Японский математик Окамура использовал метод, близкий к теории Ляпунова, для изучения продолжаемости решений. Вслед за ним Йошизава довольно подробно исследовал возможности применения методов Ляпунова для получения сведений об ограниченности решений. Дальнейшее изложение целиком опирается на эти их работы.

Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной $\dot{V}$, где функция $V$ – положительно определенная. Иначе говоря, изучается неравенство $\pm \dot{V} \leqslant 0$. Ла-Салль предложил рассматривать более сложное неравенство $\pm \dot{v} \leqslant G(v, t)$, что позволяет получать много интересных выводов, касающихся следующих трех возможностей.
Рассмотрим систему
\[
\dot{x}=X(x, t), \quad t \geqslant 0 .
\]

Пусть $x(t)$ – ее решение с начальным условием $x\left(t_{0}\right)=x^{0}$. Ясно, что:
a) либо это решение может быть продолжено для всех значений $t \geqslant t_{0}$, и тогда мы будем говорить, что решение $x(t)$ неограниченно продожаемо ${ }^{1}$;
б) либо существует такое $T>t_{0}$, что $\|x(t)\| \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow T$, и тогда мы будем говорить, что решение $x(t)$ имеет конечное время определения ${ }^{2}$ ).

Эти две возможности явно несовместимы и дополняют друг друга ${ }^{3}$ ). Третий случай
1) В оригинале defined in the future. – Прим. перев.
2) В оригинале finite escape time. – Прим. перев.
3) То есть всегда имеет место один и только один из двух случаев а) и б). См., например, Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, физматгиз, 1961, § 24. Прим. перев.

в) решение $x(t)$ ограничено
– совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).

Ограниченность всех решении представляет собой своего рода устойчивость; в этом случае говорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости по Лагранжу.

Как и раньше (см. §8), везде в дальнейшем $V(x, t)$ означает скалярную функцию, которая положительно определена и имеет в некоторой области непрерывные частные производные первого порядка. В этой области
\[
\dot{V}=\frac{\partial V}{\partial x_{1}} X_{1}+\ldots+\frac{\partial V}{\partial x_{n}} X_{n}+\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial t}+X \cdot \operatorname{grad} V \text {. }
\]

Рассмотрим сначала самое общее дифференциальное неравенство
\[
\dot{v} \leqslant G(v, t), \quad t \geqslant 0,
\]

где $G$-скалярная функция своих аргументов, а $v$-скалярная функция $t$. Мы интересуемся только положительными функциями $v$, удовлетворяющими неравенству (23.1). Существуют два типа таких неравенств:
I. Неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;
II. Неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного ${ }^{1}$ ) решения.

Второй из этих типов включает в себя первый. Однако неравенство типа I может иметь решения, которые стремятся по модулю к $+\infty$ при $t \rightarrow+\infty$, тогда как для неравенств типа II такие решения недопустимы.

Если $Q$ – произвольное множество, то через $\Omega^{c}$ будем обозначать дополнение этого множества; иными словами, $\Omega^{c}$ – множество всех тех точек, которые не принадлежат $\mathbf{Q}$.

Теорема XIII. Предположим, что $\Omega$-ограниченное множество пространства $E^{n}$., содержащее начало координат, и что функция $\vec{V}(x, t)$ определена. во всем множестве ${ }^{c}$ а при всех $t \geqslant 0$.
1) Не следует путать в дальнейшем неограниченное решение и неограниченно продолжаемое решение. – Прим. перев.

Допустим далее, что $V(x, t) \rightarrow+\infty$ при $\|x\| \rightarrow \infty$ равномерно на каждом конечном интервале изменения времени $0 \leqslant a \leqslant t<b$. Наконец, предположим, что $\dot{V} \leqslant G(V, t)$ во всем множестве $\Omega^{c}$ иля всех $t \geqslant 0$. Если неравенство (23.1) не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение $x(t)$ системы (F) неограниченно продолжаемо.

Это утверждение почти очевидно. Если бы решение $x(t)$ имело конечное время определения $0 \leqslant t<T$, то в некоторыи момент времени $t_{1}<T$ оно попало бы в множество $Q^{c}$ и затем оставалось бы в нем ${ }^{1}$ ). Но в таком случае при $t \geqslant t_{1}$ функция $v(t)=V(x(t), t)$ была бы положительным решением неравенства (23.1) с конечным временем определения, что противоречит предположению теоремы.

