§ 7. Преобразование случайных чисел при помощи кусочной аппроксимации законов распределения

Достаточно удобными и универсальными можно считать приближенные приемы преобразования случайных чисел, основанные на кусочной аппроксимации функции плотности.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел с функцией плотности Если область определения случайной величины , задаваемой функцией плотности неограничена, переходим к соответствующему усеченному распределению в интервале (с, d). Далее разбиваем (с, d) на интервалов. Тогда случайная величина может быть представлена в виде суммы

где абсцисса левой границы интервала, случайная величина, возможные значения которой располагаются внутри этого интервала.

Можно показать, что функция плотности случайной величины имеет вид

Функции в общем случае для каждого интервала различны.

Машинная процедура рассматриваемого вида преобразования случайных чисел сводится к следующему:

1) случайная выборка интервала из возможных интервалов (определение значения

2) случайная выборка чисел распределенного в интервале с номером

3) формирование случайного числа в соответствии с соотношением (2.15).

Наиболее удобным из этого класса приемов является случай, когда вероятности выхода для всех интервалов принимаются одинаковыми.

Рассмотрим этот случай более детально.

Зададим количество интервалов, которое назначается из условия обеспечения требуемой точности преобразования случайных чисел.

Это число удобно выбирать таким, чтобы где — количество двоичных разрядов случайных чисел исходной квазиравномерной совокупности.

В оперативной памяти машины помещается таблица содержащая для каждого значения параметра и, в общем случае, некоторых вероятностных характеристик величины Существенно, чтобы в таблице располагались в порядке возрастания.

Для получения случайного числа преобразованной совокупности выбираем пару чисел из исходной квазиравномерной, совокупности. Первые разрядов числа используются в качестве адреса для выборки из таблицы значений параметра и других имеющихся там характеристик. Очередное искомое случайное число преобразованной

совокупности определяется как

Вид функции зависит от аппроксимирующего выражения, которое используется на данном интервале.

Перейдем к рассмотрению способа определения величин, содержащихся в таблице и функции Функция плотности будет равна, очевидно,

На интервале небольшой длины ее можно достаточно точно аппроксимировать функцией, например для которой интеграл (2.8) берется, и получается простое выражение через

Рис. 3.

Поскольку мы предполагаем, что вероятность выхода любого интервала равна — то

Равенство (2.19) может служить рекуррентным соотношением для определения величин

Обратимся к наиболее употребительным частным случаям.

Пусть (рис. 3). Это значит, что случайные величины распределены равномерно в интервалах

Значения кусочно постоянной функции в интервалах удовлетворяют, очевидно, соотношению

Поскольку расчет параметров производится не в процессе преобразования случайных чисел, а относится к подготовительной работе, объем вычислений здесь особого значения не имеет.

Легко видеть, что

Преобразование случайных чисел в этом случае является достаточно простым и требует весьма малого количества операций машины. Таблица содержит только значений

Когда требуется обеспечить особенно высокую точность преобразования случайных чисел, могут оказаться полезными также и другие аппроксимирующие выражения

Пусть будет линейной функцией на интервале . С точки зрения простоты преобразования случайных чисел и обеспечения необходимой точности аппроксимации функции удобно выбрать угловой коэффициент прямой равным

где

а среднюю линию трапеции из условия (2.20). Тогда

где

Соотношение (2.8) имеет вид

Поэтому

Таблица должна содержать значения Более простое выражение для получается при

(см. (2.14) в предыдущем параграфе).

Выбор параметров этой функции может быть осуществлен, исходя из двух условий: 1) совпадение в некоторой точке, 2) площадь

Таблица должна содержать

Рассматриваемые приемы преобразования случайных чисел особенно удобны тогда, когда число может быть выбрано сравнительно небольшим (например, не более чем 16, 32 или 64).

Заметим, что количество операций, затрачиваемых на преобразование случайных чисел, не зависит от количества интервалов (т. е. не зависит от точности аппроксимации закона распределения). Точность аппроксимации определяет только объем таблиц

Недостатком такого рода приемов преобразования случайных чисел является то обстоятельство, что точность аппроксимации функции не одинакова во всей области определения Она зависит от величины ординаты при малых точность аппроксимации убывает. Поэтому приходится выбирать число интервалов с учетом обеспечения заданной точности на интервалах с наименьшими значениями

Иногда оказывается целесообразным использовать таблицы соответствующие весьма большим значениям например 1024, 2048 и более. При этом

интервалы настолько уменьшаются (особенно в области больших значений что практически случайные числа в пределах каждого интервала становятся неразличимыми в силу ограниченной разрядности.

Тогда имеет смысл рассматривать в качестве возможных случайных чисел величины Часто для приближенных расчетов такой путь практически оправдан и при меньших значениях так как в этом случае значительно сокращается количество операций на преобразование случайных чисел. Легко видеть, что таблица играет роль таблицы случайных чисел с законом распределения Случайные адреса имеющие квазиравномерное распределение, служат для перемешивания этой таблицы и выдачи чисел в случайном порядке.

Использование таблиц для больших значений при расчетах на современных электронных цифровых вычислительных машинах особенно удобным оказывается в том случае, когда для таблиц предоставляются специальные запоминающие устройства. Эти дополнительные запоминающие устройства должны обладать способностью быстрой выдачи чисел (в каждый такт работы машины), однако запись чисел может осуществляться заранее и быть долговременной.

Специальные таблицы помещаемые в дополнительные запоминающие устройства, имеет смысл применять лишь для наиболее широко используемых распределений (нормального, показательного и др.).

Заметим, что способ преобразования случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации закона распределения, дает несовпадающих чисел при разрядности квазиравномерных чисел, равной