Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 12. Вычисление интеграла. Среднее значение функции от случайной величиныИзложенные выше приемы вычисления интегралов методом статистических испытаний основывались на идее оценки неизвестной вероятности некоторого события посредством частоты наступления этого события при повторении испытаний. Однако описанные приемы не охватывают важных для приложений случаев (например, интегралов с бесконечными пределами и ряд других). Поэтому представляется целесообразным остановиться еще на некоторых типичных приемах вычисления интегралов. В частности, в настоящем параграфе излагается один из возможных подходов к вычислению интегралов, основанный на идее оценки математического ожидания случайной величины. Пусть I — случайная величина, принимающая возможные значения х из интервала (а, b). Закон распределения случайной величины I зададим функцией плотности Рассмотрим непрерывную функцию Если функция
Рассмотрим применение метода статистических испытаний для вычисления интегралов вида (3.18). Для этого предположим, что мы в состоянии провести эксперимент, доставляющий нам возможные значения случайной величины
мы получим последовательность Из способа образования последовательности Поскольку задача вычисления интеграла (3.18) имеет смысл лишь тогда, когда
Таким образом, в случае, когда имеется возможность провести достаточно большое число испытаний использовать среднее арифметическое из значений
Метод статистических испытаний в применении к вычислению интегралов вида (3.18) заключается в моделировании при помощи случайных чисел описанного здесь эксперимента. Для оценки точности равенства
и назначения числа испытаний N необходимо принять во внимание соображения, связанные с распределением случайной величины М. Разыскание точного закона распределения для М представляет собой сложную задачу. Но практически в этом нет необходимости, поскольку нас интересует распределение В рассматриваемом случае оказывается полезной следующая теорема. Если независимые и одинаково распределенные случайные величины
то среднее арифметическое М распределено асимптотически нормально (при
Поэтому в приложениях, когда сформулированные условия можно считать выполненными, для оценки точности равенства (3.19) удобно пользоваться соотношением
Задаваясь значениями
и
Однако при решении конкретных задач обычно величина В процессе вычислений можно поступить так. Назначается ориентировочно предварительное число испытаний
Располагая Заметим, что при сравнительно небольших Чтобы гарантировать заданную точность вычислений, необходимо для определения Предположим, что нам известно среднее квадратическое отклонение о величины
где Значение а может быть приближенно оценено, исходя из соотношения
которое обычно используется для нормально распределенных Для предварительного назначения числа испытаний Предположим, что случайная величина
Для назначения числа испытаний необходимо знать величину
Тогда из соотношения (3.21) может быть найдено приближенное значение
где М в свою очередь определяется соотношением
Воспользовавшись известными выражениями для центральных моментов нормального распределения
найдем
Вычислив Назначение числа испытаний для приема вычисления интегралов, рассмотренного в настоящем параграфе, требует весьма внимательного отношения. Дело в том, что в случаях, интересных с точки зрения приложений, часто оказывается, что N, найденное по формуле (3.23), оказывается существенно меньшим, чем значения, приведенные для аналогичных условий в таблице 1. В связи с этим величина о, определяемая из соотношения (3.24), оказывается заметно подверженной влиянию случайных колебаний. Это необходимо иметь в виду при оценке количества испытаний N и пользоваться, в случае необходимости, величиной о, рассмотренной выше. Необходимо сделать одно замечание к процедуре метода статистических испытаний, применяемой для вычисления интегралов вида (3.18). Реализация ее, как кажется на первый взгляд, требует запоминания большого количества промежуточных результатов, связанных с вычислением М и о по формулам (3.19) и (3.24) соответственно. Однако этого можно избежать, Полезно выражение (3.24) для о преобразовать к виду
Вычисления удобно проводить следующим образом. Предположим, что мы провели уже
После
Результаты (3.29) можно хранить в тех же ячейках запоминающегося устройства, в которых хранились перед Описанный в настоящем параграфе подход к вычислению интегралов вида (3.18) широко используется, наряду с другими разновидностями метода статистических испытаний, для решения разнообразных задач. Рассмотрим использование его для вычисления интегралов вида (3.15). Пусть требуется вычислить интеграл
Выберем некоторый закон распределения
Преобразуем подынтегральное выражение в (3.15) следующим образом:
аккуратно проследив при этом последствия того, что Если мы обозначим
то интеграл (3.30) приобретает вид (3.18)
и может быть вычислен в соответствии с процедурой, сформулированной выше. В частном случае, если границы интервала Плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале
Поэтому выражение (3.30) можно записать так:
Процедура вычисления интеграла (3.32) методом статистических испытаний аналогична той, которую мы сформулировали в начале параграфа.
Рис. 6. Из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале
функции Величина интеграла (3.32) теперь может быть приближенно представлена в виде
Смысл выражения (3.33) состоит в том (рис. 6), что площадь, ограниченная кривой Частный случай, когда потому, что при этом легко решается вопрос о совмещении пределов интегрирования и границ области определения В заключение настоящего параграфа отметим, что в связи с (3.30) имеет смысл постановка вопроса о выборе такой функции
|
1 |
Оглавление
|