Для применения результатов такого рода обычно удобно выбирать $G(v, t)=k(t) L(v), \quad$ где $k(t)$ – непрерывная функция при всех $t \geqslant 0$, а функция $L(v)$ – положительна и непрерывна при всех положительных значениях аргумента. Неравенство (23.1) в этом случае принимает вид
\[
\frac{\dot{v}}{L(v)} \leqslant k(t) \text {. }
\]
а) $\left.E c л u^{2}\right) \int^{\infty} \frac{d v}{L(v)}=+\infty$, то неравенство

не имеет ни одного положительного решения сконечным временем определения. $\qquad$
1) Момент $t_{1}$ может быть выбран столь близким к $T$, чтобы при всех $t$, для которых $t_{1} \leqslant t<
eg T$, выполнялось неравенство $V(x, t)>0$. – Пим. ред.
2) Запись $\int^{\infty} f(x) d x=+\infty$ означает, что несобственный интеграл от некоторого нижнего предела до бесконечности расходится, а $\int^{\infty} f(x) d x<\infty$ – что этот интеграл сходится (в обычном смысле математического анализа). – Прим. перев.

Действительно, пусть существует такое положительное решение $v(t), t_{0} \leqslant t<T$; тогда
\[
\int_{v\left(t_{0}\right)}^{v(t)} \frac{d v}{L(v)}=\int_{t_{0}}^{t} k(t) d t .
\]

Правая часть этого равенства ограничена при $t \rightarrow T$, в то время как левая неограниченно возрастает, что, очевидно, невозможно.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
б) $\operatorname{Ecлu} \int^{\infty} \frac{d v}{L(v)}=+\infty, a \int^{\infty} k(t) d t<+\infty$, то неравенство (23.2) не имеет ни одного положительного неограниченного при $t \geqslant 0$ решения.

Таким образом, неравенство $\dot{v} \leqslant k(t) v$, где $k$ – произвольная непрерывная при всех $t \geqslant 0$ функция, принадлежит типу I, а неравенство $\dot{v} \leqslant e^{-t} v$ – типу II. Конечно, простеншим неравенством вида (23.2) является $\dot{v} \leqslant 0$.

Мы получим теперь условия, при которых решения системы (F) имеют конечное время определения. Для этого используем неравенство
\[
\dot{v} \geqslant G(v, t), \quad t \geqslant 0,
\]

которое не имеет неограниченно продолжаемых положительных решений. Взяв $G(v, t)=k(t) L(v)$, где $k(t)$ и $L(v)$ обладают теми же свойствами, что и в (23.2), мы легко убедимся в справедливости следующего утверждения.
в) Ecлu $\int^{\infty} \frac{d v}{L(v)}<+\infty, a \int^{\infty} k(t) d t=+\infty$, то неравенство (23.3) не имеет ни одного неограниченно продолжаемого положительного решения.

Например, неравенство $v \geqslant c v^{\alpha}, c>0, \alpha>1$ не имеет неограниченно продолжаемых положительных решений.

Следующий результат о существовании конечного времени определения решения можно рассматривать как теорему о неустоичивости.

Теорема XIV. Пусть множество $Q$ обладает тем свойством, что каждое решение $x(t)$, начинающееся в этом множестве, все время остается в нем. Пусть, далее, функция $V(x, t)$ положительна при всех х из $\Omega$ в всех $t \geqslant 0$. Предположим, наконеи, что $\dot{V} \geqslant G(V, t)$ для всех $t \geqslant 0$ а всех $х$ из $\mathbf{Q}$. Если неравенство (23.3) не имеет ни одного неограниченно продолжаемого положите.льного решения, то каждое решение $x(t)$ системы $(\mathrm{F})$, удовлетворяющее условию $x\left(t_{0}\right)=x^{0}$, где $x^{0}-$ точка множества $\mathbf{\Omega}$ имеет конечное время определения.

В самом деле, допустим, что решение $x(t)$ с таким начальным условием не имеет конечного времени определения. Тогда функция $v(t)=V(x(t), t)$, удовлетворяющая неравенству (23.3), положительна и неограниченно продолжаема, что противоречит предположению теоремы.

