Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ§ 20. Применение метода Монте-Карло для решения краевых задачБольшое число прикладных вопросов приводит к необходимости решения краевых задач для уравнений математической физики. Наиболее типичным примером является решение задачи Дирихле (первая краевая задача) для двумерного и трехмерного уравнения Лапласа Обычно решение во многих случаях даже этой простейшей задачи является весьма трудоемким. Это связано в первую очередь с тем, что часто приходится использовать итерационные способы (если невыгодно применять так называемый метод прогонки или факторизации). При итерационных способах решения нужно многократно использовать значения неизвестной функции и во всех узлах решетки. Так как количество узлов обычно очень велико, то это вызывает трудности при хранении значений функции и в оперативной памяти машины и требует большого количества обращений к внешней памяти. Таким образом, происходит большая потеря машинного времени. Время решения этой задачи является важной характеристикой универсальных цифровых вычислительных машин высокой производительности. Поэтому решение вадачи Дирихле для уравнения Лапласа часто входит в программу испытаний новых универсальных вычислительных машин. Существен при этом тот факт, что увеличение размерности (числа независимых переменных) влечет за собой экспоненциальное увеличение количества узлов решетки. Таким образом, переход к многомерным задачам очень быстро выводит за пределы возможностей машинной памяти (оперативной и внешней) современных универсальных цифровых машин. Все эти соображения указывают, что разработка других методов решения краевых задач, свободных от указанных недостатков, является очень существенной. Надо сказать, что связь между решением краевых задач и вероятностными процессами была уже давно отмечена в работе И. Г. Петровского [34]. Однако реальное использование этой связи для практического решения краевых задач (а не для исследования свойств случайных процессов) стало возможным лишь в связи с развитием современной вычислительной техники. Перейдем теперь к рассмотрению указанной связи между краевыми задачами и моделированием случайных процессов. Для пояснения основной идеи достаточно рассмотреть задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Пусть имеется некоторая область, и на ее границе Г задана некоторая функция
и на границе Г области принимает заданные значения
где Обычно эту задачу сводят к некоторой конечноразностной задаче. В этом случае нужно поступить следующим образом: задавшись некоторым числом внутренними; узлы, для которых число соседних внутренних узлов меньше четырех, называются граничными (рис. 7). Значения функции и, заданные на контуре области Г, переносятся с этого контура в граничные узлы по специальным правилам.
Рис. 7. В граничных узлах, следовательно, функция и принимает заданные значения:
Во внутренних узлах мы ищем значения функции
Здесь Эту схему принято рассказывать в виде так называемой «задачи о пьяных». Будем рассматривать стороны решетки как городские кварталы, а узлы — как перекрестки городских улиц. Предположим, что из узла Р выходит «пьяный», который с равной вероятностью (а именно, равной Можно утверждать, что с вероятностью, равной единице, «пьяный» в конце концов окажется на границе города. Найти искомую вероятность в явном виде сложно, однако нетрудно вывести соотношение для вероятности. Заметим, что событие, заключающееся в том, что «пьяный» попадет из точки
Таким образом, мы пришли к конечноразностному уравнению (5.1), связывающему вероятности. Кроме того, вероятность
где Известно, что существует единственная функция, удовлетворяющая уравнениям (5.1) при данных краевых условиях. Если промоделировать блуждание «пьяного»
Таким образом получим приближенное решение уравнения (5.2) с краевыми условиями (5.3). Чтобы решить задачу Дирихле с общими краевыми условиями, нужно немного обобщить нашу вероятностную схему. Именно, предложим дополнительно, что после того как «пьяный» сваливается в ров в граничном узле Величина штрафа может принимать значения
где Значит, математическое ожидание штрафа определяется так:
Ясно, что величина Эта функция удовлетворяет разностному уравнению
Действительно, подставив в Для граничных узлов В самом деле, если подставить
Таким образом, найденная функция Посмотрим, от чего зависит время решения рассматриваемой задачи. Пусть узел
Обозначим текущие координаты «пьяного» через В процессе решения надо всегда помнить величины Схема решения задачи Дирихле, естественно, описывается в терминах марковских цепей, если отождествить состояния системы
|
1 |
Оглавление
|