$ приближается при неограниченном возрастании времени. Например, если решение $x(t)$ представляет собой спираль, навивающуюся на предельный цикл ${ }^{4}$ ) $\delta$, то $\delta$ является $\omega$-предельным множеством для этого решения; если реше-
1) С понятием асимптотической устойчивости в целом мы уже встречались в § 7.-Прим. перев.
2) Под областью асимптотической устойчивости подразумевается область, содержащая начало координат и обладающая тем свойством, что все движения, начинающиеся в этой области, стремятся при $t \rightarrow+\infty$ к началу координат. – Приж. ред.
3) В оригинале positive limiting set.-Прим. перев.
4) Предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, соответствующая периодическому решению системы (FA). – Прим. перев.

ние стремится к точке $A$, то его $\omega$-предельное множество состоит из этой точки.

Более строго, точка $p$ принадлежит $\omega$-предельному множеству $\mathrm{\Gamma}^{+}$решения $x(t)$ системы (FA), если существует такая неограниченно возрастающая последовательность моментов времени $t_{n}, t_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$, что
Рис. 21.
$x\left(t_{n}\right) \rightarrow p$ при $n \rightarrow \infty$. Если решение $x(t)$ ограничено, то оно при $t \rightarrow \infty$ стремится к своему $\omega$-предельному множеству $\Gamma^{+}$; другими словами, для любого $\varepsilon>0$ существует такой момент времени $T(\varepsilon, x(t))$, что для всех $t>T$ решение $x(t)$ целиком лежит в окрестности $U(\varepsilon)$ множества ${ }^{1}$ ) $\Gamma^{+}$(рис. 21).
$\alpha$-предельное множество ${ }^{2}$ ) решения $x(t)$ определяется точно так же, если только $t$ заменить на – $t$. Однако это понятие в дальнейшем не используется.
1) $\varepsilon$-окрестность $U(\varepsilon)$ множества $M$ определяется так: точка $q$ принадлежит этой окрестности, если в множестве $M$ найдется такая точка $p$, что $\|p-q\|<\varepsilon$. – Прим. перев.
2) В оригинале negative limiting set. – Прим. перев.

Инвариантное множество. Множество $G$ называется инвариантным, когда оно обладает следующим свонством: если точка $x_{0}$ принадлежит множеству $G$, то и вся траектория (т. е. как положительная, так и отрицательная полутраектории), проходящая через эту точку, целиком лежит в множестве $G$. Например, замкнутая траектория является инвариантным множеством; совокупность траекторий, проходящих через все точки некоторой дуги, также представляет собой инвариантное множество.

Отметим (без доказательства) важное свойство. Если решение $x(t)$ ограничено при $t \geqslant 0$, то его н-предельное множество $\Gamma^{+}$непусто, компактно и является инвариантным множеством.

Из определения $\omega$-предельного множества немедленно следует такая лемма.

Лемма. Если решение $x(t)$ ограничено при $t \geqslant 0$ и если множество $M$ содержит $\omega$-предельное множество $\Gamma^{+}$, то $x(t)$ при $t \rightarrow \infty$ неограниченно приближается к множеству ${ }^{1}$ ) $M$.

После этих предварительных рассмотрений мы можем установить основные предложения, позволяющие расширить и уточнить критерии асимптотической устойчивости.

теорема VI. Пусть $V(x)$ – скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех х. Обозначим через $Q_{l}$ область²), где $V(x)<l$. Допустим, что эта область ограничена и что внутри нее виполнены условия
а) $V(x)>0$ при $x
eq 0$;
б) $\dot{V}(x) \leqslant 0$.

Пусть $R$-множество всех точек области $\Omega_{l}$, в коное множество, содержащееся в $R$. Тогда каждое
1) Последнее утверждение означает следующее. Для любого $\varepsilon>0$ существует $T=T(\varepsilon)>0$ такое, что при всех $t \geqslant T$ точка $x(t)$ принадлежит в-окрестности множества $M$ (относительно определения є-окрестности см. примечание на стр. 74). – Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Точнее, открытое множество (см. § 4). Предполагается, что $\Omega_{l}$ состоит из всех точек, где $V(x)<l$. – Прим. ред.