Линеиные системы являются наиболее известным примером, в котором все решения неограниченно продолжаемы. Именно, если
\[
\dot{x}=A(t) x+f(t), \quad t \geqslant 0,
\]

где $A(t)$ – квадратная матрица порядка $n$, а $f(t)-n$-мерный вектор, причем $A(t)$ и $f(t)$ непрерывны при $t \geqslant 0$, то ${ }^{1}$ ) все решения этой системы определены при $0 \leqslant t<\infty$.

Пример 1. В качестве иллюстрации к теореме XIII мы обобщим этот результат следующим образом.

Предположим, что существует такое число $R>0$ и такая скалярная функция $k(t)$, непрерывная при всех $t \geqslant 0$, что правая часть уравнения (F) удовлетворяет неравенству.
\[
\|X(x, t)\| \leqslant k(t)\|x\|
\]

при всех $t \geqslant 0$ и всех $\|x\| \geqslant R$. Определим функцию $V(x)=\|x\|^{2}=x \cdot x$. Тогда, используя известное неравенство Шварца
\[
a^{\prime} b \leqslant\|a\| \cdot\|b\|,
\]
1) См., например, Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, физматгиз, 1961, §21.-Прим. перев.

мы получаем при всех $\|x\| \geqslant R$ и всех $t \geqslant 0$
\[
\dot{V}(x)=2 x^{\prime} X(t, x) \leqslant 2 k(t)\|x\|^{2}=2 k(t) V(x) .
\]

Поскольку неравенство $\dot{v} \leqslant 2 k(t) v$ не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, мы можем на основании теоремы XIII заключить, что при сделанном предположении все решения системы (F) определены для всех $t \geqslant 0$, т. е. неограниченно продолжаемы.

Пример 2. Если правая часть нелинейной системы (F) не удовлетворяет неравенству типа (23.4), то достаточные условия неограниченной продолжаемости всех решений формулируются уже более сложно.
Рассмотрим уравнение второго порядка
\[
\ddot{x}+f(x, \dot{x}, t) \dot{x}+g(x)=e(t) .
\]

Предполагаем, что функции $f$ и $g$ гладкие ${ }^{1}$ ), а функция $e(t)$ непрерывна при всех $t \geqslant 0$. Кроме того, пусть $f(x, \dot{x}, t) \geqslant 0$ при всех $t \geqslant 0$ и $x^{2}+\dot{x}^{2} \geqslant r^{2}$, а
\[
G(x)=\int_{0}^{x} g(u) d u \rightarrow+\infty \quad \text { при } \quad|x| \rightarrow \infty,
\]
т. е. достаточно далеко от начала координат сопротивление неотрицательно, а для достаточно больших $|x|$ функция $g(x)$ похожа на характеристику упругой пружины ${ }^{2}$ ). Уравнению (23.5) эквивалентна система
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-g(x)-f(x, y, t) y+e(t) .
\end{array}\right.
\]

Определим теперь функцию
\[
V(x, y)=\frac{y^{2}}{2}+G(x) ;
\]
1) То есть функция $g(x)$ имеет непрерывную производную, a $f(x, \dot{x}, t)$ – непрерывные частные производные первого порядка по всем трем аргументам. – Прим. перев.
2). О механическом истолковании членов уравнения второго порядка типа (23.5) см. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, Физматгиз, 1959. – Прим. перев.

в качестве множества $\Omega$, о котором упоминается в теореме XIII, возьмем внутренность круга $x^{2}+y^{2}<r^{2}$. Тогда вне этого круга ${ }^{1}$ )
$\dot{V}=-f(x, y, t) y^{2}+e(t) y \leqslant|e(t)||y| \leqslant \sqrt{2}|e(t)| \sqrt{V}$.
Таким образом, $\dot{V} \leqslant k(t) L(V)$ при $t \geqslant 0$ и $x^{2}+y^{2} \geqslant r^{2}$; здесь $k(t)=\sqrt{2}|e(t)|$, а $L(v)=\sqrt{v}$. Но неравенство $\dot{v} \leqslant k(t) L(v)$ в этом случае не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, а поэтому каждое решение уравнения (23.5) неограниченно продолжаемо.

