АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

— замещение различных функций «близкими» к ним, более удобными в пользовании функциями, принадлежащими к некоторому заданному семейству функций. В простейшем и основном по своему значению одномерном случае А. ф. речь идет о приближенном представлении заданной ф-ции с помощью выражения некоторого вида где компоненты параметрического вектора определяются из условия возможной малости уклонения от при или, как еще говорят, «расстояния» между ф-циями и , которые здесь предполагаются непрерывными на . Это требование получает определенный смысл при отождествлении с нормой разности: или, в более общем виде, взвешенной разности: где вес положителен при . В употребительных постановках задачи А. ф., а именно — при аппроксимации равномерной («чебышевской», или «предельно-степенной») и средней степенной за меру уклонения при принимают соответственно (норма равномерная либо средняя степенная):

Положив в или получим важнейшие случаи среднего квадратичного уклонения и «уклонения в среднем». Определив (если это возможно) значения, п, из условия минимума L (К) или величины интеграла в получим аппроксимирующую ф-цию , дающую теснейшее приближение по соот--ветствующей норме — ц-приближение при в классе ф-ций вида , т. е. решение соответствующей задачи а. Слово «теснейшее» перед чаще всего опускают, а под решением задачи а. по данной норме (задачи ) нередко понимают не само получаемое или , а определяющий его набор (параметрический вектор) К — точнее, Клибо соответственно.

С целью упрощения трактовки либо по причине ограниченности информации, рассматривают также дискретизованные видоизменения указанных задач , в которых непрерывная область замещается некоторой N точечной сеткой BN а а интеграл в (2) — соответственной суммой.

Чаще всего на практике применяют задачи а. с линейно входящими параметрами:

где ф-ции, линейно независимые на . В этом случае полиномиальной при и квазиполиномиальной при ином выборе всегда обеспечено существование решений реализующих точный минимум соответствующего уклонения. При нелинейном же вхождении параметров это не всегда имеет место. Заметим, что, в частности, при , независимо от существования или несуществования точного решения остаются принципиально применимыми итеративные методы (см. Аппроксимация функций равномерная) для

последовательного снижения, насколько практически возможно, величины Вопрос линейного или нелинейного вхождения параметров не следует смешивать с вопросом о линейной или нелинейной зависимости К от заданной ф-ции Если то, даже при а. типа (3) в общем случае К за исключением случая . С этим связана сравнительная простота прямого (без необходимости итераций) вычисл. построения п. типа (3) (см. Аппроксимация функции среднеквадратичная).

То, что должно существовать хотя бы одно решение К при вида (3), остается в силе и для многомерного варианта случая (3), когда вместо скалярного аргумента имеем точку пробегающую некоторую ограниченную замкнутую область в -мерном евклидовом пространстве При многозначности (неединственности) решения К мн-во является, во всяком случае, выпуклым, ограниченным и замкнутым. В случае нормы при решение К всегда единственно, что обеспечивается «строгой выпуклостью» нормы При или может иметь место единственность или множественность , что зависит от конкретного случая, т. е. при фиксированном виде и фиксированной и, существенным образом, от взятой При единственность решения или оказывается обеспеченной для произвольно взятой (непрерывной) f (х), когда система является «Т-системой», т. е. удовлетворяет на известному из теории равномерной А. ф. условию Хаара (в частности, случаи а. многочленами классическими тригонометрическими суммами или экспоненциальными суммами с заданными наперед множителями

Переходя к вопросам характеризации (т. е. критериям распознавания) ц - п. вида (3), для при вопрос единообразно разрешается, в алгебраической относительно форме, с помощью условия ортогональности на Отметим, что в терминах ортогональности формулируется еще при характеризация п. в среднем , когда последнее совпадает с не более как в конечном числе точек только здесь речь идет об ортогональности сигнум-функции Существенно по-иному формулируют теоремы характеризации для , а именно: в терминах чебышевского альтернанса для случая Т-систем и квазиальтернанса для случая нехааровских систем. Следует отметить, что в трактовке задач с теоремами характеризации тесно связаны критерии оценки прибл. решений дающие строгую верхнюю границу для

К задачам А. ф. с нелинейно входящими параметрами относятся классическая задача дробно-рациональной а. вида

общая задача экспоненциальной при нефиксируемых наперед и др. К виду (4) довольно близко примыкает а. посредством частного двух квазиполиномов, регулярно аналитических на

На практике в каждом конкретном случае постановки задачи а. для данной ф-ции приходится решать прежде всего вопрос о целесообразном выборе самого способа а., т. е. нормы и вида . Когда необходимо обеспечить достаточную малость отклонений во всех , предпочтение отдают норме (в указанном смысле также, несколько условно, наилучшими). Если же интересует малость суммарной оценке», тогда подойдет норма или Норма имеет принципиальное преимущество перед другими, когда значения самой ф-ции заданы с погрешностями, имеющими случайный характер. Учитывают также сравнительную простоту построения линейных которая, впрочем, утрачивается при нелинейном вхождении параметров в . Выбор нормы имеет особое преимущество при а. ф-ции заданной неявно в качестве решения краевой задачи ур-ния в частных производных эллиптического или параболического типа, при учете имеющей место теоремы о максимуме модуля.

Что касается выбора вида , то он должен быть пригодным для возможно точного воспроизведения поведения данной ф-ции при и удобным в пользовании для вычисления при подстановке индивидуальных значений либо для выполнения аналитических операций. Последним требованиям хорошо удовлетворяют многочлены Но для вычисл. применений (в частности, при составлении стандартных подпрограмм для ввода ф-ций в ЭЦВМ) не менее важны рациональнее дроби (4), обладающие большей гибкостью приспособления к в случаях, напр., аналитической имеющей полюс вблизи отрезка или непрерывной с графиком, включающим при скажем, угловую точку либо точку с вертикальной касательной, и др. Той же цели увеличения гибкости а. может подчас служить, при сохранении полиномиальной формы а., использование

ние замены переменного, с введением, напр., вместо х.

Лит.: Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.- Л., 1949 [библиогр. с. 679—686]; Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М., 1954 [библиогр. с. 321—325]; Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.- Л., 1964 {библиогр. с. 425—434]; Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965 [библиогр. с. 397—403]; Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения. К., 1969 [библиогр. с. 612—623]; Cheney Е. W. Introduction to approximation theory. New York, 1966; Meinardus G. Approximation von Funk-tionen und ihre numerische Behandlung. Berlin, 1967; Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Пер. с нем. М., 1969 [библиогр. с. 422—431]. Е. Я. Ремез, В. Т. Гавргигюк.