Главная > Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация на ЦВМ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 19. Методы решения линейных систем с матрицей общего вида

Теперь рассмотрим методы решения системы, пригодные для произвольной матрицы А. Эти методы предложены в работе [15].

Запишем систему (4.1) в развернутом виде:

Ясно, что решение системы (4.1) равносильно нахождению минимума квадратичной формы

где — положительные числа.

Первый из рассматриваемых методов основан на следующих соображениях. Рассмотрим -мерный эллипсоид

Ясно, что числа образующие искомое решение, являются координатами центра симметрии этого эллипсоида. Далее, каждая из -мерных гиперплоскостей проходящих через центр эллипсоида, делит его объем пополам. Поэтому решение системы сводится к нахождению таких значений

что объемы частей эллипсоида, лежащих в полупространствах равны половине объема всего эллипсоида.

Отсюда возникает такой способ решения. Возьмем -мерный параллелепипед

в котором заведомо помещается -мерный эллипсоид. Образуем последовательность случайных векторов где верхний индекс пробегает значения от единицы до Величины попарно независимы и равномерно распределены каждая на своем отрезке Обозначим через М количество случайных векторов, удовлетворяющих соотношению

т. е. попавших в эллипсоид. Тогда частота сходится по вероятности к отношению где - объем эллипсоида, объем параллелепипеда. Теперь перенумеруем случайные векторы, попавшие внутрь эллипсоида, в порядке возрастания координаты Возьмем теперь случайный вектор, имеющий в новой нумерации порядковый номер Тогда его координату можно принять в качестве приближенного значения координаты центра эллипсоида. Можно поступить и иначе, а именно, взять среднее арифметическое

При этом дисперсия величины может быть выражена как

Дисперсия каждой из случайных величин может быть выражена как интеграл вида

где V — -мерный объем, состоящий из точек, удовлетворяющий неравенству

Этот метод требует большого количества арифметических операций. Именно, на каждую пробу неравенства (4.13) идет операций, не считая самого сравнения, так как для каждого случайного вектора нужно вычислить значение квадратичной Формы Таким образом, общее количество операций имеет порядок где выбирается из теоретико - вероятностных соображений, для того чтобы приближенное равенство для было достаточно точным. Кроме того, из этих случайных векторов используется фактически М. Основное достоинство метода — это его универсальность.

Этот метод может быть эффективно использован в вычислительных машинах, где на вычисление суммы парных произведений тратится сравнительно мало времени.

Рассмотрим второй путь применения метода Монте-Карло, отличающийся от предыдущего тем, что в нем фактически используются все образуемые случайные векторы.

Для этого рассмотрим -мерный гауссов закон распределения с плотностью

где — нормирующий множитель. Покажем, что математические ожидания координат равны соответственно координатам центра эллипсоида Действительно,

Введем замену переменных тогда будем иметь

или, так как нормирующий множитель при сдвиге не меняется, а второй интеграл в силу симметрии закона распределения равен нулю, то

Отсюда возникает следующий путь решения. Возьмем параллелепипед, определяемый неравенствами (4.13), и образуем в нем, как и раньше, последовательность из случайных векторов Тогда приближенное значение искомой координаты центра эллипсоида может быть дано в виде

Точность характеризуется следующими оценками:

Здесь

Ю. А. Благовещенским показано, что существенно лучшую точность, чем рассмотренные в этом параграфе методы, можно получить, если для вычисления значений неизвестной величины использовать, как и в предыдущих методах, случайную величину

при этом для случайных величин следует выбрать закон распределения, задаваемый -мерной плотностью

Здесь Е — достаточно большая п-мерная область, содержащая точку минимума функции V. Ю. А. Благовещенским показано, что среди всех методов решения системы линейных уравнений, основанных на формуле (4.14), плотность распределения является оптимальной, так как величина в этом случае имеет минимальную дисперсию.

1
Оглавление
email@scask.ru