6.2. КВАНТОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН

Обычно квантование совокупности отсчетов выполняется последовательно. Каждый отсчет рассматривается как скалярная величина и квантуется независимо от остальных отсчетов с помощью методов, описанных в предыдущем разделе. Однако часто удается уменьшить ошибку квантования, если все отсчеты квантовать совместно.

Рассмотрим сигнал , представляющий собой вектор размера . Будем полагать, что этот вектор является реализацией случайного вектора с -мерной плотностью вероятности

.          (6.2.1)

При квантовании вектора  -мерное векторное пространство разделяют на  ячеек квантования  каждой из которых соответствует один из  квантованных векторов. Векторный сигнал  заменяется на квантованный вектор  если  попадает в ячейку . На рис. 6.2.1 приведены примеры векторного квантования в одно-, двух- и трехмерном пространствах. В подобной общей постановке задачи о векторном квантовании векторный сигнал  преобразуется в вектор  но компоненты вектора  при этом не обязательно будут квантоваться по отдельности по набору дискретных пороговых уровней.

Рис. 6.2.1. Ячейки квантования в векторном пространстве: а – одномерное пространство; б – двумерное пространство; в – трехмерное пространство.

Среднеквадратическую ошибку векторного квантования можно представить в виде суммы

    (6.2.2)

Оптимальное положение квантованных векторов  при фиксированных границах ячеек квантования  можно найти, приравнивая нулю частные производные ошибки квантования по векторам . В результате получается система интегральных уравнений

        (6.2.3)

После преобразований находим

               (6.2.4)

Равенство (6.2.4) определяет условное математическое ожидание вектора , когда он попадает в ячейку :

.                             (6.2.5)

В этом случае минимальная средне-квадратическая ошибка квантования равна

,     (6.2.6)

где  - корреляционная матрица вектора . Заметим, что при  формула (6.2.4) сводится к (6.1.11), а выражение для ошибки квантования (6.2.6) переходит в формулу (6.1.12).

Оптимальные положения квантованных векторов  при фиксированных ячейках квантования  невозможно определить, не зная совместной плотности вероятности . Однако часто такая информация отсутствует. Еще одна существенная трудность связана с фактическим вычислением интегралов в формуле (6.2.4). Поэтому часто приходится упрощать процедуру векторного квантования. Так, можно квантовать все компоненты вектора  по отдельности, но задавать квантованные векторы  с помощью ячеек квантования . Тогда в трехмерном пространстве ячейки  превращаются в прямоугольные параллелепипеды. Если при этом компоненты вектора  некоррелированы, то векторное квантование сводится к последовательному квантованию скалярных величин. Однако если отсчеты коррелированы, то задача определения оптимального вектора  как правило, не поддается решению без введения дополнительных упрощающих предположений. Кэри [4] получил решения применительно к совместным гауссовым плотностям, когда ячейки квантования , достаточно малы. Хунс [5] исследовал рекуррентный метод решения такой задачи, когда каждая компонента вектора определяется с помощью последовательных приближений на основе остальных квантованных компонент вектора. Этот метод позволяет найти решение задачи для множества различных плотностей вероятности: в части 6 он рассмотрен как средство уменьшения ошибок квантования в системах, использующих ИКМ и кодирование с преобразованием.

Попытаемся теперь найти такой набор ячеек квантования  при котором минимизируется среднеквадрэтическая ошибка квантования. Брюс [6] разработал метод решения этой задачи, основанный на динамическом программировании. Однако в общем случае оптимальные формы ячеек квантования сложны и определить их весьма трудно. Поэтому в большинстве методов векторного квантования используется субоптимальный подход, когда для каждой компоненты вектора задается фиксированное число уровней квантовании , где , и все компоненты квантуются независимо. Задача оптимизации сводится в этом случае к выбору величин , произведение которых

                (6.2.7)

есть фиксированное число уровней квантования для данного вектора. Ошибка квантования -го отсчета равна

..     (6.2.8)

В системах с цифровым кодированием число уровней квантования обычно выбирают равным двоичному числу

,                 (6.2.9)

где  – целое число кодовых разрядов (бит) для -й компоненты вектора. Общее количество кодовых разрядов должно быть постоянно и равно

.                (6.2.10)

Такой способ квантования называется блочным.

Несколько специалистов [7-9] разработали алгоритмы распределения числа разрядов  при фиксированном , позволяющие минимизировать среднеквадратическую ошибку квантования. При использовании алгоритма, предложенного Реди и Уинцем [9] и применяемого для квантования независимых гауссовых величин по методу Макса, следует выполнить следующие операции:

1. Вычислить распределение числа разрядов по формуле

,     (6.2.11)

где  - дисперсия -го отсчета.

2. Округлить каждое из чисел  до ближайшего целого.

3. Изменять полученное распределение, пока не будет выполнено условие (6.2.10)

Вывод соотношения (6.2.11) основан на экспоненциальной аппроксимации зависимости (6.1.12), связывающей ошибку квантования -го отсчета и заданное ему число разрядов . Если  невелико, то эта аппроксимация оказывается довольно грубой. Более надежные результаты можно получить, пользуясь разработанным Прэттом [10] методом минимальной ошибки. Здесь разряды последовательно отводятся отсчетам, которые имеют наибольшую дифференциальную ошибку (6.2.8). При квантовании величин с нулевым средним алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Определение начальных условий:

                 - общее число разрядов в кодовой комбинации блока,

                 - длина блока,

                 - дисперсия компоненты,

                 - плотность вероятности компоненты,

                 - индекс разряда (сначала равен нулю).

Шаг 2. Вычислить и запомнить коэффициенты дифференциальной ошибки

,

где , а сумма

определяет коэффициент ошибки для случайных величин с единичной дисперсией, причем знаком тильды (~) отмечены уровни квантования и пороговые уровни, относящиеся к таким величинам.

Шаг 3. Отвести один разряд той компоненте, для которой произведение  имеет наибольшую величину; увеличить на единицу  и .

Шаг 4. Если , закончить процедуру; в противном случае повторить шаг 3.

Коэффициенты дифференциальной ошибки , необходимые для данного алгоритма, можно вычислить заранее и хранить в виде таблицы из  чисел. В этом случае алгоритм сводится к  последовательным операциям распределения разрядов. Достоинства алгоритма состоят в том, что здесь не требуется громоздких вычислений, а также отсутствуют ошибки аппроксимации и округления, характерные для алгоритма с вычислением логарифмов дисперсий. Кроме того, метод минимальной ошибки опирается на модель плотности вероятности и поэтому его можно эффективно применять для распределения разрядов при неодинаковых плотностях вероятностей отсчетов.