75. Формула Стирлинга.

Мы дадим в настоящем номере приближенное выражение при больших положительных значениях z. Предварительно выведем одну формулу, устанавливающую связь между суммою равноотстоящих значений некоторой функции и интегралом от этой функции.

Пусть функция, определенная при и имеющая непрерывную производную. Обозначая через и k — целые неотрицательные числа, причем можем написать

и, суммируя по k от до , получим

В раскрытом виде правая часть запишется так:

причем последнее слагаемое справа, очевидно, равно нулю. Если — некоторое целое неотрицательное число, меньшее , то в написанной сумме интегрирование по промежутку встретится раз, и мы можем записать формулу (155) в виде

где через мы обозначим целую часть положительного числа так что внутри промежутка Введем в рассмотрение функцию

которая представляет собою дробную часть числа х со знаком минус.

Рис. 65.

Если прибавить к единицу, то получат слагаемое единицу, а не изменится, т. е. имеет период, равный единице. Функция определена при но мы можем, конечно, распространить ее определение и на отрицательные значения по закону периодичности с периодом единица. Как известно [II, 154], величина интеграла от по любому промежутку длины единица не зависит от положения этого промежутка. Эта величина дает так называемое среднее значение нашей периодической функции. Внутри промежутка (0, 1) мы имеем и среднее значение будет

Построим новую функцию с периодом единица:

среднее значение которой равно нулю. График изображен на рис. 65. Подставим под знак интеграла в формуле (156) вместо его выражение из формулы (157):

Мы имеем, очевидно,

и, интегрируя по частям, получим

Подставляя это в (158), получим следующую формулу:

устанавливающую связь между суммой равноотстоящих значений функции и интегралом от этой функции.

Выберем функцию следующим образом:

где z — некоторое положительное число и значение логарифма берется вещественное. Подставляя в формулу (159) и производя квадратуру в правой части, получим

Подставим в эту формулу и полученную новую формулу почленно вычтем из предыдущей. Кроме того, из обеих частей полученного равенства вычтем . Таким образом, получим

При стремлении к бесконечности первые два слагаемых правой части стремятся к нулю, а третье слагаемое имеет предел

Мы можем, таким образом, написать

или

Принимая во внимание, что среднее значение равно нулю, можно утверждать, что функция

есть непрерывная периодическая функция с периодом единица и . Эта функция тем самым ограничена. Отметим, что отсюда следует, что оба интеграла, входящие в формулу (160), сходятся [II, 86].

Если , то и формула (157) дает

откуда непосредственно следует

Производя интегрирование по частям, получим

причем внеинтегральный член при обращается в нуль.

Эти рассуждения показывают, между прочим, что упомянутые интегралы имеют смысл. Вводя вместо новую переменную интегрирования t по формуле получим

Мы имеем, далее, в силу (162)

Введем для краткости некоторое обозначение, которым мы будем часто пользоваться ниже. Пусть функции, определенные при всех достаточно больших z, и отношение остается ограниченным при . Этот факт мы будем записывать в виде

Предыдущее утверждение об интеграле (163) запишется при этом в виде

и формула (160) — в виде

или

где

и через С мы обозначили постоянную

Займемся теперь определением значения этой постоянной. Для этого воспользуемся так называемой формулой Валлиса, выражающей у в виде предела некоторой дроби:

Чтобы не прерывать изложения, докажем эту формулу в конце настоящего номера.

Мы можем переписать формулу (168) в виде

откуда, логарифмируя и принимая во внимание, что при целом положительном , получим

Пользуясь формулой (165), можем переписать это равенство в виде

или

или

Первое слагаемое в фигурных скобках стремится к а второе к так что получаем равенство

откуда . Подставляя в формулу (165), получаем формулу Стирлинга:

или, потенцируя,

где множитель стремится к единице при беспредельном возрастании . Если z равно целому положительному числу , то, умножая обе части равенства на получим

где при возрастании .

Как мы знаем, функция не имеет корней и есть однозначная регулярная функция на плоскости с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси. Если выделить этот разрез сколь угодно малым сектором с вершиной в начале, то к оставшейся части плоскости применима формула (169). Это утверждение можно доказать совершенно так же, как выше была доказана формула (169) при . При этом мы должны на упомянутой выше плоскости с разрезом брать те значения которые имеют вещественные значения при

Формула Валлиса. Докажем теперь формулу Валлиса, которой мы пользовались выше. Мы имели раньше [I, 100] следующие формулы:

Принимая во внимание, что при увеличении степень уменьшается, можем написать

т. е.

откуда следует, если заменить k на :

Обозначая

можно написать

При стоящая слева, стремится к единице, и, следовательно,

что и дает формулу Валлиса.