§ 12. Вычисление интеграла. Среднее значение функции от случайной величины

Изложенные выше приемы вычисления интегралов методом статистических испытаний основывались на идее оценки неизвестной вероятности некоторого события посредством частоты наступления этого события при повторении испытаний. Однако описанные приемы не охватывают важных для приложений случаев (например, интегралов с бесконечными пределами и ряд других). Поэтому представляется целесообразным остановиться еще на некоторых типичных приемах вычисления интегралов. В частности, в настоящем параграфе излагается один из возможных подходов к вычислению интегралов, основанный на идее оценки математического ожидания случайной величины.

Пусть I — случайная величина, принимающая возможные значения х из интервала (а, b).

Закон распределения случайной величины I зададим функцией плотности . В дальнейшем относительно границ интервала (а, b) будут сделаны в ряде случаев различные предположения. В общем случае эти границы могут быть как конечными, так и бесконечными.

Рассмотрим непрерывную функцию

Если функция абсолютно интегрируема относительно то математическое ожидание функции существует и определяется выражением

Рассмотрим применение метода статистических испытаний для вычисления интегралов вида (3.18).

Для этого предположим, что мы в состоянии провести эксперимент, доставляющий нам возможные значения случайной величины . В результате ряда независимых испытаний образуется последовательность величин Выполнив вычисления в соответствии с формулой

мы получим последовательность возможных значений случайной величины

Из способа образования последовательности вытекает заключение, что случайные величины взаимонезависимы и имеют один и тот же закон распределения.

Поскольку задача вычисления интеграла (3.18) имеет смысл лишь тогда, когда можно воспользоваться законом больших чисел в форме теоремы Хинчина: если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания М, то

Таким образом, в случае, когда имеется возможность провести достаточно большое число испытаний дающих значения случайной величины в качестве приближенного значения М интеграла (3.18) допустимо

использовать среднее арифметическое из значений т. е.

Метод статистических испытаний в применении к вычислению интегралов вида (3.18) заключается в моделировании при помощи случайных чисел описанного здесь эксперимента.

Для оценки точности равенства

и назначения числа испытаний N необходимо принять во внимание соображения, связанные с распределением случайной величины М. Разыскание точного закона распределения для М представляет собой сложную задачу. Но практически в этом нет необходимости, поскольку нас интересует распределение при больших значениях N. Удобно и вполне допустимо, как это было сделано в аналогичном случае выше, воспользоваться асимптотическим законом распределения.

В рассматриваемом случае оказывается полезной следующая теорема.

Если независимые и одинаково распределенные случайные величины имеют конечную дисперсию

то среднее арифметическое М распределено асимптотически нормально (при ) с математическим ожиданием М и средним квадратическим отклонением

Поэтому в приложениях, когда сформулированные условия можно считать выполненными, для оценки

точности равенства (3.19) удобно пользоваться соотношением

Задаваясь значениями и а, при известной а можно определить необходимое число испытаний обеспечивающее точность с надежностью а. В этом случае

и

Однако при решении конкретных задач обычно величина оказывается неизвестной. Поэтому определение хотя бы приближенного значения требует дополнительных рассмотрений.

В процессе вычислений можно поступить так. Назначается ориентировочно предварительное число испытаний (один применявшийся авторами способ назначения будет нами рассмотрен ниже). Затем по результатам испытаний определяется приближенное значение дисперсии

Располагая можно из соотношения (3.23) найти приближенное значение Если окажется, что необходимо провести дополнительные испытания.

Заметим, что при сравнительно небольших (например, порядка нескольких десятков), еще не обладает достаточной статистической устойчивостью.

Чтобы гарантировать заданную точность вычислений, необходимо для определения выбрать с учетом возможных случайных отклонений величины

Предположим, что нам известно среднее квадратическое отклонение о величины Тогда для определения можно использовать

где выбирается равным 3 или 4, в зависимости от требуемой надежности оценки количества испытаний

Значение а может быть приближенно оценено, исходя из соотношения

которое обычно используется для нормально распределенных

Для предварительного назначения числа испытаний иногда может оказаться полезным следующий прием, идею которого поясним на примере.

