§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем сначала следующую теорему, очень важную для всей теории степенных рядов.

Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится при некотором значении не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении для которого если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком для которого

Доказательство. 1) Так как по предположению числовой ряд

сходится, то его общий член при , а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М.

Перепишем ряд (1) в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.

Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5), то ряд (4) тоже сходится, а это и значит, что ряд (3) или (1) сходится абсолютно.

2) Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке ряд (1) расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке к, удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке так как . Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке Таким образом, теорема полностью доказана.

Рис. 365.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки состоят из точек расходимости.

Из этого можно заключить, что существует такое число R, что при мы имеем точки абсолютной сходимости и при точки расходимости. Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда:

Теорема 2. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение 2. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от до что для всякой точки лежащей Внутри этого интервала, сходится и прнтомбсолютно, а для точек лежащих вне его, ряд расходится (рис. 365). Число называют, радиусом сходимости степенного ряда.

На концах интервала (т. е. при x = R и при ) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось

Укажем, - способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть имеем ряд

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Для определения сходимости последнего ряда; (с положительными членами!) применим признак Даламбера.

Допустим, что существует предел

Тогда по признаку Даламбера ряд (6) сходится, если т. е. если и расходится, если , т. е. если

Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно при Если же , то и ряд (6) расходится;

причем его общий член не стремится к нулю. Но тогда и общий член данного степенного ряда (1) не стремится к нулю, а это значит на основании необходимого признака сходимости, что этот степенной ряд расходится предыдущего следует, что интервал есть интервал сходимости степенного ряда (1), т. е.

Аналогичным образом для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, и тогда

Пример I. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применяя непосредственно признак Даламбера, получаем

Следовательно, ряд сходится при и расходится при . На границах же интервала исследование ряда с помощью признака Даламбера невозможно. Однако непосредственно видно, что при и при ряд расходится.

Пример 2. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применяем признак Даламбера

Ряд сходится, если , т. е. если при ряд сходится; при ряд расходится.

Пример 3. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применяя признак Даламбера, получим

Так как предел не зависит от и меньше единицы, то, значит, ряд сходится при всех значениях

расходится при всех значениях кроме так как при каково бы ни было отличное от нуля.

Теорема 3. Степенной ряд

мажорируем на любом отрезке , целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Рис. 366.,

Доказательство. По условию а потому числовой ряд (с положительными членами)

сходится. Но при члены ряда (1) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда (7). Следовательно, ряд (1) мажорируем на отрезке .

Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимостик сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Действительно, на этом отрезке ряд мажорируем, а члены его являются непрерывными функциями от Следовательно, на основании теоремы 1 § 11 сумма этого ряда есть непрерывная функция.

Следствие 2. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда, так как область интегрирование можно заключить в отрезок , где ряд мажорируем (рис. 367) (см. теорему 1 § 12 о возможности почленного интегрирования мажорируемого ряда).

Рис. 367