решение $x(t)$ системы (FA), начинающееся в области $\Omega_{l}$, неограниченно приближается к $M$ при $t \rightarrow \infty$.

Доказательство. Из предположений о функции $V$ следует, что $V(t)=V(x(t))$ при $t \rightarrow \infty$ не возрастает и что она неотрицательна внутри $\boldsymbol{Q}_{l}$. Следовательно, каждое решение $x(t)$, начинающееся в какойлибо точке области $\Omega_{l}$, должно все время оставаться в этой области. Кроме того, существует $\lim _{t \rightarrow \infty} V(t)=l_{0}$, причем $l_{0}<l$. В силу соображений непрерывности заключаем, что равенство $V(x)=l_{0}$ выполняется на $\omega$-предельном множестве $\Gamma^{+}$траектории $x(t)$. Но отсюда вытекает, что множество $\Gamma^{+}$целиком лежит внутри области $Q_{l}$ и на нем $\dot{V}=0^{1}$ ). Поэтому $\Gamma^{+}$лежит в множестве $R$, а поскольку $\mathrm{I}^{+}$- инвариантное множество, то оно лежит даже в множестве $M$. Решение $x(t)$ все время остается в области $Q_{l}$, и поэтому оно ограничено при всех $t \geqslant 0$; на основании сформулированной выше леммы $x(t) \rightarrow M$ при $t \rightarrow+\infty$.

С помощью теоремы устоћчивости Ляпунова на основании условий а) и б) заключаем ${ }^{2}$ ), что начало координат устойчиво. Чтобы доказать его асимптотическую устойчивость, остается лишь показать, что множество $M$ состоит только из начала координат, т. е. что ни одно решение, за исключением тривиального решения $x=0$, не может оставаться в множестве $M$ при всех $t \geqslant 0$. Это будет именно так, если, например, $\dot{V}$ – отрицательно определенная функция в области $\Omega_{l}$; тогда множеству $R$, а следовательно, и множеству $M$ принадлежит только начало координат. Мы сформулируем это утверждение отдельно.

Теорема VII. Если сохранить все предположения теоремы VI, заменив условие б) условием
б) $\dot{V}(x)<0$ при все $x
eq 0$ в области $\Omega_{l}$,
то начало координат – асимптотически устойчивое положение равновесия системы (FA) и каждое
1) В силу инвариантности $\Gamma^{+}$через каждую точку из $\Gamma^{+}$ проходит траектория, целиком лежащая в $\mathrm{T}^{+}$. Вдоль этой траектории $V=$ const $=l_{0}$ и потому $\dot{V}=0 .-\Pi$ рим. ред.
2) При дополнительном условии $V(0)=0$. – Прим. ред.

решение, начинающееся в области $\Omega_{l}$, будет неограниченно приближаться к началу координат при $t \rightarrow \infty$.
(Последнее утверждение является дополнением к теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости.)

Пример 1. Интересны приложения этих теорем к так называемому уравнению Льенара
\[
\ddot{x}+f(x) \dot{x}+g(x)=0,
\]

которое является обобщением уравнения электрического контура (см. пример $5, \S 12$ ). Это уравнение интенсивно изучалось; ему посвящено большое количество работ, которые продолжают выходить.и до сих пор. В этих многочисленных исследованиях делались самые разнообразные предположения. Однако, так как мы не стремимся к большой общности результатов, мы рассмотрим здесь лишь самые простые случаи, когда на функции $f$ и $g$ наложены довольно сильные ограничения.

