10.7. НАКЛОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

В работах [24-26] предложено ортогональное преобразование, названное наклонным (slant transform). Это преобразование обладает следующими особенностями: 1) среди базисных векторов имеется вектор с одинаковыми компонентами (постоянный базисный вектор); 2) наклонный базисный вектор монотонно убывает от максимального до минимального значения скачками постоянной величины; 3) матрица преобразования обладает секвентным свойством; 4) существует быстрый алгоритм преобразования; 5) обеспечивается высокая степень концентрации энергии изображения. При длине вектора  наклонное преобразование совпадает с преобразованием Адамара второго порядка. Таким образом,

.                  (10.7.1)

Матрица наклонного преобразования четвертого порядка формируется по следующему правилу:

,               (10.7.2а)

или

,            (10.7.2б)

где  и  - действительные коэффициенты, которые следует выбирать так, чтобы матрица  была ортогональной, а величина скачков при изменении второго наклонного базисного вектора - постоянной. Из условия постоянства величины скачка можно найти, что . Из условия ортогональности  следует, что . Таким образом, матрица наклонного преобразования четвертого порядка имеет вид

.                     (10.7.3)

Нетрудно проверить, что матрица  является ортонормальной. Кроме того, она обладает секвентным свойством: число изменений знака возрастает с увеличением номера строки от 0 до 3.

Матрица наклонного преобразования при  имеет вид

.                        (10.7.4)

Как и при построении матрицы , коэффициенты  и  подбираются так, чтобы наклонный базисный вектор убывал равномерными скачками, все строки матрицы являлись ортонормальными векторами, а сама матрица обладала секвентным свойством.

Обобщая соотношение (10.7.4), можно получить рекуррентную формулу, связывающую матрицы наклонного преобразования -го и -го порядка:

,                 (10.7.5)

где  - единичная матрица -го порядка. Постоянные  и  можно найти из рекуррентных соотношений [26]

,            (10.7.6а)

,                    (10.7.6б)

            (10.7.6в)

или по формулам

,               (10.7.7а)

.               (10.7.7б)

На рис. 10.7.1 приведены графики базисных функций наклонного преобразования для . Пример спектра, получаемого при таком преобразовании, показан на рис. 10.7.2.

Рис. 10.7.1. Базисные функции наклонного преобразования при .

Рис. 10.7.2. Наклонное преобразование изображения «Портрет».

а - исходное изображение; б - результат преобразования в логарифмическом масштабе по оси амплитуд: в - результат преобразования с ограниченными наибольшими гармониками.