ГЛАВА II. ФОРМИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ В ПРОСТЕЙШИХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СХЕМАХ

§ 5. Моделирование испытаний в схеме случайных событий

При использовании метода статистических испытаний часто приходится сталкиваться с формированием реализаций случайных объектов в различных элементарных вероятностных схемах. Сюда в первую очередь относятся: моделирование независимых и зависимых испытаний в схеме случайных событий, выработка последовательностей случайных чисел с заданными законами распределения, формирование реализаций случайных векторов и случайных процессов, обладающих заданными вероятностными характеристиками и т. д.

Как было упомянуто выше, в качестве исходных случайных элементов для этой цели удобно использовать случайные числа с равномерным распределением в интервале (0, 1).

Однако при реализации метода статистических испытаний на электронных цифровых вычислительных машинах мы, строго говоря, не имеем возможности оперировать случайными числами с равномерным распределением.

Реально приходится иметь дело с дискретной совокупностью случайных чисел, которая выше была названа квазиравномерной. Специфика, вносимая дискретностью исходной совокупности случайных чисел, должна приниматься во внимание, особенно при использовании малоразрядных случайных чисел.

Перейдем к рассмотрению наиболее употребительных способов формирования реализаций упомянутых случайных объектов. В частности, в настоящем параграфе рассмотрим простейшие примеры, относящиеся к схеме случайных событий.

Пусть — полная группа событий, наступающих с вероятностями и — случайная величина, имеющая равномерное распределение в интервале (0, 1). Посмотрим, как с помощью случайной величины моделировать независимые испытания, возможными исходами которых будут события Для этого определим событие как событие, состоящее в том, что выбранное значение случайной величины I удовлетворяет неравенству

где

Легко видеть, что вероятность события равна

или

Процедура моделирования испытаний рассматриваемого вида состоит в последовательном выборе значений и сравнении их с величинами Событие оказывается исходом испытания в том случае, когда выполняется условие (2.1).

Эту процедуру часто называют определением результатов испытаний по жребию в соответствии с вероятностями Однако если для реализации такой процедуры на электронных цифровых вычислительных машинах используются случайные числа имеющие квазиравномерное распределение в интервале (0, 1). соотношение (2.2) в общем случае оказывается несправедливым.

Рассмотрим это обстоятельство несколько более подробно.

Пусть в нашем распоряжении находятся -разрядные случайные числа

которые выбираются с вероятностями

Для любой пары можно найти такие целые неотрицательные числа при которых

Тогда вероятность неравенства (2.1) можно записать в виде

Учитывая, что

на основании (2.3) можно получить оценку для вероятности

Из соотношения (2.5) следует, что ошибка в вероятности события вызываемая дискретностью используемой совокупности случайных чисел, по абсолютной величине не превышает Заметим также, что центр области возможных ошибок смещен влево относительно на величину

Для уменьшения влияния ошибок, вызываемых дискретностью исходной совокупности случайных чисел, можно использовать два пути: 1) увеличение разрядности случайных чисел и 2) усложнение процедуры моделирования испытаний. Первый из них рассмотрен

в предыдущей главе, поэтому здесь на нем останавливаться не будем. Обратимся к краткому рассмотрению второго.

Часто бывает удобно с этой целью использовать комбинации событий, получающиеся при повторении испытаний. Пусть выход случайного числа определяет собой наступление события

При выполнении испытаний появляются комбинации событий (событие наступает раз, событие раз, событие раз), вероятности которых

представляют собой коэффициенты при в разложении полинома где

Полученную совокупность комбинаций событий В) можно разделить на классов таким образом, чтобы вероятности по возможности более точно совпадали с рт. Будем считать, что событие происходит в том случае, когда при испытаниях появляется хотя бы одна из комбинаций событий принадлежащая классу Ат.

Процедура моделирования такого рода испытаний состоит в следующем. В оперативной памяти машины отводится 2 ячеек (с адресами ) для фиксации промежуточных результатов моделирования.

Проводим испытания, каждое из которых состоит в извлечении случайного числа Если в испытании появилось число то к содержимому ячейки с адресом прибавляется единица. В результате испытаний в отведенных ячейках накапливается индекс одной из комбинаций событий

Полученный индекс сравнивается с индексами всевозможных комбинаций событий и устанавливается принадлежность комбинации к одному из классов

Более компактной реализации рассмотренной схемы и более высокой точности можно иногда добиться, используя прием, основанный на объединении событий перед каждым испытанием в классы Если в испытании с номером вероятности событий равны то вероятности комбинаций событий, появляющихся при испытаниях, соответствуют производящему полиному

Заметим, что усложнение схемы испытаний, по сравнению с проверкой справедливости неравенств вида (2.1), приводит обычно к существенному увеличению количества машинных операций, необходимых для ее реализации.

Перейдем к рассмотрению примера схемы зависимых испытаний. Будем считать, что в нашем распоряжении опять находится последовательность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0,1). Соображения, связанные с влиянием дискретности квазиравномерной совокупности остаются аналогичными тем, которые излагались выше.

Рассмотрим простую однородную цепь Маркова с матрицей перехода

и событиями в качестве возможных исходов испытаний.

Для получения реализаций данной цепи Маркова можно использовать следующую процедуру, состоящую из последовательных выборов событий по жребию в соответствии с вероятностями (элементами матрицы перехода). Из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) выберем очередное число Последовательными сравнениями

с где в качестве вероятностей используются определяем номер для которого справедливо условие (2.1). Тогда первым событием данной реализации будет событие Выбираем следующее случайное число Последовательными сравнениями с (в качестве используются теперь вероятности определяется номер Вторым событием реализации будет событие Диалогичным образом продолжаем поступать и далее, имея в виду, что каждый номер определяет собой как очередное событие так и распределение вероятностей для выбора последующего номера

Предложенную процедуру легко обобщить и на те случаи, когда схема зависимых испытаний имеет более сложный вид, например, на случай неоднородной цепи Маркова и т. д.

Этими примерами мы и ограничим рассмотрение приемов формирования реализаций в схеме случайных событий.