8.3. ОПЕРАТОРЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

При линейной обработке сигналов часто встречается задача «обращения» преобразования вида

                               (8.3.1)

с тем, чтобы выразить точное значение входного вектора  размера  или некоторую его оценку  через выходной вектор p размера . Если  - квадратная матрица, то очевидно, что

                      (8.3.2)

если обратная матрица существует. Если матрица  не квадратная, то для отыскания решения можно воспользоваться псевдообратной матрицей  размера . В этом случае

                            (8.3.3)

Если решение существует и единственно, то «правильным» оператором псевдообращения будет тот, который обеспечивает точную оценку, т. е. . Это означает, что вектор  можно определить по наблюдаемому вектору  без ошибок. Если решение существует, но оно не единственно, то с помощью псевдообратного оператора можно выбрать решение с минимальной нормой. Если, наконец, точных решений не существует, то с помощью оператора псевдообращения можно найти наилучшее приближенное решение. Более подробно этот вопрос рассмотрен в последующих разделах. Разъяснения и доказательства многих из нижеприведенных положений содержатся в монографиях [4-6].

Первым из операторов псевдообращения будет рассмотрен оператор с обобщенной обратной матрицей , для которой выполняются следующие соотношения:

            (8.3.4а)

             (8.3.46)

                      (8.3.4в)

                 (8.3.4г)

Обобщенная обратная матрица является единственной и при некоторых условиях ее можно записать в явном виде. Если , то систему уравнений (8.3.1) называют переопределенной, т. е. число компонент наблюдаемого вектора  превышает число подлежащих оценке компонент вектора . Если при этом ранг матрицы  равен , то обобщенная обратная матрица

         (8.3.5)

В противоположном случае, когда , систему (8.3.1) называют недоопределенной. Если при этом ранг матрицы  равен , то обобщенная обратная матрица имеет вид

        (8.3.6)

Нетрудно показать, что матрицы, определенные соотношениями (8.3.5) и (8.3.6), удовлетворяют условиям (8.3.4). Если матрица  может быть представлена в виде прямого произведения (8.1.8), то обобщенная обратная матрица имеет вид

     (8.3.7)

где  и  - обобщенные обратные матрицы для линейных операторов обработки строк и столбцов. В этом случае сокращается объем вычислений, необходимых для обращения.

Еще один тип оператора псевдообращения имеет матрицу , называемую матрицей обращения методом наименьших квадратов, которая определяется следующими соотношениями:

                      (8.3.8а)

            (8.3.8б)

И наконец, условно обратная матрица  определяется формулой

                       (8.3.9)

Анализ определений всех трех видов оператора псевдообращения показывает, что обобщенный обратный оператор является оператором обращения методом наименьших квадратов, а последний - оператором условного обращения. Для любого линейного оператора с матрицей  всегда существуют матрица обращения методом наименьших квадратов и условно обратная матрица, но они могут быть не единственными. Кроме того, для этих матриц обычно не удается найти явное выражение в конечной форме.

Ниже приведены некоторые полезные соотношения для матрицы , которая является обобщенной обратной матрицей относительно матрицы  размера .

Обобщенное обращение транспонированной матрицы

                              (8.3.10)

Обобщенное обращение обобщенной обратной матрицы

                                       (8.3.11)

Сохранение ранга

                (8.3.12)

Обобщенное обращение произведения матриц

                (8.3.13)

                            (8.3.14)

где  и  — матрицы ранга , имеющие размеры  и  соответственно.

Обобщенное обращение произведения ортогональных матриц

                  (8.3.15)

где  и  - ортогональные матрицы размера  и  соответственно.