5.4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ [5, 10]

Статистические методы описания непрерывных изображений, приведенные в гл. 1, можно непосредственно применить и для описания дискретных изображений. В данном разделе получены выражения для моментов дискретных изображений. Модели совместных плотностей вероятностей приведены в следующем разделе.

Среднее значение матрицы, описывающей дискретное изображение, представляет собой матрицу

.                      (5.4.1)

Если эта матрица разверткой по столбцам преобразована в вектор, то среднее значение этого вектора есть

.                (5.4.2)

Корреляция двух элементов изображения с координатами  и  определяется как

.     (5.4.3)

Ковариация двух элементов изображения есть

.       (5.4.4)

И наконец, дисперсия элемента изображения равна

.              (5.4.5)

Если матрица изображения преобразована в вектор , то корреляционную матрицу этого вектора можно выразить через корреляции элементов матрицы :

,     (5.4.6a)

или

.               (5.4.6б)

Выражение

                        (5.4.7)

представляет собой корреляционную матрицу -го и -го столбцов матрицы  и имеет размеры . Следовательно,  можно представить в виде блочной матрицы

     (5.4.8)

Ковариационную матрицу вектора  можно получить на основе его корреляционной матрицы и вектора средних значений с помощью соотношения

.                              (5.4.9)

Матрица дисперсий  массива чисел  по определению является матрицей, элементы которой равны дисперсиям соответствующих элементов массива. Элементы матрицы  можно непосредственно выделить из блоков матрицы :

.                             (5.4.10)

Если дискретное изображение представляется массивом, стационарным в широком смысле, то его корреляционную функцию можно записать в виде

,          (5.4.11)

где  и . Соответственно блоки ковариационной матрицы (5.4.9) будут связаны соотношениями

,     ,                 (5.4.12а)

,     ,     (5.4.12б)

где . Таким образом, для стационарного в широком смысле массива

  (5.4.13)

Матрица (5.4.13) является блочно-тёплицевой [11]. Наконец, если корреляционную функцию изображения можно записать в виде произведения корреляционных функций строк и столбцов, то ковариационную матрицу вектора , представляющего изображение, можно записать в виде прямого произведения ковариационных матриц для строк и столбцов:

      (5.4.14)

где  - ковариационная матрица столбцов матрицы , имеющая размеры , а  - ковариационная матрица строк матрицы  с размерами .

Рассмотрим случай, когда ковариационная матрица строк матрицы  имеет следующий вид:

   (5.4.15)

где  - дисперсия элементов изображения. Эта ковариационная матрица - аналог непрерывной автоковариационной функции вида  - описывает марковский процесс. На рис. 5.4.1 приведены полученные Дэвиссоном [12] значения коэффициентов корреляции элементов строки типичного изображения. Экспериментальные точки хорошо аппроксимируются ковариационной функцией марковского процесса с параметром . Аналогично значения коэффициентов корреляции в направлении, перпендикулярном к строкам, хорошо согласуются с марковской ковариационной функцией при . Если ковариационная функция может быть представлена в виде (5.4.14), то коэффициенты корреляции по диагонали должны быть равны произведению соответствующих коэффициентов корреляции вдоль строк изображения и в направлении, перпендикулярном к ним. В данном примере оказалось, что такая аппроксимация является достаточно точной в области от нуля до пяти шагов дискретизации.

По аналогии с непрерывным энергетическим спектром (1.8.11) можно определить дискретную спектральную плотность дискретного стационарного двумерного случайного поля, представляющего изображение, как результат двумерного дискретного преобразования Фурье автокорреляционной функции этого поля. Тогда в силу равенства (5.4.11) будем иметь

     (5.4.16)

Рис. 5.4.1. Пример корреляционных зависимостей между соседними элементами изображения.

На рис. 5.4.2 приведены энергетические спектры марковских процессов.