9.1. ОПЕРАТОР СУПЕРПОЗИЦИИ КОНЕЧНЫХ МАССИВОВ

Рассмотрим сначала дискретный оператор суперпозиции конечного массива отсчетов (для простоты обозначений принято, что все массивы отсчетов квадратные)  (где ) с конечным массивом  (где ), играющим роль импульсного отклика. В общем случае импульсный отклик может изменяться в зависимости от координат  отсчета в выходном массиве . Операция суперпозиции в ограниченной области определяется соотношением

     (9.1.1)

где , а массивы  и  имеют нулевые значения вне областей изменения соответствующих индексов. Анализируя предельные значения индексов отсчетов импульсного отклика, можно убедиться, что  и, следовательно, выходной массив  имеет большие размеры, чем исходный (рис. 9.1.1).

Если массивы  и  представлены соответственно в виде вектора  размера  и вектора  размера , то преобразование (9.1.1) можно записать как [1]

,                             (9.1.2)

где  - матрица размера , содержащая отсчеты импульсного отклика. Матрицу  оператора суперпозиции удобно разделить на блоки  размера .

Рис. 9.1.1. Суперпозиция конечных массивов отсчетов импульсного отклика и исходного изображения: А - пассив из  отсчетов изображения; Б - повернутый на 180° массив из  отсчетов импульсного отклика.

Проанализировав пределы суммирования в выражении (9.1.1), можно показать, что

                 (9.1.3)

Произвольный ненулевой элемент матрицы  имеет вид

     (9.1.4)

где , а . Отсюда следует, что матрица  имеет регулярную структуру и заполнена довольно редко, причем ненулевые блоки, группирующиеся в виде полосы в средней части матрицы , содержат зоны нулевых элементов.

Если форма импульсного отклика инвариантна относительно сдвига (т. е. одинакова для всех точек выходного массива), то структура матрицы  не зависит в явной форме от координат  выходного отсчета. Тогда

                                    (9.1.5)

Таким образом, все столбцы матрицы  образуются сдвигом первого столбца. В этом случае оператор суперпозиции называется оператором свертки конечных массивов. На рис. 9.1.2;а приведены полученные на ЦВМ распечатки матриц, фигурирующих в операции свертки конечных массивов, для случая, когда входной массив имеет размеры  (), выходной массив  (), а массив отсчетов импульсного отклика  (). Пары целых чисел  в матрице  обозначают -й элемент матрицы .

Рис. 9.1.2. Примеры матриц операторов свертки конечных массивов: а - общий случай, , , ; б - импульсный отклик гауссовой формы, , , .

Структура матрицы  лучше видна на примере матрицы большего размера, показанной на рис. 9.1.2, б. В рассматриваемой матрице , , , а импульсный отклик симметричен и имеет гауссову форму. Заметим, что в данном примере размеры матрицы  равны 25664.

Пользуясь методикой, примененной при выводе соотношения (8.1.7), оператор суперпозиции можно представить в матричной форме

                             (9.1.6)

Если импульсный отклик является инвариантным относительно сдвига и разделимым, т. е.

,                 (9.1.7)

где  и  - вектор-столбцы, описывающие соответственно характер изменения импульсного отклика по столбцам и строкам, то

.                       (9.1.8)

Матрицы  и  имеют размеры  и структуру вида

.                        (9.1.9)

Операция двумерной свертки в этом случае сводится к последовательному вычислению одномерных сверток по строкам и столбцам. Таким образом,

.              (9.1.10)

Для получения конечной свертки или суперпозиции в общем случае необходимо выполнить  арифметических операций, причем в это число не входят умножения на нулевые элементы матрицы . Если же оператор является разделимым, т. е. удовлетворяет равенству (9.1.10), то достаточно выполнить  операций.