§ 9. Формирование реализаций многомерных случайных векторов и случайных процессов

При решении прикладных задач методом статистических испытаний часто возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов и случайных процессов, обладающих заданными вероятностными характеристиками.

Для получения возможных значений случайного вектора можно воспользоваться различными приемами.

Рассмотрим сначала соотношения, аналогичные (2.8). Пусть требуется получить последовательность возможных значений составляющих случайного вектора, заданных совместной функцией плотности Найдем частную функцию плотности случайной величины

Выберем из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) число и одним из способов, рассмотренных выше, определим соответствующее ему число имеющее функцию плотности

Затем найдем условное распределение случайной величины

Выберем из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) число и определим соответствующее ему число имеющее функцию плотности Можно показать, что получаемая таким образом последовательность имеет совместную функцию плотности

Аналогичные соотношения можно записать и для многомерных векторов. Например, если задано совместное распределение то случайные числа выбираются в соответствии с функциями

плотности:

Практическое использование рассмотренных соотношений для получения возможных значений составляющих случайного вектора связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех срабнительно редких случаев, когда интегралы вида (2.8) для функций (2.39) — (2.41) берутся в конечном виде. Поэтому, как правило, для этой цели приходится пользоваться различными приближенными приемами.

В двумерном случае можно считать приемлемым следующий приближенный прием.

Рассматривается функция плотности задаваемая соотношением (2.39), и совокупность функций плотности для заранее определенного набора значений

Все перечисленные функции плотности аппроксимируются кусочно постоянными функциями в соответствии с методикой, рассмотренной в § 7 настоящей главы.

В запоминающих устройствах электронной вычислительной машины хранятся таблицы для каждой из функций плотности.

Чтобы получить пару значений составляющих случайного вектора, приходится затрачивать четыре случайных числа, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1): число — для выбора интервала (значений в таблице функции — для выбора случайного числа и строки таблицы соответствующей функции

для выбора интервала (значений ) в таблице функции для выбора случайного числа

Рассмотренный прием оказывается достаточно громоздким в двумерном случае, а в случае числа измерений, большего чем два, совершенно недоступным для практического использования.

В пространстве с числом измерений более чем два практически доступным оказывается получение реализаций составляющих случайного вектора в том случае, когда случайный вектор задается в рамках корреляционной теории.

В качестве примера рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями и корреляционной матрицей

Здесь

Пусть в нашем распоряжении находится последовательность некоррелированных случайных чисел с математическим ожиданием, равным а, и дисперсией

Реализации составляющих случайного вектора удобно определить в виде

как линейное преобразование случайных величин Коэффициенты преобразования можно определить из уравнений вида

Например, коэффициент определяется из уравнения

коэффициенты из уравнений

При осуществлении такого приема формирования реализаций случайного вектора на электронных цифровых машинах требуется хранить в запоминающих устройствах корреляционных моментов математических ожиданий Если алгоритм предусматривает предварительное определение всех коэффициентов и последующее формирование реализаций в соответствии с (2.45) при известных возникает необходимость в запоминании величин При больших в связи с этим, могут встречаться серьезные затруднения, касающиеся размещения информации в запоминающих устройствах.

В различных частных случаях находят применение и другие приемы получения реализаций составляющих случайного вектора. Так, при решении задач классической теории стрельбы используются схемы так называемых «повторяющихся» и «неповторяющихся» ошибок, приводящие к рассмотрению условно некоррелированных составляющих случайного вектора.

Пример построения реализаций в этом случае и использования их для вычисления одного класса кратных интегралов рассматривается в главе III.

Оригинальный способ образования случайных чисел, имеющих равномерное распределение на поверхности сферы единичного радиуса, рассматривается в [17].

Пусть случайные числа распределены равномерно в интервале Выбираем четыре последовательных значения и проверяем справедливость условия

Если условие (2.47) выполнено, то случайные числа

изображают точки, которые распределены равномерно на поверхности сферы единичного радиуса.

Перейдем к краткому рассмотрению приемов формирования реализаций случайных функций.

В связи с вычислениями методом статистических испытаний на электронных цифровых машинах могут быть использованы лишь дискретные реализации случайных функций для некоторой последовательности значений аргумента, например Так, при исследовании дифференциальных уравнений возмущенного движения, динамической системы значения реализаций случайных возмущений достаточно формировать один раз на каждом шаге численного интегрирования.

Если изучаются случайные функции в рамках корреляционной теории, то для характеристики случайной функции достаточно задать математическое ожидание и корреляционную функцию Рассматривая значения этих характеристик для последовательности значений аргумента получим математическое ожидание и корреляционную матрицу такого же вида (2.44), как и для -мерного случайного вектора.

Задача формирования реализаций случайного процесса в этом случае ничем не.отличается от задачи получения возможных значений -мерного случайного вектора.

Как уже упоминалось выше, для больших формирование реализаций случайного вектора становится громоздким и неудобным для использования на электронных цифровых вычислительных машинах.

В ряде случаев оказывается доступным для машинного выполнения построение реализаций случайных функций по их каноническому разложению (см., например [2]).

Пусть случайная функция задана каноническим разложением

где — математическое ожидание, — координатные функции, — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями

В процессе использования значений они вычисляются из выражения (2.49) непосредственно.

При этом в качестве используются случайные числа, преобразованные таким образом, чтобы дисперсии были равными заданным значениям. Функции если для их вычисления требуется много операций, могут быть аппроксимированы такими функциями, которые вычисляются проще (например, полиномами) или заданы в виде таблиц с необходимым шагом аргумента

Выработка реализаций случайной функции на элек-, тронной цифровой вычислительной машине значительно облегчается в случае стационарных случайных функций.

Пусть задана корреляционная функция стационарной случайной функции Пусть нам требуется определить значения реализаций процесса в точках

Будем рассматривать эти значения в виде

где — некоррелированные случайные числа с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией

Легко видеть, что формирование дискретных реализаций стационарной случайной функции в соответствии с (2.50) требует запоминания величин: коэффициентов и случайных чисел

Коэффициенты могут быть найдены заблаговременно решением системы уравнений вида

Для некоторых частных случаев система (2.51) решается точно. В общем случае здесь используются различные численные методы.

Рассмотренные приемы формирования случайных реализаций в различных элементарных вероятностных схемах не исчерпывают всех случаев, встречающихся при использовании метода статистических испытаний для решения прикладных задач на электронных цифровых машинах. Они иллюстрируют лишь наиболее употребительные случаи. Ряд специальных вопросов формирования реализаций будет затронут ниже, при рассмотрении конкретных задач.