ГЛАВА VI. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

§ 23. Исходные соотношения для собственных функций и собственных значений

В этой главе рассматривается задача о нахождении наименьшего собственного числа для дифференциального оператора второго порядка. Это — одна из важнейших и трудоемких задач вычислительной математики.

Для начала мы ограничимся случаем одного независимого переменного, а затем укажем, каким образом все результаты переносятся на многомерный случай.

В качестве примера рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка

Если существует решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию

то оно называется собственной функцией оператора При этом число К называется собственным значением оператора . В случае, когда выполнено условие

оператор имеет дискретный спектр. Это значит, что система собственных функций оператора образует полную ортогональную и нормированную систему в гильбертовом пространстве всех функций с интегрируемым квадратом модуля на прямой.

В этом случае собственные значения оператора образуют возрастающую последовательность чисел, и, таким образом, существует наименьшее собственное значение оператора

Отыскание этого наименьшего собственною значения зачастую представляет большой интерес. Дело в том, что уравнение (6.2) является уравнением Шредингера, описывающим поведение квантовомеханической частицы в силовом поле, задаваемом потенциалом Наименьшее собственное значение оператора соответствует наинизшему (основному) уровню энергии частицы.

Основой для дальнейшего является излагаемая ниже связь между дифференциальным оператором и определенного вида случайным процессом.

Рассмотрим случайный процесс с независимыми приращениями, распределенными по гауссову закону.

Иначе говоря, рассмотрим пространство состоящее из всех непрерывных функций определенных на полупрямой

и удовлетворяющих условию

В пространстве мы определим меру (распределение вероятностей) по следующему правилу.

Пусть попарно не пересекающиеся отрезки; обозначим через он, множество всех функций из удовлетворяющих условиям

Тогда, по определению, мера множества

равна

Далее можно обычным способом распространить меру на все борелевское тело множеств, порождаемое множествами

Теперь мы введем случайную величину

В равенстве (6.7) подразумевается, что -случайная функция из пространства Функции распределения величины мы обозначим через

Таким образом, есть, по определению, мера множества всех тех функций для которых

или, иначе, есть вероятность неравенства

Основную роль для дальнейшего играет следующая теорема

Пусть тогда для всякого значения существует функция , удовлетворяющая уравнению

всюду, кроме точки и условиям

При этом имеет место тождество

Приближенное значение левой части равенства (6.10) мы получим, реализуя некоторый марковский процесс, а правую часть мы сейчас свяжем с интересующим нас собственным значением оператора Тем самым тождество (6.10) послужит основой для вычислений по методу статистических испытаний.

Рассмотрим гильбертово пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом модуля на прямой. Зададим линейный оператор на многообразии всех функций из гильбертова пространства, для которых вторая производная и произведение интегрируемы в квадрате, и замкнем этот оператор. Полученный замкнутый оператор будет являться эрмитовым оператором. Из эрмитовости оператора следует наличие у этого оператора спектрального разложения.

Наличие у оператора спектрального разложения означает, что существует однопараметрическое семейство проекционных операторов (разложение единицы), обладающее известными свойствами. При этом для всякой функции из нашего гильбертова пространства

а для функции принадлежащей области определения оператора

Если оператор имеет собственные функции, то дискретную часть спектра можно выделить. Вместо формул (6.11) и (6.12) мы будем иметь теперь разложения

и

Пусть — собственная функция оператора соответствующая собственному значению Я, а числа удовлетворяют неравенству Бесселя

Обозначим через подпространство рассматриваемого гильбертова пространства, ортогональное ко всем собственным функциям оператора Тогда оператор

является оператором ортогонального проектирования на , а операторы суть операторы проектирования на подпространства, содержащиеся в .

Пусть -некоторая функция, принадлежащая области определения оператора и непрерывная в нуле. Так как в силу (6.9) функция обладает интегрируемым квадратом, то интеграл

имеет конечное значение.

Рассмотрим теперь тождество

В силу (6.8) и (6.9) мы имеем отсюда, устремив к нулю,

Напишем для функции разложение (6.17)

Вычислим коэффициенты в формуле (6.17). Для этого применим тождество (6.16) для случая, когда Мы будем иметь тогда

Равенство (6.18) дает нам

Проинтегрируем обе части равенства (6.19)

При этом предполагается законность почленного интегрирования в правой части.

Сравнивая равенства (6.20) и (6.10), мы будем иметь

Согласно последнему равенству выражение в правой части (6.21) можно рассматривать как преобразование Лапласа функции

Теперь мы будем предполагать, что функция кроме условия удовлетворяет условию (6.4). Тогда оператор имеет (см. [21]) чисто точечный спектр и равенство (6.21) приобретает вид

Пользуясь известными правилами обращения для преобразования Лапласа и учитывая, что все собственные значения оператора отрицательны, мы получим

Известно, что для дифференциального оператора типа (6.1) собственные значения не вырождены. Таким образом, при в выражении (6.23) основную роль играет слагаемое, соответствующее наименьшему по абсолютной величине собственному значению оператора

Это утверждение основано на том, что первая собственная функция оператора (6.1) не может обратиться

в нуль, в частности отсюда же следует, что отличен от нуля. Поэтому мы можем написать приближенное равенство

где через X как раз и обозначено наименьшее по абсолютной величине собственное значение оператора Отсюда мы получаем приближенное выражение для искомого собственного значения

Выражение (6.25) тем более точно, чем больше величина Погрешность, получаемая при замене точной величины собственного значения А, приближенным выражением (6.25), имеет порядок малости типа егде — ближайшее к собственное значение оператора Таким образом, эта погрешность имеет экспоненциально убывающий порядок малости, а поэтому ею можно пренебречь.

В выражении (6.25) последние два слагаемых правой части стремятся к нулю, а поэтому при достаточно больших значениях ими можно было бы также пренебречь. Однако эти члены убывают довольно медленно и нам пришлось бы выбирать слишком большие значения Поэтому выгоднее поступить иначе, а именно, рассмотреть соотношение (6.25) при двух неравных значениях выбранных настолько большими, что погрешность, даваемая приближенными равенствами

и

была достаточно малой. Умножая (6.25а) на а (6.256) на и вычитая полученные соотношения одно из другого, мы получаем