Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.8. ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
В разделе 1.4 были введены
понятия линейности и суперпозиции с тем, чтобы распространить понятие
линейности на более широкий класс систем.
Рассмотрим две функции, описывающие изображения, 
и 
, которые, взаимодействуя некоторым образом 
, дают функцию 
:
. (1.8.1)
Пусть 
- оператор системы,
преобразующей ,
который обладает следующими свойствами:
(1.8.2a)
и
(1.8.2б)
где 
- постоянная, а двоеточие обозначает
обобщённое умножение на постоянную. В работе [4] показано, что если операция 
сводится к
сложению векторов, а операция : - к умножению вектора на скаляр, то оператор может быть
представлен в виде цепочки операторов, называемой гомоморфным фильтром (рис. 1.8.1). Первый оператор 
превращает операции и : в сложение
векторов и умножение вектора на скаляр:
(1.8.3а)
и
(1.8.3б)
Рис. 1.8.1. Обобщенные линейные системы: а — обобщенная система; б — представление обобщенной системы
в виде гомоморфного фильтра; в - мультипликативный гомоморфный фильтр.
Вторая
ступень гомоморфного фильтра – обычная линейная система. Третья ступень –
оператор 
,
который является обратным относительно первого оператора, т.е.
(1.8.4)
Рис. 1.8.1, в иллюстрирует частный случай
гомоморфного фильтра для мультипликативной системы [5], в которой функция получается в
результате перемножения функций и , т.е.
(1.8.5)
Прологарифмировав обе части
равенства (1.8.5), получим сумму логарифмов функций и :
(1.8.6)
Функция 
преобразуется некоторой линейной
системой, а затем посредством экспоненциального преобразования возвращается в
пространство исходных изображений. Операция обобщенного умножения вектора на
скаляр определяется как возведение в степень
(1.8.7)
Логарифмирование этого равенства дает
(1.8.8)
Применение гомоморфной
фильтрации при восстановлении изображений рассмотрено в гл. 15.
