2.4. Модель марковского двоичного канала со стираниями

Для многих практически важных приложений и особенно в мобильной связи, стремятся минимизировать стоимость декодера. Декодер в современных системах связи представляет собой интегральную схему, размещенную в одном чипе. Очень важную роль играют так же надежность в эксплуатации, потребляемая энергия и минимальная мощность принимаемого сигнала. Указанный комплекс требований удается реализовать при применении целочисленных оценок надежности символов. Возможность получения целочисленных оценок в стирающем канале связи впервые на эмпирическом уровне была предложена в [32] и не имела строгого теоретического обоснования с точки зрения корреляционных связей между оцениваемыми символами. Модель гауссовского канала описывает поток независимых стираний, поэтому обоснование указанного метода целесообразно провести на основе изучения  функции корреляции дискретного марковского процесса.

Рассмотрим дискретный марковский процесс  с тремя состояниями (случайный двоичный сигнал с симметричной зоной стирания). Тогда процесс представляет собой ступенчатую кривую, представленную на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Дискретный марковский процесс

Пусть процесс  в любой момент времени может принимать лишь три значения: , при условии, что фиксируется непосредственно значение +1 или значение в интервале от +1 до +; , если реализация процесса оказалась в пределах интервала  (здесь  – характеризует ширину интервала стирания, при этом ), а  характеризует значение –1. Параметр  целесообразно связать с вероятностью ошибки в канале связи, предположив, что рассматривается чисто стирающий канал связи. Будем считать, что вероятность перехода  за малое время  равна , а вероятность перехода  равна . Обозначим вероятность перехода из состояния +1 в зону стирания за время  или из состояния -1 в ту же зону через  Пусть для такого процесса  известны вероятности начального состояния

,  и .

Определим вероятности перехода  (где , , , ), здесь  условные вероятности нахождения  системы  в состоянии  в момент времени , если известно, что в предшествующий момент времени   она находилась в состоянии .  Если принять   , то канала вырождается в двоичный канал и описывается марковским процессом с двумя состояниями. Если параметр  и составляет долю интервала от +1 до -1, то вероятности перехода  и  изменятся пропорционально принятому значению . При  канал не имеет смысла, поскольку вырождается в чисто стирающий. Условие нормировки процесса определяется выражением

,    ,  .                       (2.12)

Обычно [92] вероятности перехода из одного состояния в другое неотрицательны (). С учетом условий нормировки (2.12) получаем, что  . Переходя к пределу при , для стирающего канала с тремя состояниями получим систему линейных дифференциальных уравнений

,                              (2.13)

В случае разрывных марковских процессов для малых временных интервалов  и  вероятности перехода  примут вид: , . Отсюда находим . Так как все  коэффициента  – постоянные величины, не зависящие от времени, то процесс  является однородным. Аналогично для  получаем: ,  и . Для  значения  будут иметь вид: ,  и .

Дифференциальные уравнения, описывающие процесс перехода из одного состояния в такое же состояние  () принимают вид:

,

,                                    (2.14)

.

Всего при  получаем систему, состоящую из девяти дифференциальных уравнений. Условие нормировки для первого из уравнений (2.14) имеет вид .

Для вычисления любого из  соотношений (2.13) необходимо третье дополнительное условие. Определим его для , исходя из следующих соображений.

Введение симметричного интервала стирания приводит к снижению условных вероятностей  и , определенных для канала без стирания символов. Предположим, что величина указанных изменений пропорциональна ширине интервала стирания. Тогда

 .                (2.15)

Собственно , но , следовательно  .

Тогда В таком случае первое из уравнений (2.14) можно записать иначе

                   (2.16)

Начальные условия для дискретного марковского процесса при решении дифференциальных уравнений определяются как

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (2.16) с начальным условием  имеет вид

              (2.17)

Здесь .

Если ввести обозначение , то (2.16) принимает более удобный вид

                        .                               (2.18)

При  получим значение  для двоичного симметричного канала связи.

Значение для  найдем с учетом (2.15) и (2.18).

Здесь . Поскольку , то, принимая  получаем  и

Отсюда:    Тогда .

Оставшиеся значения переходных вероятностей находим аналогичным образом

                                                     (2.19)

                                                      (2.20)

Отсюда видно, что рассматриваемый марковский процесс с тремя состояниями является однородным, так как вероятности перехода зависят только от разности фигурирующих в них времен. Кроме этого, процесс эргодичен, поскольку при  существуют предельные значения вероятностей перехода

                         ;   ,                       (2.21)

которые определяют вероятности стационарного состояния.  Вероятности стационарных состояний определяются системой алгебраических выражений

                                       (2.22)

Используя (2.21), можно убедиться в правильности найденных решений. Для последующих алгебраических преобразований целесообразно учесть ряд условий, непосредственно вытекающих из анализа физического процесса:

во-первых, из условия симметрии получаем ;

во-вторых,  и , а значения  выбираются в зависимости от значения вероятности ошибки в канале связи. Зависимость переходных вероятностей   и    от значений  для  различных  представлена на рисунке 2.4.

Рис. 2.4. Зависимости  переходных вероятностей

Необходимо учитывать, что значение параметра  убывает при введении стирающего канала связи. При введении такого канала связи необходимо проверять выполнение соотношения . Приведенное соотношение может нарушаться при незначительных значениях , обычно не встречающихся  на практике.

 Зная вероятности начального состояния и вероятности перехода, находим общие выражения для абсолютных вероятностей состояний

 (2.23)

   (2.24)

Здесь учтено, что  и  – вероятность стационарного состояния. По определению, среднее значение процесса  при указанных условиях равно

                         (2.25)

Подставим соответствующие выражения вероятностей перехода и получим

 .                      (2.26)

Корреляционная функция процесса имеет вид:

,       .

Расписав, по определению, среднее значение произведения, имеем

учтено, что

    и    .                                     (2.27)

Отсюда:

          (2.28)

Здесь в качестве вероятности начального состояния взята вероятность стационарного состояния . В данном случае процесс  будет стационарным с момента времени .

На основании четности корреляционной функции стационарного процесса  приходим к следующей окончательной формуле, справедливой для положительных и отрицательных значений ,

.  (2.29)

 Полученное выражение имеет относительно сложный вид, однако по мере улучшения характеристик канала связи (уменьшения вероятности ошибки) значение (2.29) быстро сходится к выражению вида

                                       ,                                    (2.30)

поскольку  и стремятся к 0. Корреляционная функция  для характерных значений   имеет вид, представленный на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Изменение коэффициента корреляции при введении стирающего канала связи для 

Введение симметричного интервала стирания приводит к увеличению коэффициента корреляции между символами информационной последовательности, что может быть учтено в решающем устройстве при реализации стирающего канала связи.