ГЛАВА I. ВЫРАБОТКА НА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ СОВОКУПНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. Постановка задачи

Для моделирования случайных процессов, связанных с применением метода статистических испытаний, необходимы случайные числа.

Количество случайных чисел, используемых для формирования одной реализации моделируемого процесса, колеблется в достаточно широких пределах. Оно исчисляется в простейших случаях десятками тысяч, а для сложных задач может достигать сотен тысяч чисел и более.

Поскольку при вычислениях методом статистических испытаний существенное количество операций расходуется для оперирования над случайными числами, не будет преувеличением сказать, что наличие простых - экономных способов формирования последовательности случайных чисел во многом определяет возможность практического использования этого метода.

Мы кратко остановимся на рассмотрении наиболее употребительных способов образования последовательностей случайных чисел.

В качестве исходной совокупности случайных чисел, используемых для образования случайных элементов различной природы, необходимо выбрать такую совокупность, которая может быть получена с наименьшими, по возможности, затратами машинного времени и, кроме того, обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований.

Обычно считают, что этим требованиям удовлетворяет совокупность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1).

В дальнейшем (гл. II) будет показано, что, исходя из равномерно распределенных случайных чисел, можно конструировать как случайные события, возникающие с любой заданной вероятностью, так и случайные величины, обладающие практически любым законом распределения.

Напомним основные свойства равномерного распределения.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение в интервале если ее функция плотности равна

Функция распределения случайной величины имеет вид

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны

В частном случае равномерного распределения в интервале (0, 1):

а математическое ожидание и среднее квадратическое

отклонение соответственно равны

Рассмотрим дискретную случайную величину принимающую только два значения:

Например, бросая монету, можно принять если выпал герб, и если выпала решетка.

Представим себе бесконечную последовательность значений и будем рассматривать эту последовательность нулей и единиц как двоичные знаки некоторого числа , равного

Число — случайное число, оно лежит в пределах Вероятность попадания в интервал равна ; в интервал , равна в интервал равна

Вообще, вероятность попадания числа в любой интервал вида Равна его длине

Следовательно, — равномерно распределенная случайная величина. Отсюда получается способ формирования равномерно распределенной случайной величины. Нужно взять бесконечную последовательность независимых случайных величину и считать их двоичными знаками некоторого числа .

Строго говоря, на цифровой вычислительной машине получить последовательность возможных значений случайной величины с равномерным распределением не представляется возможным в силу ограниченного количества используемых двоичных разрядов.

Пусть речь идет о цифровой вычислительной машине, для которой характерно представление чисел двоичными разрядами. Тогда количество несовпадающих между собой чисел, каждое из которых можно записать в -разрядную ячейку машины, равно Поэтому приходится вместо непрерывной совокупности случайных чисел с равномерным распределением в качестве исходной использовать дискретную совокупность чисел с одинаковыми вероятностями появления любого из них.

Такое распределение иногда называют квазиравномерным.

От совокупности чисел представляемых при помощи двоичных разрядов, легко перейти к возможным значениям дискретной случайной величины имеющей квазиравномерное распределение в интервале (0,1)

Вероятности р, соответствующие возможным значениям равны, очевидно,

Найдем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Учитывая, что

получим

Для определения дисперсии случайной величины

воспользуемся, кроме (1.7), тождеством

Тогда

или

Легко видеть, что при среднее квадратическое отклонение квазиравномерной совокупности асимптотически равно Поэтому при достаточно больших значениях разницей между и можно пренебрегать. Для малых значений эта разница может оказаться существенной.

Следующая таблица характеризует зависимость отношения от величины (с точностью до трех десятичных знаков после запятой).

В дальнейших параграфах настоящей главы мы рассмотрим способы образования исходной квазиравномерной последовательности случайных чисел. Будут

обсуждены два возможных способа получения случайных чисел:

1) генерирование случайных чисел специальной электронной приставкой к машине — генератором случайных чисел;

2) алгорифмическое получение так называемых псевдослучайных чисел.