Для упрощения задачи предположим, что $f$ и $g$ – многочлены ${ }^{1}$ ), причем $f$ – четная функция, а $g$ – нечетная. Более того, мы допустим ${ }^{2}$ ), что график функции $g(x)$ более или менее близок к прямой линии, прохсдящей через начало координат, и монотонно возрастает с ростом $x$. Заметим, что этот частный случай уравнения Льенара 113.1) полностью охватывает уравнение Ван-дер-Поля (см. пример 2).
Для дальнеишего удобно ввести функции
\[
F(x)=\int_{0}^{x} f(x) d x, \quad G(x)=\int_{0}^{x} g(x) d x .
\]

Очевидно, что функция $F(x)$ – нечетная, $G(x)$ – четная и $F(0)=a(0)=0$.

Вместо уравнения (13.1) рассмотрим эквивалентную ему систему уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y-F(x), \\
\dot{y}=-g(x) .
\end{array}\right.
\]
‘) На самом деле приводимые рассуждения и результаты справедливы и в более общем случае. – Прим. перев.
2) Сравните с примером 1 , § 12 . – Прим. перев.

Поскольку $F(x)$ и $G(x)$ – многочлены, при любых значениях $x$ и $y$ выполнены условия теоремы существования и единственности: через каждую точку плоскости проходит одна и только одна траектория системы. В силу сделанных допущений уравнения
\[
\left\{\begin{aligned}
y-F(x) & =0, \\
g(x) & =0
\end{aligned}\right.
\]

имеют общее решение $x=y=0$, т. е. начало координат – положение равновесия.
В качестве функции Ляпунова возьмем функцию
\[
V(x, y)=\frac{1}{2} y^{2}+G(x) .
\]

Если $f \equiv 0$, т. е. если в системе нет (положительного или отрицательного) сопротивления, то эта функция имеет смысл полной энергии системы. Немедленно находим производную функции $V$ в силу системы (13.2):
\[
\dot{V}=-g(x) F(x) .
\]

Пусть существуют положительные константы $a$ и $l$ такие, что выполняются следующие два условия:
\[
\begin{array}{cccc}
g(x) F(x)>0 & \text { при } & |x|<a, \quad x
eq 0 ; \\
G(x)<l & \text { только при } & |x|<a .
\end{array}
\]

Тогда в области $Q_{l}$, т. е. на множестве тех точек плоскости, в которых справедливо неравенство $V(x, y)<l$, выполняется теорема VI. Дейтвительно, из (13.3б) и из неравенства $V<l$ следует ${ }^{1}$ ), что $|x|<a$, $y^{2}<2 l$, так что область $\Omega_{l}$ ограничена. Используя (13.3а), заключаем, что в этой области $\dot{V} \leqslant 0$. Далее, $\dot{V}=0$ в тех и только тех точках области $\Omega_{l}$, в которых $x=0$, т. е. множество $R$ представляет собой ось $O Y$. Но во всех точках оси $O Y$, отличных от начала координат $O$, угловой коэффициент
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{-g(x)}{y-F(x)}
\]
1) Заметим, что, в силу предположений о функции $g(x)$, функция $G(x)>0$ при $x
eq 0$. – Прим. перев.

имеет конечное значение, а потому на этой оси не может лежать дуга траектории: инвариантным множеством является только точка $O$. Следовательно, любое решение, начинающееся во внутренней точке области $Q_{l}$, приближается при $t \rightarrow \infty$ к началу координат. Иначе говоря, начало координат асимптотически устойчиво, а $Q_{l}$ представляет собой \”меру“ асимптотической устойивости.
Пример 2. Уравнение Ван-дер-Поля
\[
\ddot{x}+\varepsilon\left(x^{2}-1\right) \dot{x}+x=0, \quad \varepsilon>0,
\]

эквивалентно системе второго порядка
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y-\varepsilon\left(\frac{x^{3}}{3}-x\right), \\
\dot{y}=-x .
\end{array}\right.
\]

Единственное положение равновесия – начало координат; оно является неустоћичивым узлом или фокусом в зависимости от величины параметра $\varepsilon$. Известно также ${ }^{1}$ ), что система (13.5) имеет единственный предельный цикл $\delta$, который окружает начало координат.

