Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА IV. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ§ 17. Метод решения системы линейных уравнений, связанных с методом простых итерацийОсновная цель настоящего параграфа состоит в построении модели случайного процесса, связанного с решением системы линейных алгебраических уравнений. Эта модель годится лишь для частного случая матриц, «близких» к единичной матрице в смысле, указанном ниже. Этот класс матриц совпадает с классом матриц, для которых соответствующая система линейных уравнений допускает решение по методу простых итераций. Модель строится по принципу марковского процесса, заканчивающегося с вероятностью единица в конечное число шагов. По-видимому, эта модель имеет главным образом теоретический интерес и сложна для практической реализаций. Практическое значение имеет применение таких. моделей для систем линейных уравнений, связанных с решением дифференциальных и интегральных уравнений математической физики. Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в векторной форме:
Здесь А —
где Е — единичная матрица, а В имеет собственные числа, по модулю меньшие единицы. Система (4.1) эквивалентна системе
Решение системы (4.1) представимо в виде
При сделанных предположениях обратная матрица может быть выражена рядом
Этот ряд сходится в том и только в том случае, если собственные числа матрицы В по модулю меньше единицы, т. е.
Подставим теперь выражение (4.3) в (4.2), выражая решение в виде ряда
Частные суммы последнего ряда можно получить известным итерационным приемом, полагая последовательно
Сходимость метода простых итераций эквивалентна сходимости последовательности
Вопрос состоит в том, чтобы найти метод вычисления суммы (4.5). Рассмотрим сначала случай, когда элементы матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице, т. е.
Тогда величины Эти события мы можем рассматривать как связанные с некоторой ситуацией выборки шаров из Вынем наугад шар из
т. е. равно второму слагаемому ряда (4.5). Постараемся теперь получить случайную величину, математическое ожидание которой равно третьему слагаемому ряда (4.5). Для этого обратимся сначала к Ясно, что вероятность, с которой случайная величина
(предполагается, что все процессы взятия шаров из урн независимы). Очевидно, что математическое ожидание величины
Рассмотренная конструкция допускает простое обобщение, позволяющее получить случайную величину
Тогда, моделируя процесс получения величины
Оценка ошибки производится с помощью неравенства (0.5). Конструкция случайной величины
где
Координаты векторов правой части (4.1) представим в виде При этом будем предполагать, что выполнено равенство
Тогда равенство (4.5) можно представить в виде
Предположим, что у нас имеется Начнем с Если же вынутый шар
Математическое ожидание величины равно
Подставляя (4.8) в (4.9) и сравнивая с (4.7), получаем
Таким образом, моделирование случайной величины Тем самым получился некоторый процесс Монте-Карло для решения систем линейных алгебраических уравнений. Существуют и другие процессы такого рода, где статистическая модель годится для нахождения обратной матрицы или для решения системы с более общей матрицей А. Преимущество изложенного метода решения состоит в следующем: при обычном методе решения систем линейных уравнений для вычисления одного неизвестного нужно определять и все остальные; в приведенном же способе этого делать не нужно, каждый раз определяется одна координата
|
1 |
Оглавление
|