§ 4. Комплексные числа

44. Понятие о комплексном числе.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания — к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней неположительных чисел — к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня

из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении иовых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому действительному числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа) и, обратно, каждая точка координатной прямой соответствует одному действительному числу. Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е., выражаясь фигурально, «на ней нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако каждую точку М координатной плоскости можно отождествить с координатами этой точки. Поэтому естественно в качестве новых чисел — их называют комплексными — ввести упорядоченные пары действительных чисел (упорядоченные в том смысле, что и (b; а) — разные точки, а значит, и разные числа).

Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел а и b.

Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда

45. Арифметические операции над комплексными числами.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число

Например,

Комплексным нулем считают пару (0; 0). Числом, противоположным числу считают число обозначают его

Разностью комплексных чисел z и w называют, как обычно, такое число и, что Разность всегда существует и единственна. В самом деле, пусть Тогда Это значит, что откуда находим

Таким образом, получаем следующее правило вычитания комплексных чисел:

Например,

Произведением комплексных чисел называется комплексное число

Например, если то

Арифметические операции над комплексными числами обладают теми же свойствами, что арифметические операции над действительными числами (см. п. 29).

Пусть Существует, и только одно, комплексное число такое, что Это число и называют, как обычно, частным от деления z на

Имеем Так как то должны выполняться равенства

Из этой системы двух уравнений с двумя переменными находим (см. п.

Получили следующее правило деления комплексных чисел: если то

Например,

46. Алгебраическая форма комплексного числа.

Используя введенные в п. 45 определения сложения и умножения комплексных чисел, легко получить следующие равенства:

Условимся вместо писать просто а, а комплексное число (0; 1) обозначать буквой i и называть мнимой единицей. Тогда равенство (1) принимает вид , т. е.

а равенство (2) — вид

Запись называется алгебраической формой комплексного числа при этом число а называется действительной частью комплексного числа z, а его мнимой частью.

Например,

Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом , т. е. число имеет вид то оно называется чисто мнимым; наконец, если у комплексного числа мнимая часть равна нулю, то получается действительное число а.

Алгебраическая форма существенно облегчает выполнение арифметических операций над комплексными числами.

1) Сложение. Мы знаем, что

Выполнив сложение тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, находим:

Сравнивая равенства (7) и (8), замечаем, что получился верный результат.

2) Вычитание. Мы знаем, что

Выполнив теперь вычитание тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, находим:

Сравнивая равенства (9) и (10), замечаем, что получился верный результат.

3) Умножение. Мы знаем, что

Выполнив теперь умножение тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, имеем:

Воспользуемся тем, что равенство ; тогда . В результате находим:

Сравнивая равенства (11) и (12), замечаем, что получился верный результат.

4) Деление. Мы знаем, что если , то

Выполним теперь деление тех же чисел в алгебраической форме, считая обычными двучленами, а

обычной дробью. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на (предполагая, что значение дроби от этого не изменится), находим:

Итак,

Сравнивая равенства (13) и (14), замечаем, что получился верный результат.

Подводя итоги, приходим к следующему важному практическому выводу: над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что . Чтобы преобразовать в комплексное число дробь вида нужно и числитель, и знаменатель дроби умножить на число числа называются комплексно-сопряженными.

Пример 1. Вычислить

Решение. Применив формулу получим:

Пример 2. Вычислить

Решение. .

Пример 3. Найти действительные числа х и у, такие, что выполняется равенство .

Решение. Имеем . Тогда заданное равенство можно переписать в виде .

Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях то приходим к системе уравнений

из которой находим

Пример 4. Найти комплексные числа , удовлетворяющие равенству

Решение. Будем искать комплексное число z в виде Имеем:

Из последнего равенства следует, что

Эта система имеет два решения (2; 3) и Значит,

Пример 5. Вычислить

Решение. Имеем (см. п. 58)

Значит,

Далее, имеем

Значит,

47. Отыскание комплексных корней уравнений.

Пусть Так как то Тем самым мы получаем возможность извлекать квадратные корни из отрицательных действительных чисел. Это позволяет находить не только действительные, и мнимые кории уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Имеем (см. п. 137) Итак,

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Имеем Значит, либо откуда находим либо откуда находим Итак,