Пример 3. Наличие конечного времени определения у решений не является чем-то необыкновенным.
Рассмотрим уже упоминавшееся уравнение Ван-дер-Поля
\[
\ddot{x}+\varepsilon\left(x^{2}-1\right) \dot{x}+x=f(t),
\]

где $\varepsilon<0$; внешнее воздействие $f(t)$ непрерывно и ограничено при всех $t \geqslant 0$. Здесь сопротивление отрицательно при $|x|>1$. Вводя новое переменное $y=\dot{x}-\varepsilon\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)$, мы придем к эквивалентной системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y+\varepsilon\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right), \\
\dot{y}=-x+f(t) .
\end{array}\right.
\]

Возьмем в качестве множества $\Omega$ следующую область: $\kappa \geqslant a>0, y \leqslant 0, x+y \geqslant 0$ (рис. 27). На том участке
1) Здесь используется неотрицательность функции $f$ вне $\Omega$ и очевидное неравенство $e(t) y \leqslant|e(t)| \cdot \mid$ y|. Однако для получения оценки $|y|=\sqrt{2 V(x, y)-2 G(x)} \leqslant \sqrt{2} \cdot \sqrt{V}$ необходимо еще одно предположение, а именно $G(x) \geqslant 0$. В силу условия (23.6), это будет так, но, вообще говоря, лишь для достаточно больших $|x|$. Поэтому в качестве $Q$ следует взять внутренность круга $x^{2}+y^{2}<R^{2}$, где $R \geqslant r$ выбран так, что $G(x) \geqslant 0$ при $|x| \geqslant R$. Легко видеть, что тогда функция $V(x, y)$ (в рассматриваемом примере она не зависит от времени $t$ ) будет положительной в области $\mathrm{Q}^{c}$. Если же на функцию $g(x)$ наложить уже много раз встречавшееся в гл. II условне $x g(x)>0$ при $x
eq 0$, то все рассуждения авторов будут справедливы буквально. – Прим. перев.

границы области $\Omega$, который имеет уравнение $x+y=0$, производная в силу системы (23.7)
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}(x+y) & =y+\varepsilon\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)-x+f(t)= \\
& =\varepsilon\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)-2 x+f(t)>0
\end{aligned}
\]

Рис. 27.

при достаточно большом $a^{1}$ ). На участке $y=0$ границы области $Q$ имеем (d/dt) $y=-x+f(t)<0$ при достаточно большом $a$. Внутри рассматриваемой области
\[
\dot{x}=y+\varepsilon\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)>y+x>0
\]

при достаточно большом $a^{2}$ ). Таким образом, при доста-
$\qquad$
1) В самом деле, по предположению, $|f(t)| \leqslant$ const при $0 \leqslant t<\infty$, и потому при больших $x>0$ доминирующим членом является $-\varepsilon x^{3} / 3$, который положителен в силу $\varepsilon<0$. Неравенство (23.8) означает, что вдоль любой траектории сумма $x+y$ может только возрастать. Но тогда траектория, начинающаяся в точке $\left\{x^{0}, y^{0}\right\}$ области $Q$, не может выйти из $\Omega$ через нижнюю границу, поскольку $x^{0}+y^{0}>0$. – Прим. перев.
$\left.{ }^{2}\right)$ В самом деле, при больших $x>0$ выражение в $\left(x-x^{3} / 3\right)$ стремится к $+\infty$ как $x^{3}$, т. е. может быть сделано больше $x$. Неравенство (23.9) показывает, что внутри области $\Omega$ вдоль любого решения координата $x$ может только возрастать, так что решение, исходящее в момент $t_{0}$ из точки $\left\{x^{0}, y^{0}\right\}$, принадлежащей $\Omega$, уже не может пересечь участка границы $x=a$. – Прим. перев.

точно большом $a$ любое решение уравнения Ван-дер-Поля, начавшееся в момент $t_{0} \geqslant 0$ внутри области $Q$, все время остается в этой области.

Определим теперь функцию $V=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$; ее производная
\[
\dot{V}=\varepsilon\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right) x+y f(t) .
\]

Внутри области $Q$ имеем $x \geqslant|y|$, и поэтому при достаточно большом $a$ и достаточно малом $c$
\[
\dot{V} \geqslant c x^{4} \geqslant c V^{2} \text {. }
\]

Как мы уже отмечали ранее, неравенство $\dot{v} \geqslant c v^{2}$ не имеет положительных неограниченно продолжаемых решений. Тем самым выполнены (при достаточно большом $a$ ) условия теоремы XIV, т. е. все решения, начинающиеся внутри области $Q$, имеют конечное время определения.

