Читатель, конечно, представляет себе ту огромную и важную роль, которую играют разного рода сервомеханизмы и регуляторы в современной технике и промышленности.

Наибольший вклад в теорию устойчивости работы таких приборов был внесен учеными советской школы, среди которых прежде всего необходимо назвать А. И. Лурье. Важные результаты в этом направлении принадлежат также А. М. Летову, И. Г. Малкину и В. А. Якубовичу. В частности, В. А. Якубовичу (и параллельно с нимР. Э. Бэссу, работа которого осталась неопубликованной) принадлежит изложение вопроса на основе широкого использования теории матриц. Именно этот подход и будет сейчас нами рассмотрен.

Дейстительную квадратную матрицу $A$, все характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части, мы будем называть, как сейчас это принято, устойчивой матрицей. Этот термин позволяет кратко сформулировать следующее утверждение: система $\dot{x}=A x$ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда матрица $A$ устойчива.

Пусть $S$ – реальный объект (механический, электрический, теплотехнический или некоторая их комбинация), причем его состояние в каждый момент времени характеризуется значениями конечного числа параметров $u_{1}$, $u_{2}, \ldots, u_{n}$, т, е. значением $n$-мерного вектора $u$. Эти параметры могут быть как позиционными, так и кинематическими. Допустим, что изменение состояния объекта $S$ с течением времени подчиняется некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей в векторной записи вид
\[
\dot{u}=U(u) \text {. }
\]

Конечно, это некоторое дополнительное предположение, но мы должны его сделать, чтобы создать разумную математическую теорию.

Пусть значению $u=u^{0}$ соответствует состояние равновесия объекта $S$. Тогда $U\left(u^{0}\right)=0$, так что точка $u^{0}$ является положением равновесия системы (15.1). Допустим, что в силу практических соображений желательно удерживать объект $S$ как можно \”ближе“ к состоянию $u^{0}$. Иначе говоря, желательно, чтобы положение равновесия $u^{0}$ было устойчивым. Введем новый вектор $y=u-u^{0}$. Эта замена переменных приводит систему (15.1) к виду
\[
\dot{y}=Y(y)=U\left(u^{0}+y\right), \quad Y(0)=0 .
\]

В новых координатах $y_{1}, \ldots, y_{n}$, являющихся компонентами вектора $y$, положением равновесия становится начало координат $y=0$. Считая, что вектор $y$ все время остается малым, можно (при весьма общих предположениях) для решения практических вопросов вместо нелинейной системы (15.2) рассматривать линейное приближение
\[
\dot{y}=A y,
\]

где $A$ – постоянная матрица. Будем впредь предполагать, что матрица $A$ невырожденная, так что $|A|
eq 0$.

Для того чтобы удерживать объект $S$ вблизи положения равновесия $y=0$, используется регулятор. Пусть $\xi-$ скалярный параметр, характеризующий состояние регулятора, причем условие $\xi=0$ означает, что регулятор отключен.

Уравнения движения системы „объект $S+$ регулятор“ записываются в виде ${ }^{1}$ )
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{y}=A y+\xi b, \\
\dot{\xi}=f(\sigma), \\
\sigma=c^{\prime} y-r \xi,
\end{array}\right.
\]
1) Напомним, что $c^{\prime}$ – вектор-строка; этот вектор получается транспонированием вектора-столбца $c$, так что $c^{\prime} y=c \cdot y$. Такое обозначение скалярного произведения (см. §3) применяется в дальнейшем всюду. – Прим. перев.

где $b$ и $c$-n-мерные векторы, а $r$-скаляр. Скалярный параметр $\sigma$ (сигнал) представляет собой промежуточную величину. Скалярная функция $f(\sigma)$ называется характеристикой регулятора. Обычно предполагается, что характеристика обладает следующими свойствами:
\[
\sigma f(\sigma)>0 \quad \text { при } \quad \sigma
eq 0 ; \quad f(0)=0 .
\]

График характеристики $f(\odot)$ может иметь достаточно произвольную форму, но обычно это бывает одна из функцић, типа изображенных на рис. 26. В дальнейшем, из-

бегая излишних усложнений, мы будем, в дополнение к (15.5) считать, что функция $f(\sigma)$ непрерывна и
\[
\int_{0}^{ \pm \infty} f(\sigma) d \sigma=+\infty
\]
(интеграл от нее расходится). Это последнее свойств потребуется нам при построении функции Ляпунова.

Удобнее рассматривать задачу в новых переменных $x, \sigma$. Именно, вместо переменных $y, \xi$ введем
\[
x=A y+\xi b, \quad \sigma=c^{\prime} y-r \xi .
\]

Второе из этих соотношении совпадает с последним уравнением в (15.4).

