§ 19. Методы решения линейных систем с матрицей общего вида

Теперь рассмотрим методы решения системы, пригодные для произвольной матрицы А. Эти методы предложены в работе [15].

Запишем систему (4.1) в развернутом виде:

Ясно, что решение системы (4.1) равносильно нахождению минимума квадратичной формы

где — положительные числа.

Первый из рассматриваемых методов основан на следующих соображениях. Рассмотрим -мерный эллипсоид

Ясно, что числа образующие искомое решение, являются координатами центра симметрии этого эллипсоида. Далее, каждая из -мерных гиперплоскостей проходящих через центр эллипсоида, делит его объем пополам. Поэтому решение системы сводится к нахождению таких значений

что объемы частей эллипсоида, лежащих в полупространствах равны половине объема всего эллипсоида.

Отсюда возникает такой способ решения. Возьмем -мерный параллелепипед

в котором заведомо помещается -мерный эллипсоид. Образуем последовательность случайных векторов где верхний индекс пробегает значения от единицы до Величины попарно независимы и равномерно распределены каждая на своем отрезке Обозначим через М количество случайных векторов, удовлетворяющих соотношению

т. е. попавших в эллипсоид. Тогда частота сходится по вероятности к отношению где - объем эллипсоида, — объем параллелепипеда. Теперь перенумеруем случайные векторы, попавшие внутрь эллипсоида, в порядке возрастания координаты Возьмем теперь случайный вектор, имеющий в новой нумерации порядковый номер Тогда его координату можно принять в качестве приближенного значения координаты центра эллипсоида. Можно поступить и иначе, а именно, взять среднее арифметическое

При этом дисперсия величины может быть выражена как

Дисперсия каждой из случайных величин может быть выражена как интеграл вида

где V — -мерный объем, состоящий из точек, удовлетворяющий неравенству

Этот метод требует большого количества арифметических операций. Именно, на каждую пробу неравенства (4.13) идет операций, не считая самого сравнения, так как для каждого случайного вектора нужно вычислить значение квадратичной Формы Таким образом, общее количество операций имеет порядок где выбирается из теоретико - вероятностных соображений, для того чтобы приближенное равенство для было достаточно точным. Кроме того, из этих случайных векторов используется фактически М. Основное достоинство метода — это его универсальность.

Этот метод может быть эффективно использован в вычислительных машинах, где на вычисление суммы парных произведений тратится сравнительно мало времени.

Рассмотрим второй путь применения метода Монте-Карло, отличающийся от предыдущего тем, что в нем фактически используются все образуемые случайные векторы.

Для этого рассмотрим -мерный гауссов закон распределения с плотностью

где — нормирующий множитель. Покажем, что математические ожидания координат равны соответственно координатам центра эллипсоида Действительно,

Введем замену переменных тогда будем иметь

или, так как нормирующий множитель при сдвиге не меняется, а второй интеграл в силу симметрии закона распределения равен нулю, то

Отсюда возникает следующий путь решения. Возьмем параллелепипед, определяемый неравенствами (4.13), и образуем в нем, как и раньше, последовательность из случайных векторов Тогда приближенное значение искомой координаты центра эллипсоида может быть дано в виде

Точность характеризуется следующими оценками:

Здесь

Ю. А. Благовещенским показано, что существенно лучшую точность, чем рассмотренные в этом параграфе методы, можно получить, если для вычисления значений неизвестной величины использовать, как и в предыдущих методах, случайную величину

при этом для случайных величин следует выбрать закон распределения, задаваемый -мерной плотностью

Здесь Е — достаточно большая п-мерная область, содержащая точку минимума функции V. Ю. А. Благовещенским показано, что среди всех методов решения системы линейных уравнений, основанных на формуле (4.14), плотность распределения является оптимальной, так как величина в этом случае имеет минимальную дисперсию.