Мы считали параметр \& отрицательным, тогда как обычно в уравнении Ван-дер-Поля этот параметр считается положительным. Если же $\varepsilon>0$, то на основании только что полученного результата мы заключаем, что любое решение, начинающееся внутри области $\Omega$, не может быть определено при всех $t \leqslant 0$, т. е. имеет конечное отрицательное время определения ${ }^{1}$ ).

Переходя теперьк устойчивости по Лагранжу, мы можем, аналогично теореме XIII, доказать следующий результат.

Tеорема XV. Пусть а и имеют тот же смысл, что $и$ в теореме XII, $и \mathrm{~V} \rightarrow+\infty$ при $\|x\| \rightarrow+\infty$ равномерно по $t \geqslant 0$. Пусть снова $\dot{V} \leqslant G(V, t)$. Если неравенство (23.1) не имеет ни одного положительного неограниченного при всех $t \geqslant 0$ решения, то система (F) устойчива в смысле Лагранжа.
При $G=0$ мы получаем для автономной системы
\[
\dot{x}=X(x)
\]

аналогичный результат.
1) В оригинале negative finite escape time.-Прим. перев.

При тех же предположениях относительно функции $V(x)$, появляющейся вместо $V(x, t), m$. е. если $V \rightarrow+\infty$, когда $\|x\| \rightarrow+\infty$, и $\dot{V}<0$ для всех $x$ из множества $Q^{c}$, система (FA) устойчива по Лагранжу.

Более общий случай, когда $G=k(t) L(v)$, а неравенство (23.1) не имеет положительных неограниченных при $t \geqslant 0$ решении, был уже рассмотрен выше [см. утверждение б),стр. 133].

Пример 4. Мы покажем сейчас, что уравнение второго порядка
$\ddot{x}+p(t) \dot{x}+\left[a^{2}+q(t)\right] x=0, \quad a=\mathrm{const}
eq 0, \quad p(t) \geqslant 0$ устойчиво по Лагранжу, если $\int^{\infty}|q(t)| d t<\infty$. Функции $p(t)$ и $q(t)$ предполагаются непрерывными при всех $t \geqslant 0$. Перепишем данное уравнение в виде системы
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-p(t) y-\left[a^{2}+q(t)\right] x,
\end{array}\right.
\]

и возьмем функцию $V=y^{2}+a^{2} x^{2}$. Легко подсчитать ${ }^{1}$ ), что
\[
\begin{aligned}
\dot{V} & =-2 p(t) y^{2}-2 q(t) x y \leqslant 2|q(t)||x y| \leqslant \\
& \leqslant \frac{|q(t)|}{|a|}\left(y^{2}+a^{2} x^{2}\right)=\frac{|q(t)|}{|a|} V .
\end{aligned}
\]

Следовательно, положив $k(t)=\frac{|q(t)|}{|a|}$ и $L(v)=v$, мы придем к дифференциальному неравенству (23.2), удовлетворяющему утверждению б); теорема XV гарантирует нам в этом случае устоћчивость по Лагранжу.

Пример 5. Рассмотрим уравнение (23.5), изучавшееся уже в примере 2. Без всяких дополнительных предполо-
1) Здесь используется неравенство
\[
x y \leqslant \frac{1}{2 a}\left(x^{2}+a^{2} y^{2}\right) \quad(x>0, y>0, a>0),
\]

вывод которого очевиден. – Прим. перев.

жений о функциях $f(x, \dot{x}, t)$ и $g(x)$, но при более сильном ограничении на внешнее воздействие $e(t)$, можно доказать устойчивость по Лагранжу.

Возьмем в качестве $V$ ту же функцию, что и в примере 2 ; тогда при $\left.{ }^{1}\right) x^{2}+y^{2} \geqslant r^{2}$ мы получаем
\[
\dot{V} \leqslant \sqrt{2}|e(t)| \sqrt{V} .
\]
С.ледовательно, если
\[
\int_{0}^{\infty}|e(t)| d t<\infty,
\]

то неравенство $\dot{v} \leqslant \sqrt{2}|e(t)| \sqrt{v}$ не имеет положительных не ограниченных при $t \geqslant 0$ решений, а потому имеет место устоичивость по Лагранжу. Приведенный результат есть небольшое обобщение теоремы Антосевича.

