Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 13. Вычисление многократных интеграловВыше были изложены принципиальные вопросы, обосновывающие возможность применения некоторых конкретных приемов для вычисления интегралов методом статистических испытаний. В настоящем параграфе рассматриваются особенности этих приемов с точки зрения целесообразности их практического использования для вычисления многократных интегралов. В качестве основы для дальнейших рассуждений возьмем следующие два класса приемов: А. Приемы, связанные с вычислением частоты попадания случайной величины в заданный интервал: 1) прием, основанный на проверке справедливости неравенства вида (3.4) для вычисления интеграла (3.1); 2) прием, основанный на проверке справедливости неравенства вида (3.14) для вычисления интеграла (3.11). Б. Приемы, связанные с вычислением среднего значения функции от случайной величины: 3) непосредственное вычисление среднего значения в связи с интегралом вида (3.18); 4) вычисление среднего значения с преобразованием подынтегральной функции к виду (3.32). Для использования 1-го и 3-го приемов необходимо иметь случайные числа с заданным законом распределения Приемы 1-й и 3-й оказываются весьма эффективными при вычислении сравнительно узкого класса вероятностных интегралов, для которых имеются экономные способы формирования последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения (например, нормальным, показательным, законом Пуассона и т. д.). Приемы 2-й и 4-й имеют заведомо более широкую сферу применения. В качестве примера специального вероятностного интеграла рассмотрим одну из основных задач классической теории стрельбы: вычисление вероятности хотя бы одного попадания в цель в так называемой «схеме повторяющихся и неповторяющихся ошибок». Пусть ошибки стрельбы имеют нормальное распределение
со следующими параметрами:
Тогда вероятность хотя бы одного попадания в плоскую прямоугольную цель глубиной
где
Простейшая процедура вычисления интеграла (3.35) состоит в непосредственном Будем считать, что в нашем распоряжении находятся независимые случайные числа, имеющие нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Умножением каждого из них на величину Каждое из
После того как неравенства (3.37) первый раз окажутся совместно выполненными, вычисления прекращаются, и данное испытание признается удачным. Если после проверки всех
Затем снова выбираем к «стрельбе» следующей батареи. В этом случае в выражениях (3.36) остаются фиксированными только числа Каждое испытание продолжается только до тех пор, пока неравенства (3.37) окажутся первый раз совместно выполненными. После проведения
где М — количество удачных испытаний. Описанная процедура вычисления интеграла (3.35) является применением 1-го из упомянутых выше приемов метода статистических испытаний. Очевидно, что более экономной (с точки зрения количества выполняемых операций) была бы процедура, основанная на совместном применении 1-го и 3-го приемов: 1-го — для вычисления условной вероятности попадания в цель при фиксированном значении ошибок стрельбы, а 3-го — для вычисления полной вероятности (среднего значения вероятности) попадания в цель. Построение схемы такой процедуры предоставляется читателю. Перейдем к рассмотрению 2-го и 4-го приемов в применении к вычислению многократных интегралов методом статистических испытаний. Пусть требуется вычислить интеграл
по ограниченной замкнутой области
то заменой переменных, аналогичной (3.16),
можно привести интеграл (3.38) к виду
где
и область интегрирования Используем второй из упомянутых выше приемов метода статистических испытаний для вычисления интеграла (3.40). Изменением масштаба по оси
где
и функция
Интеграл (3.41) можно рассматривать как объем тела V в
Проведем
имеющих равномерное распределение в интервале (0,1). Проверим принадлежность точки удачным. После проведения N испытаний приближенное значение интеграла (3.41) получим в виде
где Обратимся к проверке принадлежности точки R объему V. Пусть сначала область интегрирования со совпадает с единичным
В более общем случае для этой цели необходимо совместное выполнение неравенств вида
Если предполагается использовать 4-й из упомянутых выше приемов для вычисления интеграла (3.40), поступаем следующим образом. Выбираем
имеющих равномерное распределение в интервале (0,1), и проверяем принадлежность точки R области После проведения количества испытаний, при котором получится N точек
Тогда приближенное значение интеграла (3.40) будет равно
где Рассмотренными случаями не исчерпываются всевозможные способы вычисления многократных интегралов методом статистических испытаний. Мы указали на наиболее типичные из них.
|
1 |
Оглавление
|