Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА VI. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ§ 23. Исходные соотношения для собственных функций и собственных значенийВ этой главе рассматривается задача о нахождении наименьшего собственного числа для дифференциального оператора второго порядка. Это — одна из важнейших и трудоемких задач вычислительной математики. Для начала мы ограничимся случаем одного независимого переменного, а затем укажем, каким образом все результаты переносятся на многомерный случай. В качестве примера рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка
Если существует решение
удовлетворяющее условию
то оно называется собственной функцией оператора
оператор В этом случае собственные значения оператора Отыскание этого наименьшего собственною значения зачастую представляет большой интерес. Дело в том, что уравнение (6.2) является уравнением Шредингера, описывающим поведение квантовомеханической частицы в силовом поле, задаваемом потенциалом Основой для дальнейшего является излагаемая ниже связь между дифференциальным оператором Рассмотрим случайный процесс с независимыми приращениями, распределенными по гауссову закону. Иначе говоря, рассмотрим пространство
и удовлетворяющих условию
В пространстве Пусть
Тогда, по определению, мера множества
равна
Далее можно обычным способом распространить меру на все борелевское тело множеств, порождаемое множествами
Теперь мы введем случайную величину
В равенстве (6.7) подразумевается, что Таким образом,
или, иначе,
Основную роль для дальнейшего играет следующая теорема Пусть
всюду, кроме точки
При этом имеет место тождество
Приближенное значение левой части равенства (6.10) мы получим, реализуя некоторый марковский процесс, а правую часть мы сейчас свяжем с интересующим нас собственным значением оператора Рассмотрим гильбертово пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом модуля на прямой. Зададим линейный оператор Наличие у оператора
а для функции
Если оператор
и
Пусть
Обозначим через
является оператором ортогонального проектирования на Пусть
имеет конечное значение. Рассмотрим теперь тождество
В силу (6.8) и (6.9) мы имеем отсюда, устремив
Напишем для функции
Вычислим коэффициенты
Равенство (6.18) дает нам
Проинтегрируем обе части равенства (6.19)
При этом предполагается законность почленного интегрирования в правой части. Сравнивая равенства (6.20) и (6.10), мы будем иметь
Согласно последнему равенству выражение в правой части (6.21) можно рассматривать как преобразование Лапласа функции
Теперь мы будем предполагать, что функция
Пользуясь известными правилами обращения для преобразования Лапласа и учитывая, что все собственные значения оператора
Известно, что для дифференциального оператора Это утверждение основано на том, что первая собственная функция оператора (6.1) не может обратиться в нуль, в частности
где через X как раз и обозначено наименьшее по абсолютной величине собственное значение оператора
Выражение (6.25) тем более точно, чем больше величина В выражении (6.25) последние два слагаемых правой части стремятся к нулю, а поэтому при достаточно больших значениях
и
была достаточно малой. Умножая (6.25а) на
|
1 |
Оглавление
|