2.7. Модель дискретного канала связи

Математическое моделирование непрерывных каналов связи требует знания  физических процессов, протекающих в них. В большинстве случаев для их определения и перевода в аналитическую форму  требуется проведение сложных экспериментов, испытаний и последующей аналитической обработки данных.

В подобных ситуациях очень полезной является модель двоичного симметричного канала связи (ДСК). Подобная модель является простейшим примеров взаимодействия двух источников без памяти. Подобная модель является дискретной двоичной моделью передачи информации по каналу с АБГШ. ДСК описывается с помощью диаграммы переходов (рис. 2.10).

Рис. 2.10.  Модель двоичного симметричного канала

На диаграмме представлены возможные переходы двоичных символов от передатчика (источника ) в двоичные символы приемника (источника ). Каждому переходу приписана переходная вероятность. Ошибочным переходам соответствует вероятность . Эквивалентом диаграммы переходов является матрица канала. Она содержит переходные вероятности и является стохастической матрицей, у которой сумма всех элементов каждой строки равна единице. В общем случае матрица канала в входным алфавитом их символов  и выходным алфавитом из  символов , содержит все переходные вероятности  и имеет вид

                                 (2.51)

В случае ДСК матрица принимает вид

                                      .                                (2.52)

Единственным параметром, характеризующим ДСК, является вероятность ошибки  и из-за  равновероятного появления входных символов и симметрии переходов следует равномерное распределение выходных символов, т.е.

.

Среднее значение информации, которыми обмениваются два дискретных источника без памяти  и  равно

              .             (2.53)

Поскольку пропускная способность дискретного канал связи определяется как  , то

  .      (2.54)

После подстановки числовых значений выражение принимает вид

                                                        (2.55)

Важным частным случаем ДСК является двоичный симметричный канал со стираниями (ДСКС). Как и ДСК подобный канал является упрощенной моделью передачи информации по каналу с АБГШ. Схема переходных вероятностей стирающего канала представлена на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Граф переходных состояний в стирающем канале связи

Матрица переходных вероятностей оказывается зависимой от двух параметров и имеет вид

                                 .                      (2.56)

Входные символы равновероятны, поэтому . Тогда вероятности выходных символов равны

      и     .

Следовательно,

       .       (2.57)

После преобразований получаем

                  .            (2.58)

Положив в полученном уравнении , получим . Введение стирающего канала связи обеспечивает выигрыш пропускной способности стирающего канала связи, при условии, что вероятность ошибки  . Отклонение значений  и от их минимальных значений приводит к образованию криволинейной поверхности, представляющей общий вид которой представлен на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Пропускная способность стирающего канала связи

Рассматривая модель стирающего канала связи, в которой  стирания разделяются на ложные и правильные, можно представить граф переходных вероятностей в виде рис. 2.13. Матрица переходных вероятностей оказывается зависимой от четырех  параметров принимает вид

                  (2.59)

Рис. 2.13. Граф переходных состояний с разделением стираний на ложные и правильные стирания

Предположение о точном совпадении стертых позиций с ошибками является условием, которое никогда не выполняется в реальных канала связи. Для гауссовского канала связи соотношения между ложными и правильным стираниями в зависимости от ширины интервала стирания приведены в табл. 2.1.

Табл. 2.1 Соотношение  вероятностей между ложными и правильными стираниями в канале без памяти

Прирост показателей для  и  в табл. 2.1 определялся  относительно интервала стирания при этом показатель для ложных стираний в указанных пределах вырос практически на порядок. Это говорит о невозможности прямого применения стирающего канала связи в системах обмена информацией с целью снижения вероятности ошибочного приема данных.