§ 13. Вычисление многократных интегралов

Выше были изложены принципиальные вопросы, обосновывающие возможность применения некоторых конкретных приемов для вычисления интегралов методом статистических испытаний. В настоящем параграфе рассматриваются особенности этих приемов с точки зрения целесообразности их практического использования для вычисления многократных интегралов.

В качестве основы для дальнейших рассуждений возьмем следующие два класса приемов:

А. Приемы, связанные с вычислением частоты попадания случайной величины в заданный интервал: 1) прием, основанный на проверке справедливости неравенства вида (3.4) для вычисления интеграла (3.1); 2) прием, основанный на проверке справедливости неравенства вида (3.14) для вычисления интеграла (3.11).

Б. Приемы, связанные с вычислением среднего значения функции от случайной величины: 3) непосредственное вычисление среднего значения в связи с интегралом вида (3.18); 4) вычисление среднего значения с преобразованием подынтегральной функции к виду (3.32).

Для использования 1-го и 3-го приемов необходимо иметь случайные числа с заданным законом распределения причем в последнем случае область интегрирования должна совпадать с областью определения Применение 2-го и 4-го приемов сводится к оперированию только со случайными числами, имеющими равномерное распределение. Эти особенности и определяют целесообразность использования упомянутых приемов для решения различных задач, связанных с вычислением многократных интегралов.

Приемы 1-й и 3-й оказываются весьма эффективными при вычислении сравнительно узкого класса вероятностных интегралов, для которых имеются экономные способы формирования последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения (например, нормальным, показательным, законом Пуассона и т. д.). Приемы 2-й и 4-й имеют заведомо более широкую сферу применения.

В качестве примера специального вероятностного интеграла рассмотрим одну из основных задач классической теории стрельбы: вычисление вероятности хотя бы одного попадания в цель в так называемой «схеме повторяющихся и неповторяющихся ошибок».

Пусть ошибки стрельбы имеют нормальное распределение

со следующими параметрами:

— для «неповторяющихся» ошибок (технического рассеивания) орудия;

- для «повторяющихся» ошибок орудия;

— для «повторяющихся» ошибок батареи;

— для «повторяющихся» ошибок группы батарей.

Тогда вероятность хотя бы одного попадания в плоскую прямоугольную цель глубиной фронтом 26 при стрельбе батареями, по орудий в каждой, с расходом снарядов на орудие, обычно выражается интегралом

где

Простейшая процедура вычисления интеграла (3.35) состоит в непосредственном -кратном моделировании процесса стрельбы и соответствующей обработке результатов моделирования.

Будем считать, что в нашем распоряжении находятся независимые случайные числа, имеющие нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Умножением каждого из них на величину или можно получить случайную ошибку соответствующей группы.

Каждое из независимых испытаний сводится к следующему. Выбираем три пары чисел . В соответствии с (3.36) вычисляем Затем выбираем пар чисел и для каждой из них проверяем справедливость неравенств

После того как неравенства (3.37) первый раз окажутся совместно выполненными, вычисления прекращаются, и данное испытание признается удачным.

Если после проверки всех пар чисел совместное выполнение неравенств (3.37) не имело места, переходим к «стрельбе» следующего орудия. Для этого выбираем пару чисел и вычисляем новые значения в соответствии с (3.36)

Затем снова выбираем пар чисел и проверяем совместное выполнение неравенств (3.37) при значениях Испробовав таким образом орудий, переходим

к «стрельбе» следующей батареи. В этом случае в выражениях (3.36) остаются фиксированными только числа а все остальные изменяются. Аналогично проводятся «стрельбы» всех батарей. На этом первое испытание можно считать законченным. Переходя ко второму испытанию, выбираем новые значения . В дальнейшем второе испытание проводится так же, как и первое.

Каждое испытание продолжается только до тех пор, пока неравенства (3.37) окажутся первый раз совместно выполненными. После проведения испытаний подсчитывается приближенное значение как

где М — количество удачных испытаний.

Описанная процедура вычисления интеграла (3.35) является применением 1-го из упомянутых выше приемов метода статистических испытаний. Очевидно, что более экономной (с точки зрения количества выполняемых операций) была бы процедура, основанная на совместном применении 1-го и 3-го приемов: 1-го — для вычисления условной вероятности попадания в цель при фиксированном значении ошибок стрельбы, а 3-го — для вычисления полной вероятности (среднего значения вероятности) попадания в цель. Построение схемы такой процедуры предоставляется читателю.

Перейдем к рассмотрению 2-го и 4-го приемов в применении к вычислению многократных интегралов методом статистических испытаний.

Пусть требуется вычислить интеграл

по ограниченной замкнутой области Если

то заменой переменных, аналогичной (3.16),

можно привести интеграл (3.38) к виду

где

и область интегрирования содержится внутри -мерного единичного куба.

Используем второй из упомянутых выше приемов метода статистических испытаний для вычисления интеграла (3.40).

Изменением масштаба по оси приведем интеграл (3.40) к виду

где — наименьшее, наибольшее значение

и функция удовлетворяет неравенству

Интеграл (3.41) можно рассматривать как объем тела V в -мерном пространстве

Проведем испытаний, состоящих в следующем. Выберем совокупность случайных чисел

имеющих равномерное распределение в интервале (0,1). Проверим принадлежность точки к объему V. Если это условие выполнено, испытание будем считать

удачным. После проведения N испытаний приближенное значение интеграла (3.41) получим в виде

где — число удачных испытаний.

Обратимся к проверке принадлежности точки R объему V.

Пусть сначала область интегрирования со совпадает с единичным -мерным кубом. Тогда точка R принадлежит объему V, если справедливо неравенство, аналогичное (3.14),

В более общем случае для этой цели необходимо совместное выполнение неравенств вида

Если предполагается использовать 4-й из упомянутых выше приемов для вычисления интеграла (3.40), поступаем следующим образом. Выбираем последовательных чисел

имеющих равномерное распределение в интервале (0,1), и проверяем принадлежность точки R области . Если точка не принадлежит области , она отбрасывается.

После проведения количества испытаний, при котором получится N точек принадлежащих области , вычисляется среднее значение функции

Тогда приближенное значение интеграла (3.40) будет равно

где — объем области .

Рассмотренными случаями не исчерпываются всевозможные способы вычисления многократных интегралов методом статистических испытаний. Мы указали на наиболее типичные из них.