Если заменить $t$ на $-t$, то сами траектории не изменятся, но направление движения по ним станет противоположным. В частности, предельный цикл $\delta$ останется тем же самым, а начало координат будет уже асимптотически устоичивым положением равновесия. Очевидно, что областью асимптотической устойивости как раз является область, заключенная внутри замкнутой кривой $\delta$. Однако этот вывод не имеет большой ценности, поскольку фактическое местоположение предельного цикла $\delta$ неизвестно.

Интересные результаты получатся, если к уравнению (13.4) применить развитую выше общую теорию. Заметим, что вместо того, чтобы заменять $t$ на $-t$, мы можем просто считать $\varepsilon<0$, получая тот же результат. Будем поэтому предполагать, что в (13.4) и (13.5) параметр є отрицателен.
1) См., например, Стоке р Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, ИЛ, 1952.- Прим. nepeв.

Сравнивая уравнения (13.4) и (13.1), мы получаем
\[
\begin{array}{ll}
f(x)=\varepsilon\left(x^{2}-1\right), & g(x)=x, \\
F(x)=\varepsilon\left(\frac{x^{3}}{3}-x\right), & G(x)=\frac{x^{2}}{2} .
\end{array}
\]

Далее, следуя примеру 1 , получаем
\[
\begin{array}{c}
V(x, y)=\frac{y^{2}}{2}+G(x)=\frac{x^{2}+y^{2}}{2}, \\
\dot{V}=-\varepsilon x\left(\frac{x^{3}}{3}-x\right)=-\varepsilon x^{2}\left(\frac{x^{2}}{3}-1\right) .
\end{array}
\]

Так как $\dot{V} \leqslant 0$ при $x^{2} \leqslant 3$, то возьмем $a=\sqrt{3}$. Далее, выберем число $l$ так, чтобы неравенство $G(x)=\frac{x^{2}}{2}<l$ было равносильно неравенству $x^{2}<a^{2}$; для этого достаточно положить $l=3 / 2$. Таким образом, круг $x^{2}+y^{2}<3$ содержится в области асимптотической устойчивости. Иными словами, предельный цикл $\delta$ лежит при любом є вне круга радиуса $\sqrt{3}$ с центром в начале координат. Диаметр предельного цикла никогда не меньше $2 \sqrt{3}$; этот хорошо известный результат справедлив при всех значениях параметра $\varepsilon$.

Отметим, между прочим, что проведенное нами рассуждение сразу показывает асимптотическую устоћчивость начала координат для системы (13.5) при $\varepsilon<0$. Этот факт не является в общем случае уравнения (13.1) тривиальным, поскольку линенные члены в системе (13.2) неизвестны.
Пример 3 . Возьмем теперь уравнение
\[
\ddot{x}+a \dot{x}+2 b x+3 x^{2}=0, \quad a>0, \quad b>0 ;
\]

оно эквивалентно системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-2 b x-a y-3 x^{2},
\end{array}\right.
\]

рассматривать которую удобнее, чем непосредственно само уравнение. Это уравнение не подпадает ${ }^{1}$ ) под тип (13.1),
1) Поскольку функция $g(x)=2 b x+3 x^{2}$ не является нечетной. – Прим. перев.

рассмотренный в примере 1, однако никаких затруднений при использовании теоремы VI у нас не возникнет.

Положений равновесия у системы (13.7) два: в начале координат $O$ и в точке $P=\left\{-\frac{2}{3} b, 0\right\}$. Характеристические корни $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ матрицы линеиного приближения (соответствующей первому положению равновесия) определяются из уравнения
\[
\left|\begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
-2 b & -a-\lambda
\end{array}\right|=\lambda^{2}+a \lambda+2 b=0 .
\]

На основании теоремы Виета
\[
\lambda_{1}+\lambda_{2}=-a<0, \quad \lambda_{1} \lambda_{2}=2 b>0,
\]

и, следовательно, собственные значения либо деңствительные и отрицательные, либо комплексно сопряженные с отрицательными действительными частями. Таким образом, положение равновесия $O$ асимптотически устойчиво.

