ГЛАВА III. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

§ 10. Вводные замечания

Приближенное вычисление определенных интегралов — одна из наиболее распространенных задач, встречающихся в практике инженера или исследователя, использующего математический аппарат.

Для решения этой задачи широко применяются различные численные методы, позволяющие во многих случаях получить результаты с необходимой степенью точности как для одномерных, так и для кратных интегралов. Однако при увеличении кратности интеграла объем вычислений существенно возрастает. Имеются прикладные задачи, приводящие к вычислению многократных интегралов, решение которых обычными численными методами, вследствие огромного объема работы, оказывается практически недоступным не только в случае ручного счета, но и при использовании современных быстродействующих электронных вычислительных машин. Например, исследование процесса проникновения частиц через толстые экраны требует вычисления -кратных интегралов при условии, что частица пройдет через экран с количеством столкновений, равным Можно показать, что даже при не очень больших объем вычислений, связанных с решением такого рода задач оказывается огромным. Так, при для вычисления интеграла обычными численными методами необходимо примерно операций, что потребовало бы 1600 лет непрерывной работы вычислительной машины, выполняющей 5000 операций в одну секунду.

Разнообразные сложные задачи, связанные с вычислением многократных интегралов, как показывает опыт, могут быть эффективно решены методом

статистических испытаний, особенно в тех случаях, когда к точности результатов расчета не предъявляются очень жесткие требования. Упомянутый выше интеграл, например, вычисляется методом статистических испытаний с достаточной для практики точностью на вычислительной машине с теми же характеристиками за несколько минут.

Зачастую метод статистических испытаний оказывается единственным практически доступным методом решения важных задач, возникающих в современной науке и технике.

Вместе с тем было бы неправильно рекомендовать метод статистических испытаний взамен обычных численных методов во всех без исключения случаях Каждый из этих подходов к проблеме вычисления интегралов имеет свою специфическую область приложения.

Задача настоящей главы — проследить на элементарных примерах основные идеи, используемые при вычислении интегралов методом статистических испытаний, рекомендовать наиболее употребительные приемы вычисления многократных интегралов, а также дать представление о точности метода и необходимом для решения задач количестве испытаний.

Хотя преимущества метода статистических испытаний по сравнению с обычными численными методами проявляются лишь при вычислении многократных интегралов, изложение материала начинаем с простейших примеров для случая одного измерения.