§ 8. Другие приемы преобразования случайных чисел

Рассмотрим некоторые приемы преобразования случайных чисел, не связанные непосредственно с решением уравнения (2.8).

Первый из них состоит в том, что из равномерной совокупности отбираются случайные числа, удовлетворяющие некоторому условию, таким образохм, чтобы

отобранные числа подчинялись заданному закону распределения.

Предположим, что необходимо получить последовательность случайных чисел имеющих функцию плотности Если область определения функции неограничена с одной или обеих сторон, необходимо перейти к соответствующему усеченному распределению. Пусть область возможных значений для усеченного распределения будет

От случайной величины соответствующей функции плотности , перейдем к

Случайная величина как легко проверить, будет иметь область возможных значений (0, 1) и функцию плотности задаваемую выражением

Пусть максимальное значение равно Изменением масштаба на оси приведем интервал к длине, равной единице.

Тогда

Рассмотрим единичный квадрат (рис. 4).

Зададим равномерные распределения в интервалах случайных чисел на оси и на оси

Так как вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый интервал пропорциональна , то к совокупности случайных чисел имеющих плотность вероятности причисляем лишь те числа для которых справедливо неравенство

или

Рис. 4.

Процедура получения последовательности случайных чисел, имеющих функцию плотности состоит в следующем:

1) из исходной совокупности выбираются пары случайных чисел 2) для этих чисел проверяется справедливость неравенства (2.28); 3) если неравенство (2.28) выполнено, очередное число определяется из соотношения

Легко видеть, что случайные числа X) будут иметь функцию плотности

Заметим, что описанная процедура отбора случайных чисел может потребовать значительного количества операций для своей машинной реализации, особенно за счет вычисления правой части неравенства (2.28).

Если для преобразования случайных чисел таким способом используются случайные числа с квазиравномерным распределением в интервале (0, 1), появляются погрешности, вызываемые дискретностью исходной сово купности. Ошибка в вероятности неравенства (2.28)

всегда отрицательна и имеет (в случае оперирования с -разрядными случайными числами) максимальное значение, равное

Другая группа приемов преобразования случайных чисел основывается на приближенном воспроизведении условий, при которых оказываются справедливыми соответствующие предельные теоремы.

Например, пусть требуется получить последовательность случайных чисел имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением

Здесь можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей и построить случайные числа в виде сумм последовательных случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1).

Так как исходным материалом для суммирования служат случайные числа, имеющие равномерное распределение в интервале (0, 1), мы можем воспользоваться центральной предельной теоремой для одинаково распределенных случайных величин: если независимые случайные величины имеют все одно и то же распределение вероятностей и если каждое имеет математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение то сумма

асимптотически нормальна с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением

Как показывают расчеты, сумма имеет распределение, близкое к нормальному, уже при сравнительно небольших Практически, для получения последовательности нормально распределенных случайных чисел можно пользоваться значениями равными а в простейших случаях и меньшими значениями например 4 5.

Как известно, математическое ожидание для случайных величин, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1), равно 0,5, а среднее квадратическое отклонение Поэтому сумма слагаемых будет иметь математическое ожидание

и среднее квадратическое отклонение

Если при формировании последовательности нормально распределенных случайных чисел используются числа с квазиравномерным распределением, то имеют место особенности, вызванные дискретностью совокупности. Как известно, случайная величина с квазиравномерным распределением в интервале (0, 1) имеет математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

В этом случае соотношения (2.32) и (2.33) имеют вид

Выражение (2.34) необходимо принимать во внимание тогда, когда для решения задач используются малоразрядные случайные числа.

Для обеспечения достаточно точного совпадения закона распределения суммы (2.31) с нормальным, очевидно, требуется увеличивать число слагаемых Однако это не единственно возможный путь.

Как показано в работе [1], для улучшения асимптотической нормальности случайных чисел можно воспользоваться специальными преобразованиями.

Так, если — нормированная сумма

случайных величин имеющих равномерное распределение в интервале то величина

будет иметь распределение, достаточно близкое к нормальному, при существенно меньших, чем это требуется для (2.35). По данным [1], при закон распределения случайной величины оказывается заведомо близким к нормальному.

Еще более точным в этом смысле является преобразование

для которого, по-видимому, достаточно иметь

Практическое использование преобразований вида (2.36) и (2.37) может оказаться весьма полезным при решении многих задач.

Окончательное мнение о целесообразности выбора определенного значения и использования того или другого преобразования может сложиться лишь в результате оценки затрат рабочего времени электронной цифровой вычислительной машины при решении данного класса задач.

В качестве второго примера использования предельных теорем рассмотрим получение случайных чисел, имеющих закон распределения Пуассона

с математическим ожиданием а.

Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона: если вероятность наступления события при одном испытании, то вероятность наступления событий при независимых испытаниях при асимптотически равна (2.38).

Выберем достаточно большое такое, чтобы

оказалось меньшим единицы. Будем проводить серии по независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью и подсчитывать число случаев фактического наступления события А в серии с номером Числа будут приближенно следовать закону Пуассона, причем тем точнее, чем больше

Практически должно выбираться таким образом, чтобы было не более 0,1 0,2.

Машинная процедура получения последовательности случайных чисел состоит в следующем.

Из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) выбирается число и сравнивается с Если к содержимому специальной ячейки (которая носит название «счетчик числа событий») прибавляется единица, а если — прибавляется нуль.

После проведения такого рода испытаний содержимое счетчика числа событий считывается и используется в качестве случайного числа с законом распределения Пуассона.

Особенности выработки случайных чисел связанные с использованием для этой цели случайных чисел с квазиравномерным распределением, могут быть учтены по аналогии с (2.5).

Рассмотренные здесь примеры иллюстрируют существо наиболее распространенных приемов формирования последовательности случайных чисел с заданным законом распределения при решении задач методом статистических испытаний на электронных цифровых вычислительных машинах.