8.5. РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Установив существование
решения системы уравнений
(8.5.1)
следует определить
характер решения: является ли оно единственным или же решений несколько, а также какой
вид имеет решение? Ответ на последний
вопрос содержится в следующей фундаментальной теореме [4]:
Если решение системы
уравнений 
существует, то в общем
случае оно имеет вид
(8.5.2)
где 
- матрица, условно обратная относительно матрицы
,
a 
- произвольный вектор размера 
.
Для доказательства
умножим обе части соотношения (8.5.2) на матрицу :
(8.5.3)
Однако по условию
существования решения 
. Кроме того, согласно определению условно обратной матрицы, 
. Следовательно,
и вектор 
является решением.
Поскольку 
, то,
умножив обе части этого равенства на матрицу , получим
(8.5.4а)
или
(8.5.4б)
Прибавив к обеим
частям вектор , получим
(8.5.5)
Этот результат совпадает
с соотношением (8.5.2), если вектор , стоящий
в правой части формулы (8.5.5), заменить на произвольный вектор .
Поскольку обобщенная
обратная матрица 
и матрица 
обращения
методом наименьших квадратов являются условно обратными, то общее решение системы (8.5.1) также можно
представить в виде
(8.5.6а)
(8.5.6б)
Решение очевидно,
будет единственным, если 
. Bo всех подобных случаях 
. Исследовав ранг матрицы
, можно доказать, что [4] если решение системы уравнений существует, что оно единственно тогда и только тогда, когда
ранг матрицы размера 
равен
.
Отсюда следует,
что если решение недоопределенной системы уравнений существует,
то оно не единственно. С другой стороны,
переопределенная система уравнений может иметь только одно решение.
Пусть для системы
уравнений (8.5.1) может быть получено точное решение.
Рассмотрим оценку
(8.5.7)
где 
обозначает
одну из матриц, псевдообратных относительно , которая
не обязательно будет совпадать с этим решением, поскольку
произведение матриц 
может не равняться единичной матрице. Величину ошибки, т. е. отклонение оценки
от истинного значения 
, обычно
выражают через квадрат разности векторов и
в виде произведения
(8.5.8а)
или как
(8.5.8б)
Подставив выражение
(8.5.7) в (8.5.8а), получим
(8.5.9)
Значение матрицы
, при котором ошибка (8.5.8) оказывается минимальной,
можно найти, приравняв нулю производную
от ошибки 
по вектору . Согласно соотношению
(5.1.34),
(8.5.10)
Равенство
(8.5.10) удовлетворяется, если матрица
, т. е. является обобщенной
обратной матрицей относительно . При этом ошибка оценивания
уменьшается до минимума, равного
(8.5.11а)
или
(8.5.11б)
Как и ожидалось,
ошибка становится равной нулю, когда . Это
произойдет, например, если обобщенная
обратная матрица имеет ранг и
определяется соотношением (8.3.5).
