Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
9.3. ОПЕРАТОР ЦИКЛИЧЕСКОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ
При
использовании оператора циклической суперпозиции массивы отсчетов входного и
выходного изображений, а также импульсного отклика должны быть периодическими
по пространственным переменным с одинаковым периодом. Для единства изложения
примем, как и прежде, что все эти массивы имеют конечные размеры. Допустим
также, что массив исходных отсчетов размером помещен в левый верхний
угол массива, содержащего нулей , т. е. образуется расширенный массив
при , (9.3.1а)
при . (9.3.1б)
Аналогично
формируется расширенный массив отсчетов импульсного отклика:
при , (9.3.2а)
при . (9.3.2б)
Далее
образуем периодически продолженные массивы и , повторяя (размножая) расширенные
массивы с периодом в отсчетов. Циклическая свертка этих
массивов по определению равна
. (9.3.3)
Бросается
в глаза сходство данного выражения с равенством (9.1.1), описывающим
суперпозицию конечных массивов. В самом деле, если выбрано так, что , то при . Следует также
отметить сходство циклической суперпозиции с суперпозицией дискретизованных
массивов. Эти соотношения становятся более ясными, когда используется векторное
представление циклической суперпозиции.
Допустим,
что массивы и
представлены
соответственно -компонентными
векторами и
. Тогда
для операции циклической суперпозиции можно записать соотношение
, (9.3.4)
где
-
матрица элементов массива размера . Оператор циклической суперпозиции
удобно выразить в виде блочной матрицы с блоками размера :
, (9.3.5)
где
, (9.3.6)
причем
и , a и . Следует отметить,
что каждая строка и каждый столбец блочной матрицы содержат ненулевых блоков.
Если массив отсчетов импульсного отклика является пространственно-инвариантным,
то
(9.3.7)
и
любую строку (или столбец) можно получить путем циклической перестановки блоков
первой строки (или первого столбца). На рис. 9.3.1,а приведен пример оператора
циклической свертки, когда входной и выходной массивы имеют размеры , а размер массива
отсчетов импульсного отклика равен . На рис. 9.3.1,б показана структура
матрицы того же оператора при и , когда импульсный отклик имеет
гауссову форму.
Рис. 9.3.1. Примеры матриц оператора циклической
свертки.
а - общий случай, ; б - импульсный отклик гауссовой
формы, .
Если
же импульсный отклик является пространственно-инвариантным и разделимым, то
, (9.3.8)
где
и - матрицы вида
, (9.3.9)
размер
которых равен .
При этом двумерная циклическая свертка вычисляется в соответствии с
соотношением
. (9.3.10)