Для того чтобы изучить положение равновесия $P$, перенесем начало координат в точку $P$, т. е. сделаем замену
\[
x+\frac{2}{3} b=x^{*}, \quad x=x^{*}-\frac{2}{3} b .
\]

В новых координатах система (13.7) запищется так:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}^{*}=y, \\
\dot{y}=-a y-3\left(x^{*}-\frac{2}{3} b\right) x^{*} .
\end{array}\right.
\]

Характеристические корни $\lambda_{1}^{*}$ и $\lambda_{2}^{*}$ теперь определяются из уравнения
\[
\left|\begin{array}{cc}
-\lambda^{*} & 1 \\
2 b & -a-\lambda^{*}
\end{array}\right|=\lambda^{*^{2}}+a \lambda^{*}-2 b=0 .
\]

Поскольку $\lambda_{1}^{*} \lambda_{2}^{*}=-2 b<0$, дећствительные корни имеют противоположные знаки. Таким образом, положение равно весия $P$ является седлом. Траектории системы приблизительно изображены на рис. $22^{1}$ ). Заштрихованная площадь является областью асимптотической устойчивости.
Рис. 22.
Перейдем к определению этой области. ІІложим
\[
V(x, y)=\frac{1}{2} y^{2}+b x^{2}+x^{3} ;
\]

тогда
\[
\dot{V}=-a y^{2} \text {. }
\]
1) Начало координат считается устойчивым фокусом; случай, когда начало координат – устойчивый узел, приводит к аналогичной картине (см. рис. 23). – Прим. перев.

Отсюда видно, что всюду вне оси абсцисс $\dot{V}<0$, т. е. множество $R$ лежит на прямой $y=0$. Так как на оси абсцисс всюду вне начала координат ${ }^{1}$ ) производная
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{-2 b x-3 x^{2}}{y}-a
\]

обращается в бесконечность, то инвариантное множество может состоять только из точек $O$ и $P$.
Рис. 23.
Теперь мы выберем область $\Omega_{l}$ : множество тех точек плоскости, отличных от $P$, в которых выполнено неравенство $V<l$. Для этого мы рассмотрим семейство кривых
\[
V(x, y) \equiv \frac{y^{2}}{2}+b x^{2}+x^{3}=k
\]

и определим число $k=l$ так, чтобы соответствующая кривая проходила через точку $P$ :
\[
l=b\left(-\frac{2}{3} b\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3} b\right)^{3}=\frac{4}{27} b^{3} .
\]
1) И точки P. – Прим. перев.

Построим кривую $V(x, y)=l$ :
\[
\frac{1}{2} y^{2}+b x^{2}+x^{3}=\frac{4}{27} b^{3},
\]

или
\[
y= \pm \sqrt{\frac{8}{27} b^{3}-2 b x^{2}-2 x^{3}}
\]

на плоскости $x, y$ (рис. 24). Поскольку
Рис. 24.
\[
\frac{d}{d x}\left(y^{2}\right)=-2\left(2 b x+3 x^{2}\right),
\]

сразу получаем все экстремальные точки этой кривой:
\[
x_{1}=0, \quad y_{1}=\sqrt{\frac{8}{27} b^{3}} \quad \text { и } \quad x_{2}=-\frac{2}{3} b, \quad y_{2}=0
\]
(первая из них дает максимум для $y^{2}$, а вторая – минимум). При больших $x>0$ кривая не определена, поскольку $y^{2}$ делается отрицательным. Внутренность получившейся кривой (заштрихованная на рис. 24) и является областью $Q_{l}$. Множество $R$ представляет собой интервал $P Q$ оси абсцисс, а множество $M$ состоит из единственной точки $O$. Следовательно, все траектории, начинающиеся во внутренних
точках овала, при $t \rightarrow \infty$ приближаются к началу координат.

