Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
10.9. СИНГУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Сингулярное
преобразование [34] является двумерным унитарным преобразованием, основанным на
сингулярном разложении матриц (см. гл. 5). Прямое сингулярное преобразование по
определению равно
, (10.9.1)
а
обратное преобразование
. (10.9.2)
Матрица
преобразования строк
обеспечивает выполнение операции
диагонализации
, (10.9.3)
где
-
диагональная матрица, элементы
которой являются собственными
значениями матрицы
. Аналогично
. (10.9.4)
Подставив
выражение (10.9.2) в равенства (10.9.3) и (10.9.4), получим
, (10.9.5)
где
элементами диагональной матрицы
являются числа
, называемые сингулярными
значениями матрицы
и равные квадратному корню из
соответствующих собственных значений
.
Матрицу
изображения можно записать в очень компактной форме с помощью матричного произведения
векторов, получаемых при сингулярном разложении. Согласно равенству (10.1.14б),
, (10.9.6)
где
и
представляют собой
векторы, состоящие из элементов
-х столбцов матриц
и
.
Пользуясь
сингулярным преобразованием, матрицу изображения
, содержащую
элементов, можно полностью
описать
величинами,
представляющими, собой
коэффициентов
. Однако следует отметить,
что конкретные значения элементов матриц преобразований по строкам и столбцам в
этом случае зависят от элементов изображения.
На
рис. 10.9.1 приведен пример сингулярного преобразования изображения. Здесь же
показаны произведения
и
, а также соответствующие матрицы
преобразований по строкам
и по столбцам
. Сингулярные значения
рассматриваемого изображения представлены на рис. 10.9.2. На рис. 10.9.3
показано несколько матричных произведений
.
Рис. 10.9.1. Сингулярное
преобразование изображения «Портрет». Все представленные массивы из
элементов получены
из массивов размера
элемента посредством билинейной
интерполяции.
а - исходное изображение, матрица
; б -
результат сингулярного преобразования, матрица
; в - матрица
; г - матрица
; д - матрица,
состоящая из модулей элементов матрицы
; е - матрица, состоящая из модулей
элементов матрицы
.
Рис. 10.9.2. Сингулярные значения
изображения «Портрет».
Рис. 10.9.3. Базисные изображения
для изображения «Портрет».
Рисунки а, б, в, г, д, е
соответствуют
,
,
,
,
,
.