Ясно, что если $y \rightarrow 0$ и $\leftrightarrows \rightarrow 0$, то неограниченно убывают также $x$ и б. Желательно, чтобы имело место и обратное утверждение: если $x \rightarrow 0$ и $\sigma \rightarrow 0$, то $y \rightarrow 0$ и $\xi \rightarrow 0$; оно означало бы, что устойчивость положения рзвновесия в новых координатах эквивалентна его устойчивости в первоначальных координатах. Это утверждение справедливо, если из системы (15.7) переменные у и $\xi$ однозначно выражаются через $x$ и о. Но (15.7) – алгебраическая система, состоящая из $n+1$ линеиных уравнений с $n+1$ неизвестными; ее можно однозначно обратить, если матрица ее коэффициентов невырождена. Иными словами, определитель матрицы
\[
\left(\begin{array}{rr}
A & b \\
c^{\prime} & -r
\end{array}\right)
\]

должен быть отличен от нуля. Так как матрица $A$ невырождена, то существует обратная матрица $A^{-1}$ и, следовательно, существует матрица
\[
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{cc}
A^{-1} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\]

также невырожденная. Поэтому, для того чтобы определитель матрицы (15.8) был отличен от нуля, достаточно потребовать, чтобы было невырожденным произведение матриц (15.9) и (15.8), которое равно
\[
\left(\begin{array}{ll}
E & A^{-1} b \\
c^{\prime} & -r
\end{array}\right) .
\]

Вычисляя определитель этой последней матрицы, мы получаем неравенство ${ }^{1}$ )
\[
r+c^{\prime} A^{-1} b
eq 0 .
\]

налагающее ограничения на параметры регулятора: векторы $b, c$ и скаляр $r$. Везде в дальнейшем условие (15.10) мы предполагаем выполненным, так что замена переменных (15.7) допустима.

В новых переменных $x$, $\sigma$ вместо (15.4) получаем систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=A x+f(\sigma) b, \\
\dot{\sigma}=c^{\prime} x-r f(\sigma) .
\end{array}\right.
\]
1) Неравенство (15.10) получается и непосредственно, если определитель матрицы (15.8) разложить сначала по элементам последнего столбца, затем полученные миноры разложить по элементам последней строки и, наконец, все выражение разделить на $|A|$.

Это основная система, к которой относятся все дальнейшие исследования этой главы.

Заметим здесь сразу, чтобы не возвращаться к этому позже, что условие (15.10) инвариантно относительно преобразования ${ }^{1}$ ) координат $x=P x^{*}$, примененного к системе (15.11). Действительно, после такого преобразования система (15.11) примет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}^{*}=P^{-1} A P x^{*}+f(\sigma) P^{-1} b, \\
\sigma=c^{\prime} P x^{*}-r f(\sigma),
\end{array}\right.
\]
т. е. матрица $A$ перейдет в $P^{-1} A P$, вектор $b-$ в $P^{-1} b$, вектор $c^{\prime}-$ в $c^{\prime} P$, а скаляр $r$ не изменится. Поэтому
\[
c^{\prime} A^{-1} b \rightarrow c^{\prime} P\left(P^{-1} A^{-1} P\right) P^{-1} b=c^{\prime} A^{-1} b .
\]

Прежде чем идти дальше, отметим, что матрица $A$ будет предполагаться устойчивой. Привлечение этой рабочей гипотезы оправдано следующими соображениями. Положим
\[
f(\sigma)=k \sigma+f_{1}(\sigma),
\]

где $k>0$ – постоянное число, а функция $f_{1}(\sigma)$ при $\sigma \rightarrow 0$ является малой более высокого порядка по сравнению с $\sigma$. Иначе говоря, кривая $f(\sigma)$ имеет в точке $\sigma=0$ наклонную (негоризонтальную) касательную. Матрицей линеинного приближения системы (15.11) будет тогда
\[
\mathscr{B}=\left(\begin{array}{rr}
A & k b \\
c^{\prime} & -k r
\end{array}\right) .
\]

Для асимптотической устойчивости положения равновесия $x=\sigma=0$ матрица (15.14) должна быть устоћчивой. При $k=0$ характеристические корни этой матрицы совпадают с корнями многочлена
\[
\left|\begin{array}{cr}
A-\lambda E & 0 \\
c^{\prime} & -\lambda
\end{array}\right|=-\lambda|A-\lambda E|=0,
\]

каковыми являются нуль и характеристические корни матрицы $A$. Но тогда при малом $k$ один из характери-
1) Невырожденного. – Приж. перев.

стических корней матрицы (15.14) будет мал, а остальные $n$ очень близки к характеристическим корням матрицы $A$. Следовательно, если бы матрица $A$ имела характеристические корни с положительными действительными частями, то этим же свойством обладала бы и матрица (15.14) при достаточно малом $k$. Для того чтобы избежать усложнений, проще всего считать матрицу $A$ устоичивой ${ }^{1}$ ).

Очевидно, для того чтобы регулятор обеспечивал устойчивость, на параметр $k$ должно быть наложено еще какое-то дополнительное ограничение снизу. Наконец, хотелось бы обеспечить устойчивость и даже асимптотическую устойчивость для более или менее произвольнои характеристики $f(\sigma)^{2}$ ) и произвольного начального условия (полная устойчивость). Такая устойчивость носит название абсолютной устойчивости.

Действительно, установленные ниже достаточные условия асимптотической устойчивости гарантируют абсолютную асимптотическую устойчивость, т. е. асимптотическую устойчивость при любых начальных условиях и произвольной характеристике $f(\sigma)$. Иными словами, система будет обладать полной устойчивостью при любои непрерывной функции $f(\sigma)$, удовлетворяющей условиям (15.5) и (15.6).