Таким образом, внутренность построенной кривой является областью асимптотической устоичивости ${ }^{1}$ ).

Полная устойчивость. В случае, когда все пространство является областью асимптотической устоичивости, говорят о полной устойчивости. Общие факты, касающиеся этого понятия, мы и изложим сейчас.

Имеет место следующее аналогичное теореме VI предложение, которое доказывается совершенно так же.

Tеорема VIII. Пусть $V(x)$ – скалярная функция, частные производные пе рвого порядка которой непрерывны при всех х. Допустим, что выполнены следующие условия:
а) $V(x)>0$ при все $x \quad x
eq 0$;
б) $\dot{V}(x) \leqslant 0$ во всем пространстве.

Обозначим через $R$ множество всех таких точек пространства, в которых $\dot{V}=0$, а через $M$ – максимальное инвариантное множество, содержащееся в $R$. Тогда каждое решение, остающееся ограниченным при $t \geqslant 0$, неограниченно приближается к n pu $t \rightarrow+\infty$.
Если сверх того известно, что
\[
V(x) \rightarrow \infty \text { npt }\|x\| \rightarrow \infty,
\]

то каждое решение ограничено при $t \geqslant 0$, следовательно, все решения неограниченно приближаются $\kappa$ м рич $t \rightarrow \infty$. В случае, когда множество $М$ состоит только из начала координат, имеет место полная устойчивость.

Пример 4. Снова рассмотрим систему (13.2), сохранив предположения примера 1 и заменив условия (13.3а) и (13.3б) следующими:
\[
\begin{array}{lll}
g(x) F(x)>0 & \text { при } & x
eq 0 ; \\
G(x) \rightarrow \infty & \text { при } & |x| \rightarrow \infty .
\end{array}
\]
1). Конечно, получившаяся оценка области асимптотической устойчивости очень груба (особенно по сравнению с рис. 23), однако она позволяет в ряде случаев сделать полезные заключения. – Прим. перев.

Используя ту же самую функцию $V$, мы легко убедимся, что $V \rightarrow \infty$ при $x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty$. Следовательно, каждое решение уравнения (13.1) в этих предположениях ограничено при $t \geqslant 0$, а множество $M$, как и раньше, состоит только из начала координат. Таким образом, условия (13.8a) и (13.8б) обеспечивают полную устойчивость системы (13.2).

Часто оказывается, что более простые и сильные результаты получаются, если отдельно доказать ограниченность решений (см., например, § 24).

Действительно, для того чтобы установить полную устойчивость, нам необходимо убедиться, что каждое решение ограничено при $t \geqslant 0$, а множество $M$ состоит только из начала координат. Предположим, что $V(x) \rightarrow \infty$ при $\|x\| \rightarrow \infty$ и что $\dot{V}(x)<0$ при $x
eq 0$. Тогда несомненно, что множество $M$ состоит из начала координат и нетрудно убедиться, что каждое решение ограничено при $t \geqslant 0$. Пусть $x(t)$ – решение, начинающееся в произвольной точке $x^{0}$. Тогда найдется такое достаточно большое число $r$, что $V(x)>V\left(x^{0}\right)$, как только $\|x\|>r$. Поскольку $V(x(t))$ убывает с ростом $t$, то $\|x(t)\| \leqslant r$ для всех $t \geqslant 0$, т. е. каждое решение ограничено. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Tеорема IX. Пусть $V(x)$ – скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны пра всех х. Допустим, что выполнены следующие условия:
а) $V(x)>0$ nри всех $x
eq 0$;
б) $\dot{V}(x)<0$ при всех $\quad x
eq 0$;
в) $V(x) \rightarrow \infty n p u \quad\|x\| \rightarrow \infty$.

Тогда система (13.1) обладает полной устойчивocmbo.

