10.1. ОПЕРАТОРЫ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований, когда линейный оператор [см. (8.1.1)] точно обратим, а его ядро удовлетворяет условиям ортогональности [1, 2]. В результате прямого унитарного преобразования матрицы изображения  размера  образуется матрица преобразованного изображения того же размера, элементы которой по определению равны

,                 (10.1.1)

где  - ядро прямого преобразования. Исходное изображение можно получить с помощью обратного преобразования, описываемого соотношением

,                (10.1.2)

где  - ядро обратного преобразования. Преобразование является унитарным, если выполняются следующие условия ортогональности:

,                   (10.1.3а)

,                   (10.1.3б)

,                   (10.1.3в)

.                   (10.1.3г)

Преобразование называют разделимым, если оба его ядра можно представить в следующей форме:

,              (10.1.4а)

,              (10.1.4б)

где через  (или ) и  (или ) обозначены соответственно одномерные операторы преобразования столбцов и строк. Результат воздействия оператора разделимого двумерного унитарного преобразования можно находить в два этапа. Сначала выполняется одномерное преобразование по всем столбцам матрицы изображения, причем образуется матрица с элементами

.                      (10.1.5)

Затем выполняется второе одномерное преобразование по всем строкам полученной матрицы, в результате которого образуется массив чисел вида

.                   (10.1.6)

Унитарные преобразования удобно записывать с помощью векторных обозначений [3]. Допустим, что  и  - матричное и векторное представления массива отсчетов исходного изображения, а  и  - матричное и векторное представления преобразованного изображения. Тогда двумерное унитарное преобразование в векторной форме выражается соотношением

,                       (10.1.7)

где  - матрица прямого преобразования. Обратное преобразование записывается как

,                       (10.1.8)

где  - матрица обратного преобразования. Очевидно, что

.                     (10.1.9)

Для унитарных преобразований обратная матрица удовлетворяет соотношению

.                 (10.1.10)

В этом случае матрицу  называют унитарной. Действительная унитарная матрица называется ортогональной матрицей, и для нее справедливо соотношение

.                  (10.1.11)

Если ядра преобразования разделимы, так что

,                       (10.1.12)

где  и  - унитарные матрицы преобразования по строкам и столбцам, то матрицу преобразованного изображения можно получить из матрицы исходного изображения с помощью равенства

.             (10.1.13а)

Обратное преобразование определяется соотношением

,              (10.1.13б)

где  и .

Разделимые унитарные преобразования можно также представлять в виде взвешенной суммы матричных произведений вектор-столбцов, сформированных из элементов матриц. Пусть  и  обозначают -й и -й столбцы матриц  и . Нетрудно показать, что

.                      (10.1.14а)

Аналогично

,                  (10.1.14б)

где  и  - -й и -й столбы матриц  и  соответственно. Матричные произведения векторов, входящие в суммы (10.1.14), образуют последовательности матриц, называемых базисными матрицами, на основе которых и производится разложение матрицы  исходного изображения или преобразованного изображения .

Возможны различные интерпретации унитарных преобразований. Преобразование изображения можно рассматривать как разложение исходного изображения в обобщенный двумерный спектр [4]. Каждая спектральная составляющая характеризует вклад соответствующей спектральной (базисной) функции в энергию исходного изображения. При такой трактовке понятие частоты можно обобщить так, чтобы оно было применимо не только к синусам и косинусам, но и к другим функциям, на которых основываются преобразования. Подобный обобщенный спектральный анализ полезен для изучения тех конкретных разложений, которые в наибольшей мере подходят для данного класса изображений. Наглядное представление о преобразованиях изображений можно получить и по-другому, рассматривая преобразование как поворот многомерной системы координат. Одним из главных свойств унитарного преобразования является сохранение метрики. Например, евклидово расстояние между двумя изображениями равно евклидову расстоянию между их образами. Третья возможность интерпретации преобразований заключается в том, что равенство (10.1.2) можно рассматривать как способ составления изображения из набора двумерных функций , каждая из которых соответствует определенной точке  плоскости обобщенных частот. В подобной интерпретации ядро  называют двумерной базисной функцией, а коэффициент  указывает «вес» этой базисной функции, необходимый для получения рассматриваемого изображения.

Для упрощения анализа свойств двумерных унитарных преобразований ниже в этой главе будет принято, что все массивы являются квадратными и имеют размер . Кроме того, будут изменены обозначения и нумерация всех индексов в выражениях вида (10.1.1) и (10.1.2). Таким образом, массив отсчетов исходного изображения будет обозначен через , где , а массив коэффициентов преобразования - через , где . С учетом этого прямое унитарное преобразование записывается в следующем виде:

,                     (10.1.15а)

а обратное преобразование - как

.                     (10.1.15б)