Условие (23.10) накладывает определенные ограничения на вынуждающую силу $e(t)$ : она должна достаточно быстро убывать при $t \rightarrow \infty$. Это условие, естественно, не выполняется для периодической внешней силы, и это вполне объяснимо, поскольку сопротивление предполагается только неотрицательным. Например, уравнение $\ddot{x}+x=\cos t$ имеет неограниченные решения, и мы видим, что для ослабления ограничений на вынуждающее воздействие $e(t)$ необходимо сделать дальнейие предположения о характере сопротивления. Эту мысль наглядно иллюстрирует следующий пример.
Пример 6. Рассмотрим уравнение Льенара
\[
\ddot{x}+f(x) \dot{x}+g(x)=e(t)
\]

и предположим, что функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют непрерывные при всех $x$ производные, а $e(t)$ – непрерывная при всех $t \geqslant 0$. Определим функции
\[
F(x)=\int_{0}^{x} f(u) d u ; \quad G(x)=\int_{0}^{x} g(u) d u ; \quad E(t)=\int_{0}^{t} e(\tau) d \tau .
\]
1) См. примечание ${ }^{1}$ ) на стр. 136. – Прим. перев.

Допустим, далее, что $f(x) \geqslant c>0$ при всех $x$ и
\[
4 f(x)[F(x)-E(t)] g(x) \geqslant e^{2}(t)
\]

при всех $t \geqslant 0$ и всех достаточно больших $|x|$. Мы покажем, что при этих предположениях уравнение (23.11) устойчиво по Лагранжу.
Действительно, приведем это уравнение к системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-g(x)-f(x) y+e(t)
\end{array}\right.
\]

и определим функции
\[
\begin{array}{l}
V_{1}=\frac{1}{2}[y+F(x)-E(t)]^{2}+G(x), \\
V_{2}=\frac{1}{2} y^{2}+G(x) .
\end{array}
\]

Без труда получаем, что
\[
\dot{V}_{1}=-[F(x)-E(t)] g(x) ; \quad \dot{V}_{2}=-f(x) y^{2}+y e(t) .
\]

Используя сделанные предположения, мы видим, что при достаточно больших $|x|^{1}$ )
\[
\dot{V}_{1} \leqslant-\frac{e^{2}(t)}{4 f(x)}, \quad \dot{V}_{2} \leqslant \frac{e^{2}(t)}{4 f(x)} .
\]

Поэтому при $|x| \geqslant a$, где $a$-достаточно большое число, и при всех у имеем $\dot{V}_{1}+\dot{V}_{2} \leqslant 0$. Предположим далее, что функции $e^{2}(t)$ и $|E(t)|$ остаются ограниченными для неотрицательных $t$. Следовательно, мы можем записать, что $\dot{V}_{2} \leqslant-\lambda(y)$, где $\left.{ }^{2}\right) \quad \lambda(y) \rightarrow \infty$ при $|y| \rightarrow \infty$. Поэтому при $|x|<a$ и $|y|>b$ ( $b$-достаточно большое число) $\dot{V}_{1}+\dot{V}_{2}<0$. Мы показали, что $\dot{V}_{1}+\dot{V}_{2} \leqslant 0$
1) Оценка для $\dot{V}_{2}$ справедлива при всех $x$, поскольку неравенство $-f(x) y^{2}+y e(t) \leqslant \frac{e^{2}(t)}{4 f(x)}$ приводится очевидным образом к виду $[2 f(x) y-e(t)]^{2} \geqslant 0$. – Прим. перев.
2) Если $|x(t)| \leqslant K$ при $t \geqslant 0$, то можно положить $\lambda(y)=$ $=c y^{2}-K|y| .-$ Прим. ред.

вне области (прямоугольника), определенной условиями $|x|<a,|y|<b$. Точно также нетрудно видеть, что $V_{1}+V_{2} \rightarrow \infty$ равномерно по $t \geqslant 0$ при $\left.|x|^{2}+|y|^{2} \rightarrow \infty{ }^{1}\right)$. Но тогда функция $V=V_{1}+V_{2}$ удовлетворяет всем предположениям теоремы XV, т. е. уравнение (23.10) устойчиво по Лагранжу.