Предположим, что случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением Необходимо вычислить интеграл

Для назначения числа испытаний необходимо знать величину , определяемую соотношением (3.21). Пусть непрерывная функция такова, что вычисление интеграла (3.21) недоступно либо нецелесообразно в силу большой трудоемкости. Тогда на основании анализа свойств или на основании просчетов в нескольких точках аппроксимируем (хотя бы грубо) функцией весьма простого вида. Часто удобными оказываются для этой цели полиномы или даже одночленные степенные функции. Предположим, для простоты, мы приняли

Тогда из соотношения (3.21) может быть найдено приближенное значение дисперсии

где М в свою очередь определяется соотношением

Воспользовавшись известными выражениями для центральных моментов нормального распределения

найдем

Вычислив легко определить из (3.23) значение N и принять его в качестве

Назначение числа испытаний для приема вычисления интегралов, рассмотренного в настоящем параграфе, требует весьма внимательного отношения. Дело в том, что в случаях, интересных с точки зрения приложений, часто оказывается, что N, найденное по формуле (3.23), оказывается существенно меньшим, чем значения, приведенные для аналогичных условий в таблице 1.

В связи с этим величина о, определяемая из соотношения (3.24), оказывается заметно подверженной влиянию случайных колебаний. Это необходимо иметь в виду при оценке количества испытаний N и пользоваться, в случае необходимости, величиной о, рассмотренной выше.

Необходимо сделать одно замечание к процедуре метода статистических испытаний, применяемой для вычисления интегралов вида (3.18).

Реализация ее, как кажется на первый взгляд, требует запоминания большого количества промежуточных результатов, связанных с вычислением М и о по формулам (3.19) и (3.24) соответственно. Однако этого можно избежать,

Полезно выражение (3.24) для о преобразовать к виду

Вычисления удобно проводить следующим образом. Предположим, что мы провели уже испытаний. Тогда можно считать известными следующие результаты вычислений:

После испытания производится расчет величин

Результаты (3.29) можно хранить в тех же ячейках запоминающегося устройства, в которых хранились перед испытанием величины (3.28). Последние теперь уже не нужны и могут быть «забыты».

Описанный в настоящем параграфе подход к вычислению интегралов вида (3.18) широко используется, наряду с другими разновидностями метода статистических испытаний, для решения разнообразных задач.

Рассмотрим использование его для вычисления интегралов вида (3.15).

Пусть требуется вычислить интеграл

Выберем некоторый закон распределения для которого в нашем распоряжении имеется удрбный способ образования случайных чисел, и, кроме того, интервал (а, b) является областью определения т. е.

Преобразуем подынтегральное выражение в (3.15) следующим образом:

аккуратно проследив при этом последствия того, что может обращаться в нуль внутри интервала или на его границах.

Если мы обозначим

то интеграл (3.30) приобретает вид (3.18)

и может быть вычислен в соответствии с процедурой, сформулированной выше.

В частном случае, если границы интервала конечны или приближенно сделаны конечными ради удобства вычислений (это возможно в том случае, если функция быстро убывает при можно в качестве выбрать равномерный закон распределения случайных чисел. Рассмотрим этот случай несколько подробнее.

Плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале имеет вид

Поэтому выражение (3.30) можно записать так:

Процедура вычисления интеграла (3.32) методом статистических испытаний аналогична той, которую мы сформулировали в начале параграфа.

Рис. 6.

Из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале извлекаются числа Для каждого вычисляется значение функции Затем определяется среднее значение

функции на интервале

Величина интеграла (3.32) теперь может быть приближенно представлена в виде

Смысл выражения (3.33) состоит в том (рис. 6), что площадь, ограниченная кривой осью и ординатами точек а и заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой равной среднему значению функции

Частный случай, когда имеет вид (3.31), а также многомерные обобщения этого случая широко используются для вычисления интегралов главным образом

потому, что при этом легко решается вопрос о совмещении пределов интегрирования и границ области определения

В заключение настоящего параграфа отметим, что в связи с (3.30) имеет смысл постановка вопроса о выборе такой функции которая обеспечивала бы максимальную точность вычисления интеграла при фиксированном количестве испытаний