§ 26. Более сложные задачи

Заметим, что, как всегда, в методе Монте-Карло имеет место оценка

Например, если то ошибка имеет порядок Однако, как указано выше, в ряде случаев необходимо получать существенно более высокую точность. Так, при расчете защиты нужно очень часто быть уверенным, что нейтрон поглотится защитой с вероятностью, большей чем 0,9999. В этих условиях метод Монте-Карло в непосредственном виде не годится. Поэтому приходится применять различные методы ускорения метода Монте-Карло. Для плоской однородной пластины хорошо проходит следующий способ.

Разделим защиту на одинаковых слоев. Проведем моделирование для одного слоя. Пусть найденная вероятность поглощения в одном слое равна Вероятность прохождения нейтрона через один слой равна Следовательно, вероятность прохождения нейтрона через слоев равна

Вообще говоря, средняя скорость входящих нейтронов от одного слоя к другому слою ослабевает и вероятность на самом деле несколько меньше.

С помощью метода Монте-Карло при можно достаточно надежно проверить, что Следовательно,

Таким образом, окажется, что вероятность прохождения - нейтрона через пачку из слоев (в полном защитном слое) больше чем Так, при мы можем проверить, что вероятность прохождения Итак, метод Монте-Карло в комбинации со специфическими приемами ускорения может дать очень большую точность результата.

Мы рассмотрели здесь самую простую схему. В действительности метод Монте-Карло является основным методом решения самых трудных задач на теорию рассеяния, так как аналитическое решение или решение классическими разностными методами кинетических уравнений практически невозможно. Идея метода легко обобщается на неплоские формы защитного слоя и на случай, когда слой состоит из различных атомов. В последнем случае при каждом столкновении надо из

случайного эксперимента определить, с какого типа атомом произошло соударение.

Нужно отметить, что решение этих задач для сложных вариантов защиты весьма трудоемко даже с помощью самых современных вычислительных машин.

При расчете ядерных реакторов приходится исследовать процессы рождения нейтронов для определения критичности реактора. Поэтому при моделировании столкновений нейтронов с атомами недостаточно рассматривать только случаи поглощения и рассеяния, но необходимо рассматривать и процесс захвата нейтрона ядром с последующим делением ядра, при котором испускаются свободные нейтроны.

Коэффициент размножения реактора К определяется так. Пусть — математическое ожидание количества нейтронов, порождаемых нейтроном, испущенным в точке Пусть -плотность математического ожидания числа нейтронов, рождающихся в единицу времени в точке

Тогда полагается

Одной из важных задач является выбор размеров реакторов, при которых т. е. реактор находится в стационарном состоянии.

Для определения величины К прослеживаются траектории всех нейтронов, начиная с какого-то набора первичных нейтронов (нулевое поколение) до поколения. В качестве статистической оценки для К берется отношение числа нейтронов поколения к числу нейтронов поколения. Эта оценка может быть использована, если настолько велико, что плотности математического ожидания числа нейтронов поколений почти пропорциональны.

Для задач этого типа существует много приемов сведения к задачам с меньшей дисперсией определяемых величин и поэтому требующих меньшего времени решения.