Во многих конкретных задачах удается построить функцию Ляпунова $V(x)$, удовлетворяющую условиям теоремы IX. Примерам такого рода посвящена следующая глава. Однако часто бывает легче найти такую функцию Ляпунова, производная которой в силу системы (FA) лишь непөложительна, а затем использовать теорему VIII. Следующий пример является простой иллюстрацией этого.

Пример 5. Относительно функций $f$ и $g$, входящих в уравнение Льенара
\[
\ddot{x}+f(x) \dot{x}+g(x)=0,
\]

мы предположим, что
а) $x g(x)>0$ при всех $x
eq 0$;
б) $f(x)>0$ при всех $x
eq 0$;
в) $G(x)=\int_{0}^{x} g(\xi) d \xi \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$.
Эти предположения имеют следующий физический смысл:
a) потенциальная энергия $G(x)$ – положительно определенная функция координаты, имеющая при $x=0$ минимум;
б) сопротивление всегда положительно;
в) потенциальная энергия неограниченно растет с ростом $|x|$.

Вместо исходного уравнения рассмотрим эквивалентную ему систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-g(x)-f(x) y .
\end{array}\right.
\]

В качестве функции Ляпунова возьмем, как и ранее,
\[
V(x, y)=\frac{1}{2} y^{2}+G(x),
\]

имеющую смысл полной энергии при отсутствии сопротивления. Непосредственные вычисления дают
\[
\dot{V}(x, y)=-f(x) y^{2} \leqslant 0 .
\]

Очевидно, что при $x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty$ будет $V(x, y) \rightarrow \infty$, а потому все решения ограничены при $t \geqslant 0$. Далее, $\dot{V}$ обращается в нуль только на осях координат, и ясно, что ни одно решение, за исключением положения равновесия в начале координат, не остается на этих осях при всех $t \geqslant 0$. Таким образом, множество $M$ состоит из начала координат, и, по теореме VIII, каждое решение стремится к этому положению равновесия при $t \rightarrow \infty$. Согласно первой теореме Ляпунова положение равновесия устойчиво, и, следовательно, система обладает полной устойчивостью.

Пример 6. В предыдущем примере нам удалось построить функцию Ляпунова $V$, которая стремится к бесконечности при $\|x\| \rightarrow \infty$ и с ее помощью прийти к заключению, что все решения ограничены при $t \geqslant 0$. Сейчас мы приведем пример, который показывает, что иногда бывает легче доказать ограниченность решений непосредственно.

Именно, продолжим исследование уравнения Льенара, ослабив предположения относительно функции $g(x)$ и усилив их относительно функции $f(x)$, характеризующей сопротивление (трение):
а) $x g(x)>0$ при всех $x
eq 0$;
б) $f(x)>0$ при всех $x
eq 0$;
в)* $|F(x)|=\left|\int_{0}^{x} f(\xi) d \xi\right| \rightarrow \infty \quad$ при $\quad|x| \rightarrow \infty$.
Возьмем ту же функцию Ляпунова, что и в предыдущем случае. Поскольку из сделанных предположений не вытекает, что $G(x) \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$, последнее условие теоремы IX, вообще говоря, не выполнено. Поэтому на основании теоремы VIII мы можем сделать заключение только о том, что каждое ограниченное при всех $t \geqslant 0$ решение стремится к началу координат при $t \rightarrow \infty$. Таким образом, для установления полной устойчивости нам надо показать, что все решения при сделанных предположениях ограничены при $t \geqslant 0$.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим на плоскости $x, y$ область $Q$ (рис. 25), определенную условиями
\[
\left\{\begin{array}{l}
V(x, y)=\frac{1}{2} y^{2}+G(x)<l, \\
{[y+F(x)]^{2}<a^{2} .}
\end{array}\right.
\]

При любых положительных $l$ и $a$ это- ограниченная область. Пусть $x(t), y(t)$ – произвольное решение; выберем числа $l$ и а столь большими, чтобы начальная точка
этого решения оказалась в области $\Omega$. Кроме того, мы выберем число $a$ настолько большим, чтобы на участке кривой $y+F(x)=a$, являющемся куском границы области $Q$, выполнялось неравенство $x>0$, а на участке
Рис. 25.

