1.6. ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

В результате двумерного преобразования Фурье функции , описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется как

,     (1.6.1)

где  - пространственные частоты, а . Если обозначить оператор преобразования Фурье через  , то можно записать

.                                             (1.6.2)

В общем случае спектр  есть комплексная величина. Его можно разложить на действительную и мнимую части:

                         (1.6.3а)

или представить с помощью амплитуды и фазы:

,             (1.6.3б)

где

,                   (1.6.4а)

.     (1.6.4б)

Достаточным условием существования фурье-спектра функции  является абсолютная интегрируемость этой функции, т.е. условие

.                                                (1.6.5)

Исходная функция  может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:

.     (1.6.6a)

Это соотношение в операторной форме можно записать как

.                                                     (1.6.6б)

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится

                                              (1.6.7)

а затем

                                        (1.6.8)

Ниже приводятся несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье. Их доказательства можно найти в книгах [1, 2].

Функциональные свойства

Если функция  разделима по пространственным переменным, так что

,                              (1.6.9)

то

,                     (1.6.10)

где  - одномерные фурье-спектры функций , . Если  есть фурье-спектр функции , то  является фурье-спектром функции  . (Звёздочка обозначает комплексную сопряженность.) Если функция  симметрична, т.е. , то .

Линейность

Оператор преобразования Фурье линеен:

,     (1.6.11)

где  – постоянные.

Изменение масштаба

Изменение масштаба пространственных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:

.                                   (1.6.12)

Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости  приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.

Сдвиг

Сдвиг (изменение координат) на исходной плоскости приводит к фазовым изменения на частотной плоскости:

               (1.6.13а)

Наоборот, сдвиг на частотной плоскости вызывает фазовые изменения исходной функции:

  (1.6.13б)

Свертка

Фурье-спектр функции, полученный в результате свертки двух функций, равен произведению спектров исходных функций:

                            (1.6.14)

Обратная теорема утверждает, что

          (1.6.15)

Теорема Парсеваля

Два представления энергии изображения – через функцию  и фурье-спектр  - связаны следующим образом:

     (1.6.16)

Теорема о спектре автокорреляционной функции

Фурье-спектр двумерной автокорреляционной функции изображения равен квадрату модуля фурье-спектра этого изображения:

    (1.6.17)

Спектры пространственных производных

Фурье-спектры первых пространственных производных функции  связаны с её фурье-спектром следующими соотношениями:

                                  (1.6.18a)

                                  (1.6.18б)

Следовательно, спектр лапласиана равен

     (1.6.19)