2.3. Модель канала связи со стиранием элементов

Когда решение о принятом символе не может считаться надежным, то с точки зрения минимизации вероятности ошибочного декодирования  указывают на это с помощью специального символа, получившего название – стирание. Такой подход  представляет собой простейшую форму мягкого декодирования и достаточно подробно изучался в работах [13, 27, 31, 33, 37, 40, 45, 100].

Помеха вида  или  поражает единичный элемент  вектора  с вероятностью . УПС приема может обнаружить действие мешающего фактора и стереть пораженный элемент с вероятностью . При этом возможно проявление события, заключающегося в том, что стертый единичный элемент был бы принят правильно определяется вероятностью ложного стирания .

Событие, состоящее в том, что сигнал вырабатывается в случае неправильной регистрации элемента определяется вероятность правильного стирания . Оба эти события (правильное и ложное стирание) связаны соотношением  Мешающий фактор с вероятностью  может быть не обнаружен, при этом сигнал стирания не вырабатывается и это приводит к необнаруженным ошибкам.

Часть единичных элементов, подвергшихся действию помех, будет зарегистрирована правильно с вероятностью . Вероятности ,  и  достаточно полно характеризуют систему со стирающим каналом связи.  Особое   значение  играет  соотношение  между  и . Для -ичного оптимального приемника при симметричном выборе областей стирания в пространстве принимаемых сигналов всегда выполняется соотношение

                                                    .                                         (2.3)

Равенство в (2.3) достигается за счет контроля многих параметров сигнала, что существенно усложняет реализацию приемника. При контроле одного параметра неравенство (2.3) всегда принимает строгий вид.

Предположим, что источник информации передает символы, принадлежащие некоторому алфавиту (множеству) . Пусть в канале связи действует аддитивная помеха, которая представляет собой случайную величину с нормальным распределением, т.е сигнал на выходе модулятора может быть представлен как

                         ,     и   ~.                        (2.4)

Гауссовский канал характеризуется отношением сигнал-шум на символ, которое определяется  

                                                 .                                           (2.5)

Кроме того, в ходе анализа систем связи часто используется отношение сигнал-шум на бит

                                                   ,                                              (2.6)

где – среднее число информационных бит, содержащихся в одном символе из алфавита , который предается по каналу.

При рассмотрении различных методов модуляции, отображающих последовательность данных в некоторые вещественные величины, передаваемые по физическому каналу связи возникает необходимость анализа комплексных сигналов, т.е.

Рассмотрим процедуру обработки сигнала в гауссовском канале связи при . Пусть сигнал  на выходе непрерывного канала связи принимает два значения:  и . Являясь противоположными, они могут быть представлены в виде одномерных векторов. Если энергию передаваемого сигнала принять равной , то для системы с амплитудной модуляцией сигналы принимают вид:  и . В современных цифровых системах связи из-за наличия в них шифраторов, скремблеров и систем сжатия информации сигналы  и  можно уверенно принять равновероятными. При передаче одного из них, например , на выходе корреляционной схемы или согласованного сигнал  примет вид,

,

где  – принятый сигнал,  – гауссовский нормальный процесс со спектральной плотностью мощности , имеющий нулевое среднее и дисперсию , а  или 2. При этом  также гауссовский процесс со спектральной полосой шириной и имеющий спектральную плотность мощности .

В этом случае, следуя правилу решения, основанному на корреляционной метрике, необходимо сравнить значение  с нулевым порогом. Если , то решение принимается в пользу , в противном случае, при  – в пользу. Условные ПРВ для  равны:

                                                                    (2.7)

                                                                      (2.8)

Их значения для  приведены на рис. 2.1

При условии, что передан сигнал , вероятность ошибки определяется вероятностью того, что , т.е.

                                      .                                  (2.9)

Рис. 2.1. Условные ПРВ для двух сигналов

После введения относительно нулевого порога симметричного интервала стирания  () значение вероятности ошибки для    уменьшается на величину значения вероятности правильного стирания  , т.е. определяется как  . Условные ПРВ для двух сигналов с симметричным интервалом стирания показаны на рисунке 2.2.

Рис. 2.2. Условные ПРВ для двух сигналов с симметричным

интервалом стирания

Из закономерностей нормального распределения условных вероятностей становится ясно, что значение вероятности ложного стирания  при симметричном интервале стирания в условиях гауссовских шумов всегда будет превосходить значение вероятности правильного стирания :

  <     ,

т.е.. Аналогичный результат будет получен в предположении, что передавался сигнал . Для декодера этот факт означает снижение эффективности работы декодера по исправлению стираний.

Необходимо отметить, что расстояние между значениями  и  определяет их различимость, а отношение  известно как отношение сигнал-шум. В работах [69, 67, 68, 69, 70, 94] доказывается, что вероятность ошибки зависит только от отношения  и не зависит от других более детальных характеристик сигналов и шума. Это является сдерживающем фактором в процессе применения схемы со стиранием элементов в реальных системах цифровой связи, а утверждение в [100] о комплексном контроле многих параметров сигнала для минимизации значения  выводит задачу о приеме сигналов  в разряд задач связанных с распознаванием образов.

Системы связи часто представляются в виде нескольких параллельных гауссовских каналов (т.н. векторные гауссовские каналы), причем сигнал, принятый приемником в отдельном -м канале может быть представлен как

                                                    ,                                    (2.10)

где  – различные передаточные коэффициенты. Каждый из таких подканалов может быть охарактеризован своим отношением канал-шум

,    .

Во многих важных для практики случаев среда передачи информации может быть достаточно хорошо описана как линейная система с некоторым импульсным откликом . Тогда принимаемый сигнал может быть представлен как

                                           .                                 (2.11)

Выполняя дискретизацию по времени, можно получить

,

где – длительность импульсного отклика. Очевидно, что такой канал обладает памятью, поскольку его выход зависит от  символов, переданных ранее. Вычисляя преобразование Фурье от выражения (2.11), получим .

В кабельных системах связи межсимвольная интерференция возникает из-за наличия паразитных емкостей и индуктивностей. При этом поведение линии связи в большинстве случаев является детерминированным и может быть достаточно хорошо предсказано с помощью методов теории электрических цепей [63, 68,].