кривой $y+F(x)=-a$, входящем в границу этой области, выполнялось неравенство $x<0$.

Очевидно, решение $x(t), y(t)$ не может вынти из области $Q$, не пересекаясь с границей этой области. Поэтому оно должно пересечься либо с кривой $V=l$, либо с кривой $y+F(x)=a$, либо с кривой $y+F(x)=-a$. Поскольку $\dot{V} \leqslant 0$, то решение, начинающееся внутри $Q$, где $V<l$, не может пересечь тех участков границы этой области, которые имеют уравнение $V=l$. Далее, легко подсчитать, что
\[
\frac{d}{d t}[y+F(x)]^{2}=-2[y+F(x)] g(x) .
\]

На участках кривых $y+F(x)= \pm a$, являющихся частями границы области $Q$, мы получаем ${ }^{1}$ )
\[
\frac{d}{d t}[y+F(x)]^{2}=-2 a|g(x)|<0 .
\]

Следовательно, решение $x(t), y(t)$ не может покинуть область $\Omega$, и потому оно ограничено при всех $t \geqslant 0$.

Таким образом, при несколько иных предположениях, чем в предыдущем примере, мы снова показали полную устоичивость уравнения Льенара.

Обычно исследование на устойчивость автономных систем второго порядка не вызывает трудностей. Это происходит благодаря двум обстоятельствам. Во-первых, фазовым пространством является плоскость, что дает нам возможность наглядно представить себе качественную картину поведения траекторий системы. Во-вторых, очень легко угадывать влияние сопротивления (трения) в системах с одной степенью свободы.

Теперь мы продемонстрируем применение изложенного метода к системам третьего порядка. Уравнения, аналогичные рассматриваемому ниже в примере 7 , изучались В. А. Плиссом и А. И. Огурцовым.

Пример 7. Попытаемся найти условия, которым должна удовлетворять функция $f(\dot{x})$, характеризующая сопротивление, чтобы уравнение
\[
\dddot{x}+f(\dot{x}) \ddot{x}+a \dot{x}+b x=0
\]

обладало полной устойчивостью. Предполагается, что $a$ и $b$ – положительные постоянные.

Вводя новые переменные $y=\dot{x}$ и $z=\ddot{x}$, мы перейдем к эквивалентнои системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=z, \\
\dot{z}=-f(y) z-a y-b x .
\end{array}\right.
\]
1) Напомним, что на участке $y+F(x)=a$ границы имеем $g(x)>0$, а на участке $y+F(x)=-a$ выполнено обратное неравенство $g(x)<0$. – Прим. перев.

Функцию Ляпунова будем искать в виде суммы квадратичной формы и некоторых интегралов; после ряда проб приходим к выражению
\[
\begin{array}{r}
V(x, y, z)=\frac{a}{2} z^{2}+b y z+b \int_{0}^{y} f(u) u d u+\frac{1}{2}(b x+a y)^{2}= \\
=\frac{1}{2 a}(a z+b y)^{2}+\frac{1}{2}(b x+a y)^{2}+b \int_{0}^{y}\left[f(u)-\frac{b}{a}\right] u d u,
\end{array}
\]

причем
\[
\dot{V}(x, y, z)=-a\left[f(y)-\frac{b}{a}\right] z^{2} .
\]

Если $f(y) \geqslant c>\frac{b}{a}$ при всех $y$, то ясно, что все условия теоремы IX выполнены, и система обладает полной устойчивостью. Если же предположить только, что $f(y)>\frac{b}{a}$, то, вообще говоря, не обязательно $V \rightarrow \infty$ при $x^{2}+y^{2}+z^{2} \rightarrow \infty$. Однако и в этом случае можно дать отдельное доказательство (аналогичное рассуждениям в примере 6) того, что все решения, ограничены при $t \geqslant 0$, и снова убедиться в полной устойчивости.